Քառակուսային հավասարում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

տեսքի հանրահաշվական հավասարումը կոչվում է քառակուսի հավասարում, որտեղ -ը փոփոխական է, իսկ , և -ն որոշ թվեր, որտեղ -ի։
արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի եռանդամ։
Արմատը փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում քառակուսի եռանդամը ընդունում է արժեք, իսկ քառակուսի հավասարումը դառնում է նույնություն։
Քառակուսի հավասարման էլեմենտները ունեն իրենց անվանումները՝

  • -ին անվանում են առաջին կամ ավագ գործակից,
  • -ին անվանում են երկրորդ կամ x-ի գործակից,
  • -ին անվանում են ազատ անդամ։

Եթե քառակուսի հավասարման կամ գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են թերի քառակուսի հավասարում։
Թերի քառակուսի հավասարումները լինում են երեք տիպի՝

  1. , որտեղ ,
  2. , որտեղ ,
  3. , որտեղ , ։

Քառակուսի հավասարումը, որտեղ գործակիցը հավասար է -ի, կոչվում է բերված տեսքի քառակուսի հավասարում և ունի այսպիսի տեսք՝ ։
Քառակուսի հավասարումը, որտեղ բոլոր գործակիցները տարբեր են զրոյից կոչվում է լրիվ քառակուսի հավասարում։ Բերված քառակուսի հավասարումը ստացվում է լրիվ քառակուսի հավասարումից հավասարման աջ և ձախ մասերը գործակցի վրա բաժանելիս։ Այստեղից կստացվի, որ բերված տեսքի քառակուսի հավասարման մեջ , իսկ ։

Լուծման բանաձևի ստացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ՝


Հավասարման կողմերը բազմապատկում ենք -ով ու գումարում ՝


Քառակուսի հավասարման իրական արմատների բանաձևը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

I եղանակ։ Արմատների հաշվման ընդհանուր բանաձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդհանուր դեպքում քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար օգտվում ենք ներքևում բերված ալգորիթմից՝ հաշվում ենք քառակուսի հավասարման տարբերիչը՝ -ն, որտեղ ։ Հաճախ տարբերիչին անվանում են դիսկրիմինանտ։

  • եթե -ից, ապա քառակուսի հավասարման արմատները երկուսն են, որոնց հաշվվման համար են օգտագործում են բանաձևը։
  • եթե -ի, ապա քառակուսի հավասարման արմատը մեկն է (որոշ դեպքերում ասում են, որ երկու արմատներն իրար հավասար են կամ համնկնում են)։ Այս դեպքում արմատը հաշվվում է բանաձևով։
  • եթե -ից, ապա քառակուսի հավասարումը արմատներ չունի։

Մի հավասարումը կարելի է լուծել տարբեր ձևերով, որում լուծման նախապատվությունը ընտրվում է հենց լուծողի կողմից։ Բացի այդ, հաճախ դրա համար որոշ ձևերը շատ ավելի էլեգանտ են, պարզ, քիչ աշխատատար, քան ստանդարտ ձևը։

II եղանակ։ Քառակուսի հավասարման արմատորները գործակցի զույգ լինելու դեպքում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

տեսքի հավասարման համար, այսինքն զույգ -ի համար, որտեղ ընդհանուր բանաձևի փոխարեն կարելի է օգտագործել ավելի պարզ արտահայտություններ։
Ուշադրություն։ Ներքևում բերված բանաձևերը ստացվում են հիմնական բանաձևում -ի փոխարեն տեղադրելով արժեքը և կատարել ոչբարդ ձևափոխություններ։

Տարբերիչը
Արմատները
ոչբերված բերված ոչբերված բերված
Հարմար է հաշվել տարբերիչի քառորդ մասը՝

Այս դեպքում բոլոր անհրաժեշտ հատկությունները պահպանվում են։

.

III եղանակ։ Ոչամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ոչամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումներին անհրաժեշտ է մոտենալ առանձնակի ձևով։ Դրա համար դիտարկենք երեք ձև։

(ձևափոխման գործընթացը ներկայացված է մանրամասնորեն, պրակտիկայում միանգամիցվկարելի է անցնել վերջին տողին)

Եթե -c/a>0, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատներ, եթե -c/a<0, ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ։

կամ

Այսպիսի հավասարումը պարտադիր ունի երկու իրական արմատներ

IV եղանակ։ Գործակիցների մասնակի հարաբերությունների օգտագործում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գոյություն ունեն քառակուսի հավասարումների մասնակի դեպքեր, որոնցում գործակիցները գտնվում են իրար մեջ որոշակի փոխհարաբերությամբ, որն հնարավորություն է տալիս լուծել նրանք բավականի հարմար ձևով։

Քառակուսի հավասարման արմատները, որում ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե քառակուսի հավասարման մեջ ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ (խոսքը գնում է իրական գործակիցներով հավասարման մասին), ապա նրա արմատը հանդիսանում է -ը և ազատ անդամի և ավագ գործակցի հարաբերության հակադիր թվին (
Հետևաբար, նախքան որևէ քառակուսի հավասարման լուծելը, հարկավոր է ստուգել այս թեորեմի կիրառման հնարավորությունը՝ համեմատել ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը երկրորդ գործակցի հետ։

Քառակուսի հավասարման արմատները, որում բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի (), ապա այդպիսի հավասարման արմատը հանդիսանում է -ը և ազատ անդամի և ավագ գործակցի հարաբերությունը (

Վիետի թեորեմը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Վիետի թեորեմ

Բերված տեսքի հավասարման լուծումների գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ հակառակ նշանով, իսկ արտադրյալը՝ երրորդ գործակցին՝ նույն նշանով՝

Եթե հավասարումը բերված տեսքի չէ (), վիետի թեորեմը կունենա հետևյալ տեսքը՝

Քառակուսային հավասարումը արտադրիչների վերլուծելը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե հայտնի են հավասարման բոլոր լուծումները, այն կարելի է վերլուծել արտադրիչների։

Եթե հավասարման տարբերիչը զրո է, այս առընչությունը դառնում է կրճատ բազմապատկման բանաձևերից մեկը։