Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ

Հանրահաշվի հիմանական թեորեմը պնդում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով ցանկացած մեկ փոփոխականի բազմանդամ ունի առնվազն մեկ կոմպլեքս արմատ։ Թեորեմի պնդումը ճիշտ է իրական գործակիցներով բազմանդամների համար նույնպես, քանի որ իրական թվերը կարելի է համարել զրոյական կեղծ մասով կոմպլեքս թվեր։

Թեորեմին համարժեք ձևակերպում է, այն պնդումը որ կոմպլեքս թվերի դաշտը հանրահաշվորեն փակ է։

Թեորեմ նաև կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ․ յուրաքանչյուր ոչ զրոյական, մեկ փոփոխականի, $n$ -րդ կարգի կոմպլեքս փոփոխականի բազմանդամ, հաշված պատիկությամբ ունի ճիշտ $n$ արմատներ։ Նշված երկու պնդումերի համարժեքությունը կարելի է ապացուցել բազմանդամների բաժանաման ալգորիթմի հաջորդական կիրառմամբ։

Հակառակ իր անվանմանը, այս թեորեմի համար հանրահաշվական ոչ մի ապացույց գոյություն չունի, քանի որ ապացույցներից ցանկացածում օգտագործվում է իրական թվերի լրիվությունը (կամ համարժեք որևէ փաստ), ինչը հանրահաշվական գաղափար չէ։ Բացի այդ, այս պնդումը ժամանակակից հանրահաշվի համար հիմնային դեր չունի․ այս անվանումը տրվել է այն ժամանակ, երբ հանրահաշվի ուսումնասիրությունը սահմանափակվում էր իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարումների լուծման գոյության խնդիրներով։

Գրականության ցանկ

Պատմական աղբյուրները

• Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, Paris: Éditions Jacques Gabay (հրատարակված 1992), ISBN 2-87647-053-5, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
• Euler, Leonhard (1751), «Recherches sur les racines imaginaires des équations», Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288, արխիվացված օրիգինալից 2008-12-24-ին, https://web.archive.org/web/20081224062952/http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist%2F1749&seite%3Aint=228, վերցված է 2021-01-29 . English translation: Euler, Leonhard (1751), «Investigations on the Imaginary Roots of Equations» (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288, http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/E170en.pdf 
• Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen  (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
• Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke, Band III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, https://books.google.am/books?id=WFxYAAAAYAAJ 
  1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp.1-31., p. 1, at Google Books - first proof.
  2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp.32-56., p. 32, at Google Books - second proof.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp.57-64., p. 57, at Google Books - third proof.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp.71-103., p. 71, at Google Books - fourth proof.
• Kneser, Hellmuth (1940), «Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus», Mathematische Zeitschrift 46: 287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874, http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0046  (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
• Kneser, Martin (1981), «Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra», Mathematische Zeitschrift 177 (2): 285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874, http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0177  (tr. An extension of a work of Hellmuth Kneser on the Fundamental Theorem of Algebra).
• Ostrowski, Alexander (1920), «Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra», Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236019856&DMDID=dmdlog53  (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
• Weierstraß Karl (1891)։ Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen։ էջեր 1085–1101։ Արխիվացված է օրիգինալից 2013-11-02-ին։ Վերցված է 2021-01-29  (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

Ժամանակակից գրականություն

• Almira, J.M.; Romero, A. (2007), «Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere», Bulletin of the Belgian Mathematical Society 14: 341–342, http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.bbms/1179839226&view=body&content-type=pdf_1 
• Almira, J.M.; Romero, A. (2012), «Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra», Differential Geometry - Dynamical Systems 14: 1–4, http://www.mathem.pub.ro/dgds/v14/D14-al.pdf 
• de Oliveira, O.R.B. (2011), «The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof», Mathematical Intelligencer 33 (2): 1–2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2, https://dx.doi.org/10.1007/s00283-011-9199-2 
• de Oliveira, O.R.B. (2012), «The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations», American Mathematical Monthly 119 (9): 753–758, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753, https://dx.doi.org/10.4169/amer.math.monthly.119.09.753 
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3 
• Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), «On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra», Proceedings of the AMS 103 (1): 331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN 0002-9939 
• Gilain, Christian (1991), «Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral», Archive for History of Exact Sciences 42 (2): 91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519  (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)
• Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), «Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental», in Meyer, François; Molk, Jules, Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, Éditions Jacques Gabay, 1992, ISBN 2-87647-101-9  (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
• Remmert, Reinhold (1991), «The Fundamental Theorem of Algebra», in Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich, Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2 
• Shipman, Joseph (2007), «Improving the Fundamental Theorem of Algebra», Mathematical Intelligencer 29 (4): 9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993 
• Smale, Steve (1981), «The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory», Bulletin (new series) of the American Mathematical Society 4 (1)  [1]
• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 0-486-64690-4 
• Smithies, Frank (2000), «A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra», Notes & Records of the Royal Society 54 (3): 333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149 
• Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra, http://www.paultaylor.eu/misc/gauss-web.php  - English translation of Gauss's second proof.
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, I (7th տպ.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-40624-7