Հավասարում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Հավասարումը տեսքի հավասարություն է։ Առավել հաճախ որպես f, g ֆունկցիաներ հանդես են գալիս թվային ֆունկցիաները, թեպետ գործնականում հանդիպում են և ավելի բարդ դեպքեր՝ օրինակ ֆունկցիոնալ հավասարումներ, հավասարում վեկտոր-ֆունկցիայի համար և այլն։

Հավասարման լուծում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հավասարման արմատները գտնելու գրաֆիկական եղանակ

Լուծել հավասարումը — արգումենտի այն արժեքները գտնելու խնդիրն է, որոնց դեպքում հավասարությունը տեղի ունի։ Արգումենտի հնարավոր արժեքների վրա կարող են դրված լինել լրացուցիչ պայմաններ՝ դրանք լինեն ամբողջ թվեր, իրական թվեր և այլն։ Տրված ֆունկցիաների արգումենտները (երբեմն անվանվում են «փոփոխականներ») հավասարման դեպքում անվանվում են «անհայտներ»։ Անհայտների արժեքները, որոնց դեպքում հավասարությունը տեղի ունի, կոչվում են տրված հավասարման արմատներ կամ լուծումներ։ Ասում են, որ արմատները բավարարում են տրված հավասարմանը։ Լուծել հավասարումը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումների (արմատների) բազմությունը կամ ապացուցել, որ դրանք չկան։

Հավասարազոր հավասարումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այն հավասարումները, որոնց արմատների բազմությունները համընկնում են, կոչվում են հավասարազոր կամ էկվիվալենտ։ Հավասարազոր են համարվում նաև այն հավասարումները, որոնք արմատներ չունեն։ Հավասարումների հավասարազորությունն օժտված է սիմետրիկության հատկությամբ. եթե մի հավասարում հավասարազոր է մյուսին, ապա երկրորդը հավասարազոր է առաջինին։

Հիմնական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հավասարման մեջ պարունակվող հանրահաշվական արտահայտությունների հետ կարելի է կատարել գործողություններ, որոնք չեն փոխում արմատները, մասնավորապես.

  1. հավասարման ցանկացած մասում կարելի է բացել փակագծերը,
  2. հավասարման ցանկացած մասում կարելի է միացնել նման գումարելիները,
  3. հավասարման յուրաքանչյուր անդամ կարելի է տեղափոխել մի կողմից մյուսը, նրա նշանը փոխարինելով հակադիրով,
  4. հավասարման երկու մասերին կարելի է ավելացնել միևնույն արտահայտությունը,
  5. հավասարման երկու մասերից կարելի է հանել միևնույն արտահայտությունը,
  6. հավասարման երկու մասերը կարելի է բազմապատկել միևնույն թվով կամ բաժանել զրոյից տարբեր միևնույն թվի վրա։

Այս գործողությունների արդյունքում ստացված հավասարումները կոչվում են տրված հավասարմանը համարժեք (էկվիվալենտ)։ Սակայն 4-րդ և 5-րդ գործողությունների համար գոյություն ունի սահմանափակում. եթե հավասարման երկու մասերին ավելացվում է միևնույն արտահայտությունը (կամ հավասարման երկու մասերից հանվում է միևնույն արտահայտությունը), որը պարունակում է անհայտ և կորցնում է իմաստը անհայտի՝ հավասարման արմատի արժեքն ընդունելիս, ստացվում է տրվածին ոչ համարժեք հավասարում։ Բայց եթե հավասարման երկու մասերին ավելացնել միևնույն արտահայտությունը (կամ հավասարման երկու մասերից հանել միևնույն արտահայտությունը), որն անհայտ է պարունակում և իմաստը կորցնում է անհայտի միայն այն արժեքների դեպքում, որոնք տրված հավասարման արմատ չեն, ապա կստացվի տրվածին համարժեք հավասարում։

Հավասարման երկու մասերի բազմապատկումը միևնույն թվով կամ բաժանումը զրոյից տարբեր միևնույն թվի վրա կարող է բերել, համապատասխանաբար, կողմնակի արմատների առաջանալուն կամ արմատներ կորցնելուն։

Հավասարման երկու մասերը քառակուսի բարձրացնելու հետևանքով կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։

Կողմնակի արմատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լուծենք հավասարումը։

Հավասարման երկու մասերը քառակուսի բարձրացնելիս կստացվի.

