Կեղծ միավոր

Կեղծ միավոր, սովորաբար կոմպլեքս թիվ, որի քառաքուսին հավասար է -1 (մինուս մեկի), երբեմն հնարավոր է և այլ տարբերակներ Քելի-Դիքսոնի կրկնապատկման կառուցվածքում (անգլ.՝ Cayley–Dickson construction) կամ Քլիֆֆորդի հանրահաշվի (անգլ.՝ Clifford algebra) շրջանակներում։

Կոմպլեքս թվեր

$i$ կոմպլեքս հարթություն. իրական թվերը գտնվում են հորիզոնական առանցքի վրա, կեղծ՝ ուղղաձիգ առանցքի վրա

Մաթեմատիկայում, ֆիզիկայում կեղծ միավոր նշանակում են լատինական i կամ j, այն հնարավորություն է տալիս ընդլայնելու իրական թվերի դաշտը մինչև կոմպլեքս թվերը։ Կեղծ միավորի ներմուծման պատճառն այն է, որ ոչ ցանկացած իրական գործակիցներով բազմանդամային հավասարում f(x)=0 ունի լուծում իրական թվերի դաշտում։ Այնպես որ $x^{2}+1=0$ հավասարումը չունի իրական արմատներ։ Երբեմն պարզվում է, որ ցանկացած կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարում ունի կոմպլեքս լուծում՝ «Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ»։

Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում, նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։

Պնդումը, թե կեղծ միավորը «քառակուսային արմատն է $-1$-ից», ստույգ չէ, քանի որ $-1$ թիվն ունի երկու քառակուսային արմատ, որոնցից մեկը՝ $i$, իսկ մյուսը՝ $-i$։ Դրանցից որ մեկն ընդունել կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ. բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը բոլոր $i$-երը $-i$-երով միաժամանակ փոխարինելիս։ Որպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ ընդունել $i$-ն որպես ${\sqrt {-1}}$:

Սահմանում

Կեղծ միավորը թիվ է, որի քառակուսային արմատը հավասար է $-1$, այսինքն $i$-ը հավասարման լուծումներից մեկն է

$x^{2}+1=0,$ կամ $x^{2}=-1$, որի ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի $-i$ (կարելի է ստուգել տեղադրումով)։

Կեղծ միավորի աստիճանները

Աստիճանները $i$ կրկնվում են շարքում:

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$\ldots$

Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

որտեղ $n$-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Այստեղից՝ $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$, որտեղ $mod4$-ը 4-ի բաժանման մնացորդն է:

$i^{i}$թիվը հանդիսանում է իրական:

$i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots$

Ֆակտորյալ

Ֆակտորյալ կեղծ միավորի $i$ կարելի է ներկայացնել ինչպես ֆունկցիայի հաջորդաշարք $1+i$ արգումենտից:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

նույնպես

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....$

Կեղծ միավորից արմատներ

Հիմնական հոդված՝ Արմատ (Մաթեմատիկա)։

Կեղծ միավորից արմատներ

խորանարդ արմատներ կեղծ միավորից (եռանկյան գագաթներ)

Կոմպլեքս թվերի դաշտում $n$-րդ աստիճանի արմատը ունի $n$ լուծումներ։ Կոմպլեքս հարթությունում կեղծ միավորի արմատները գտնվում են կանոնավոր n-անկյան գագաթներում՝ ներգծված միավոր շառավղով շրջանագծին։

$u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Դա հետևում է Մուավրի բանձևից և, հետևաբար, կեղծ միավորը կարող է նաև ներկայացվել եռանկյունաչափական տեսքով։

$i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}$

Մասնավորապես, ${\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ և ${\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Նմանապես, կեղծ միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։

$u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Այլ կեղծ թվեր

Կելի-Դիկսոնի կառուցվածքում (կամ Կլիֆորդի հանրահաշվում) «կեղծ թվի ընդլայնումը» կարող են լինել մի քանիսը, կամ նրանց քառակուսին կարող է լինել $+1$ կամ մինչև անգամ $0$։Այդ դեպքում կարող են ծագել բաժանում զրոյի և այլ հատկություններ, տարբերվելով կոմպլեքս $i$ հատկություններից։ Օրինակ, կվատերնիոնի մարմնում երեք антикоммутативных կեղծ միավորներ և նաև անվերջ շատ լուծումներ ունի «$x^{2}=-1$» հավասարումը:

Մեկնաբանության և անվան հարցադրում

«Գաուսը նույնպես պնդեց, որ եթե 1, −1 и √−1 մեծությունները կոչվեին համապատասխանաբար ոչ դրական, բացասական և կեղծ միավոր, այլ ուղիղ, հակադիր և կողմնակի, այդ դեպքում մարդկանց մոտ տպավորություն չէր առաջանա, որ այդ թվերի հետ կապված է ինչ-որ մութ գաղտնիք։ Գաուսի խոսքերով, երկրաչափական ներկայացումը տալիս է ճշմարիտ մետաֆիզիկայում կեղծ թվեր նոր լույսի ներքո։Հենց Գաուսն է ներմուծել «կոմլեքս թվեր» տերմինը (ի հակադրություն Դեկարտի «կեղծ թվեր»-ի) և օգտագործել նշանակման համար √−1 պայմանանշանը i:»

Տես նաև

• Քվատերնիոններ
• Երկվության թվեր և կրկնակի թվեր
• Կոմպլեքսային վերլուծություն
• Հիպերկոմպլեքսային թվեր