Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ֆրանսուա Վիետ Վիետի թեորեմ , թեորեմ քառակուսային հավասարումների մասին։ Թեորեմը ձևակերպել է ֆրանսիացի գիտնական, մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (1540-1603)[1]
Եթե բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը (դիսկրիմինանտը) ոչ բացասական է, ապա այդ հավասարման արմատների գումարը հավասար է x-ի գործակցին` վերցված հակադիր նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,}
Եթե դիսկրիմինանտը ոչ բացասական է.
{
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
⋮
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
k
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
Վիետի թեորեմը կարելի է ձևակերպել նաև ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարման համար.
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
a
n
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
⋯
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}
Եթե ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարումն ունի ոչ բացասական տարբերիչ և եթե երկու x-երը հավասարման արմատներն են, ապա՝
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
x
2
=
7
{\displaystyle x_{2}=7}
x
1
=
3
{\displaystyle x_{1}=3}
x
2
=
5
{\displaystyle x_{2}=5}
↑ Funkhouser, H. Gray (1930), «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357–365, doi :10.2307/2299273