կամ

Երկու հավասարումներն էլ տրվածի հետևանք են։ հավասարումը լուծելով, գտնում ենք նրա երկու արմատները.

и .

Առաջին արմատը ելակետային հավասարման մեջ տեղադրելով, ստանում ենք նույնություն.

Մյուս արմատը տեղադրելիս ստացվում է ոչ ճիշտ պնդում.

.

Այսպիսով, երկրորդ արմատը պատք է անտեսել որպես կողմնակի։

Հավասարումների տեսակները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրահաշվական հավասարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

տեսքի հավասարումը, որտեղ - ն փոփոխականներով բազմանդամ է, կոչվում է հանրահաշվական հավասարում ( կոչվում են անհայտներ)։ բազմանդամի գործակիցները պատկանում են որևէ դաշտի, այդ դեպքում հավասարումը կոչվում է դաշտի վրա տրված հանրահաշվական հավասարում։ բազմանդամի աստիճանը կոչվում է հանրահաշվական հավասարման աստիճան։

Օրինակ,

հավասարումը իրական թվերի դաշտի վրա տրված երեք փոփոխականներով (երեք անհայտներով) յոթերորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է։

Գծային հավասարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ընդհանուր տեսքը.
  • Կանոնական տեսքը.

Քառակուսային հավասարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

տեսքի հավասարում, որտեղ -ը փոփոխական է, , , գործակիցներ, ընդ որում

արտահայտությունը կոչվում է քառակուսային եռանդամ: Քառակուսային հավասարման արմատը (քառակուսային եռանդամի արմատը) փոփոխականի այն արժեքն է, որի դեպքում քառակուսային եռանդամը հավասարվում է զրոյի, այսինքն՝ այն արժեքը, որը քառակուսային հավասարումը վերածում է նույնության:

Քառակուսային հավասարման գործակիցներն ունեն հատուկ անվանումներ.

գործակիցը կոչվում է առաջին կամ ավագ անդամ, գործակիցը կոչվում է երկրորդ կամ միջին անդամ, գործակիցը՝ ազատ անդամ:

Քառակուսային հավասարումը, որտեղ ավագ գործակիցը հավասար է մեկի, կոչվում է բերված տեսքի: Այդպիսի հավասարում կարելի է ստանալ, ամբողջ արտահայտությունը բաժանելով գործակցի վրա.
Քառակուսային հավասարումը, որի բոլոր գործակիցները ոչ զրոյական են, կոչվում է լրիվ:
Քառակուսային հավասարումը, որտեղ գոնե մեկ գործակից, բացի ավագից, հավասար է 0, կոչվում է թերի:
Քառակուսային հավասարման գրաֆիկը պարաբոլ է:

քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու համար օգտվում են հետևյալ ալգորիթմից.

Հաշվել քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի արժեքը. այդպես է կոչվում արտահայտությունը։
1)եթե 2) եթե 3)եթե
ունի երկու արմատ, որոնք հաշվում են հետևյալ բանաձևով. ունի մեկ արմատ (երբեմն ասում են՝ հավասար կամ համընկնող արմատներ), որի բանաձևն է. - իրական թվերի բազմության վրա արմատներ չկան

Խորանարդ հավասարումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Խորանարդ ֆունկցիայի գրաֆիկը

Խորանարդ հավասարման գրաֆիկական վերլուծության համար կոորդինատների դեկարտյան համակարգում օգտագործվում է խորանարդ պարաբոլը։

Ցանկացած խորանարդ հավասարում կարելի է բերել ավելի պարզ տեսքի.

,

բաժանելով այն - ի վրա և տեղադրելով.

Այդ դեպքում գործակիցները հավասար են.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]