Էքսպոնենտ

$y=e^{x}$ էքսպոնենտի գրաֆիկը (կապույտով ). $e^{x}$ -ի շոշափողը կարմիրով։ Թեքությունը՝ ${\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })$. Օրինակի համար դրված է նաև $y=2^{x}$ (կետերով) և $y=4^{x}$ (գծիկներով)

Էքսպոնենտ, $f(x)=\exp(x)=e^{x}$ ցուցչային ֆունկցիա, որտեղ $e$ -ն Էյլերի թիվն է $(e\approx 2{,}718)$.

Որոշում

Էքսպոնենտալ ֆունկցիան կարող է որոշվել տարբեր համարժեք ձևերով։ Օրինակ՝ Թեյլորի շարքի միջոցով․

$e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

կամ սահմանի միջոցով․

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

Այստեղ $x$-ը ցանկացած կոմպլեքս թիվ է։

Հատկություններ

• $(e^{x})'=e^{x}$, մասնավորապես, էքսպոնենտը՝ $y'=y$ դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումն է, $y(0)=1$ սկզբնական տվյալով։ Բացի այդ, էքսպոնենտի միջոցով արտահայտվում է համասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները։
• Էքսպոնենտը որոշված է ամբողջ իրական թվերի առանցքով։ Այն ամենուր աճում է և միշտ մեծ է զրոյից։
• Էքսպոնենտը ուռուցիկ ֆունկցիա է։
• Նրան հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է $(\ln x)$։
• Ֆուրիեի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գույաություն չունի, եթե նրան ընդունենք որպես սովորական ֆունկցիա, իսկ եթե ընդունենք որպես ընդհանրացված, ապա այդպիսին կհամարվի Դիրակի դելտա-ֆունկցիան։
• Լապլասի ձևափոխություն էքսպոնենտի համար գոյություն ունի․
• Ածանցյալը զրոյում հավասար է մեկի,այդ պատճառով այդ կետում շոշափողը թեքված է $45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}$ աստիծանով։
• Ցանկացած ցուցչային ֆունկցիայի նման, նրա հիմնական հատկությունն է․

  $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

  • Այդպիսի հատկությամբ անընդհատ ֆունկցիան կամ նույնականորեն հավասար է 0, կամ ունի $\exp(cx)$ տեսքը, որտեղ $c$ հաստատուն է։։
• $e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x$, որտեղ $\operatorname {sh}$ և $\operatorname {ch}$ ՝ հիպերբոլական սինուս և կոսինուս են։

Կոմպլեքս էքսպոնենտ

Էքսպոնենտի գրաֆիկը կոմպլեքս հարթությունում․

Կոմպլեքս էքսպոնենտը մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որը տրվում է $f(z)=e^{z}$բանաձևով, որտեղ $z$-ը կոմպլեքս թիվ է։

$f(x)=e^{x}$ իրական $x$ փոփոխականով։

Որոշենք կապը՝

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$.

Այս ձևով որոշված արտահայտությունը իրական թվերի առանցքի վրա համընկնելու է իրական դասական էքսպոնենտի հետ։ Լիարժեքության համար պետք է ցույց տալ, որ $e^{z}$-ը բաժանվում է որոշակի, այդ ֆունկցիային ձգտող շարքի։

Ցույց տանք․

$f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Տվյալ շարքի համապատասխանելիությունը հեշտությամբ ապացուցվում է․

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}$.

h-էքսպոնենտ

հ-էքսպոնենտի ներմուծումը հիմնված է երկրորդ հրաշալի սահմանի վրա։

$e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.$

$h\to 0$ դեպքում ստացվում է սովորական էքսպոնենտ.

Հակադարձ ֆունկցիա

Էքսպոնենտալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան ՝ բնական լոգարիթմն է։ Նշանակվում է $\ln x$։

$\ln x=\log _{e}x.$

Տես նաև

• Ցուցչային ֆունկցիա
• Էքսպոնենտալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Գրականություն

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Արտաքին հղումներ

• «Экспонента и число е: просто и понятно Archived 2015-09-25 at the Wayback Machine.» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained(անգլ.)