Երևակայական միավոր

$i$ կոմպլեքս հարթության վրա: Իրական թվերը գտնվում են հորիզոնական առանցքի վրա, իսկ երևակայական թվերը՝ ուղղահայաց առանցքի վրա:

Երևակայական միավոր, կոմպլեքս թիվ, որի քառակուսին հավասար է $-1$։ Մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում կեղծ միավորը նշանակվում է լատինական տառով $i$։

Մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում երևակայական միավոր նշանակում են լատինական i, այն հնարավորություն է տալիս ընդլայնելու իրական թվերի դաշտը մինչև կոմպլեքս թվերը։ Երևակայական միավորի ներմուծման պատճառն այն է, որ ոչ ցանկացած իրական գործակիցներով բազմանդամային հավասարում f(x)=0 ունի լուծում իրական թվերի դաշտում։ Այնպես որ $x^{2}+1=0$ հավասարումը չունի իրական արմատներ։ Երբեմն պարզվում է, որ ցանկացած կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարում ունի կոմպլեքս լուծում՝ «Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ»։

Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում, նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։

$-1$ թիվն ունի երկու քառակուսային արմատ, որոնցից մեկը՝ $i$, իսկ մյուսը՝ $-i$։ Բայց տարբերություններ կան օրինակ՝ $i$ = ${\sqrt {-1}}$ իսկ $-i$ = $-{\sqrt {-1}}$։

Երևակայական միավորի աստիճանները

Աստիճանները $i$ կրկնվում են շարքում։

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$\ldots$

Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

որտեղ $n$-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Այստեղից՝ $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$, որտեղ $mod4$-ը 4-ի բաժանման մնացորդն է։

$i^{i}$թիվը հանդիսանում է իրական։

$i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots$

Սահմանում

Կեղծ միավորը թիվ է, որի քառակուսային արմատը հավասար է $-1$, այսինքն $i$-ը հավասարման լուծումներից մեկն է

$x^{2}+1=0,$ կամ $x^{2}=-1$, որի ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի $-i$ (կարելի է ստուգել տեղադրումով)։

Ֆակտորիալ

Ֆակտորիալ կեղծ միավորի $i$ կարելի է ներկայացնել ինչպես ֆունկցիայի հաջորդաշարք $1+i$ արգումենտից։

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

նույնպես

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....$

Երևակայական միավորից արմատներ

Հիմնական հոդված՝ Արմատ (Մաթեմատիկա)

Կեղծ միավորից արմատներ

խորանարդ արմատներ կեղծ միավորից (եռանկյան գագաթներ)

Կոմպլեքս թվերի դաշտում $n$-րդ աստիճանի արմատը ունի $n$ լուծումներ։ Կոմպլեքս հարթությունում կեղծ միավորի արմատները գտնվում են կանոնավոր n-անկյան գագաթներում՝ ներգծված միավոր շառավղով շրջանագծին։

$u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Դա հետևում է Մուավրի բանաձևից և, հետևաբար, երևակայական միավորը կարող է նաև ներկայացվել եռանկյունաչափական տեսքով։

$i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}$

Մասնավորապես, ${\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ և ${\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Նմանապես, երևակայական միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։

$u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Այլ երևակայական թվեր

Կելի-Դիկսոնի կառուցվածքում (կամ Կլիֆորդի հանրահաշվում) «կեղծ թվի ընդլայնումը» կարող են լինել մի քանիսը, կամ նրանց քառակուսին կարող է լինել $+1$ կամ մինչև անգամ $0$։ Այդ դեպքում կարող են ծագել բաժանում զրոյի և այլ հատկություններ, տարբերվելով կոմպլեքս $i$ հատկություններից։ Օրինակ, քվատերնիոնի մարմնում երեք ոչ կոմմուտատիվ կեղծ միավորներ և նաև անվերջ շատ լուծումներ ունի «$x^{2}=-1$» հավասարումը։

Տես նաև

• Քվատերնիոններ
• Հիպերկոմպլեքս թվեր
• Երևակայական թիվ
• Իրական թիվ