Ուղղանկյուն եռանկյուն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Ուղղանկյուն եռանկյուն կոչվում է այն եռանկյունը, որի 1 անկյունը ուղիղ է։ Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև հարաբերությունը հիմք է հանդիսանում եռանկյունաչափության համար:

Ուղղանկյուն եռանկյան ամենամեծ կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր:

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը հանդիսանում են ամբողջ թվեր, ապա այդ եռանկյան կողմերի երկարությունները կազմում են Պյութագորասյան եռյակներ:

Triangle.Right.svg

Հիմնական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է։ Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունները հավասար են 45°։
  2. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
  3. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է ներքնաձիգին բարձրություն, որը ներգնաձիգը բաժանում է 2 անհավասար մասերի, ապա բարձրության քառակուսին հավասար է այդ երկու անհավասար մասերի արտադրյալին:

Մակերես

Ինչպես ցանկացած եռանկյան մակերես, ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին: Եթե եռանկյան մակերեսը նշանակենք T- ով, ապա կունենանք հետևյալ բանաձևը`

որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են:

Բարձրություններ

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրություն:

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան գագաթից տարված է բարձրություն, որը եռանկյունը բաժանում է երկու նման եռանկյունների, որոնք նման են միմյանց և նաև նման են մեծ եռանկյանը, ապա

  • Ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հանդիսանում է երկրաչափական միջին մեծություն` ներքնաձիգի երկու անհավասար մասերի համար[1]:
  • Եռանկյան յուրաքանչյուր էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին կամ նրա հատվածներին հարակից են էջերին:

Ըստ հավասարման`

որտեղ a, b, c, d, e, f ցույց են տրված գծագրում: Ինչպես[2]`

Բարձրության և ներքնաձիքի իրար կապող բանաձևերից մեկը հետևյալն է`

Պյութագորասի թեորեմ

Ըստ Պյութագորասի թեորեմի`ուղղանկյուն եռանկայն ներքնաձիգի երկարության քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին:

Արտահայտված բանաձևով`

որտեղ c-ն հանդիսանում է եռանկյան ներքնաձիգը, իսկ a-ն և b-ն` էջերը:

Ներգծված և արտագծված եռանկյան շառավիղներ

Եթե ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ և եթե այն նշանակենք r-ով, ապա այն հավասար կլինի`

Ուղղանկյուն առանկյանն արտագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներքնաձիգի կեսին․

Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծված և ներգծված շրջանագծերի գումարը հավասար է եռանկյան էջերի կեսին.

Եթե պետք է գտնել ուղղանկյուն եռանկյան էջի երկարությունը, ներգծված շրջանագծի միջոցով, ապա օգտվում ենք հետևյալ բանաձևից`

Բնութագրեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կողմեր և կիսապարագիծ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • [3]
  • [4]

Անկյուններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • [4][5]
  • [4][5]
  • [5]

Մակերես[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտագծված և ներգծված շրջանագծեր[6][խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բարձրություններ և միջնագծեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Միջնագծի երկարությունը հավասար է արտագծված շրջանագծի շառավղին:
  • Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը նաև հնարավոր է գտնել «Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունների թեորեմի» միջոցով:

Ուղղանկյուն եռանկյան հավասարութան հայտանիշեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

1․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ երկու եռանկյունները հավասար են։

2․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և առընթեր սուր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

3․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան 2 էջերը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան 2 էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

4․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և էջը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

Հատուկ ուղղանկյուն եռանկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ուղղանկյուն եռանկյան հատուկ ձևերը երկուսն են`

  1. Այն ուղղանկյուն եռանկյունը, որի անկյունները հավասար են` 30-60-90
  2. Այն ուղղանկյուն եռանկունը, որի անկյունները հավասար են` 45-45-90

Դիտարկենք առաջին դեպքը, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյուններից մեկը հավասար է 30 աստիճանի, ապա օգտվում ենք ուղղանկյուն եռանկյան հատկություններից մեկից, ըստ որի`

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:

Դիտարկելով երկրորդ դեպքը, նկատում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան երկու անկյունները իրար հավասար են, այսինքն` ստանում ենք հավասարասրուն աղղանկյուն եռանկյուն, որի երկու կողմերը հավասար են:

Կեպլերի եռանկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիտարկենք եռանկյուն, որի մեջ ունենք հետևյալ կետերը` H, G, A: Ընդ որում կետերը համապատասխանաբար հանդիսանում են տվյալ եռանկյան հարմոնիկ միջին մեծությունը, երկրաչափական միջին մեծությունը և թվաբանական միջին մեծությունը:

Ըստ Կեպլերի ունենում ենք հետևյալ բանաձևը`

և

որտեղ հավասար է

Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Երկրաչափության 7-րդ դասարանի դասագիրք

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  2. Wentworth p. 156
  3. Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011
  4. 4,0 4,1 4,2 Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
  5. 5,0 5,1 5,2 CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [1].
  6. Bell, Amy (2006), «Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization», Forum Geometricorum 6: 335–342, http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf