Ընդլայնված թվային ուղիղ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Ընդլայնված թվային ուղիղ, իրական թվերի բազմություն , համալրված երկու անվերջ հեռու կետերով՝ (դրական անվերջություն) և (բացասական անվերջոթյուն), այսինքն, ։

Ընդվորում, ցանկացած իրական թվերի համար , ըստ սահմանման ենթադրվում է անհավասարության տեղի ունենալը։ Որոշ դիդակտիկ նյութերում օգտագործվում է անվերջ հեռու կետը, որը կապված չէ իրական թվերի շարքի հերթական համարով[1]։

Իրական թվերի բազմությունը գծային համարակալված են -ի նկատմամբ, սակայն -ում չկան նվազագույն կամ առավելագույն տարրեր։ Եթե իրական թվերի համակարգը դիտարկենք որպես գծային համարակալված բազմություն, ապա դրա ընդլայնումը մինչև համակարգ հենց կայանում է (առավելագույն) և (նվազագույն) տարրերի ավելացման մեջ։

Դրա շնորհիվ համակարգում ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն ունի հստակ վերին սահման (եթե բազմությունը վերևից սահմանափակ է, և , եթե վերևից սահմանափակ չէ)։ Հանգունորեն, պնդում ճիշտ է նաև, հստակ ներքին սահմանի համար։ Դրանով է բացատրվում և ներմուծման հարմարավետությունը։

Ընդլայնված թվային ուղղի տոպոլոգիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բաց բազմություններ և շրջակայքեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կարգավորման առընչությունը առաջ է բերում տոպոլոգիան -ի վրա։ -ի տոպոլոգիայում բաց բազմություններ են հանդիսանում ամենատարբեր միջակայքերի միությունը ․

,

որտեղ .

կետի շրջակայք է կոչվում ցանկացած բաց բազմություն, որը պարունակում է այդ կետը։ տոպոլոգիայի բաց բազմությունների սահմանման համաձայն՝ ցանկացած կետի շրջակայք ներառում է տրված տեսակի միջակայքերից մեկը, որը պարունակում է կետը։

Մաթեմատիկական անալիզի ծրագրում սովորաբար ներմուծում են կետի շրջակայքի մասնավոր հասկացությունը, որտեղ(


դեպքում, այսինքն, երբ, -ն թիվ է, - շրջակայք կոչվում է

բազմությունը։

Եթե , ապա:

,

իսկ եթե , ապա:

։

-շրջակայքի հասկացությունը անվերջ թվերի համար սահմանվում է այնպես, որ բոլոր դեպքերում, երբ -ն իրական թիվ է կամ անվերջություններից մեկն է, ապա թվի փոքրացման հետ փոքրանում է նաև նրա շրջակայքը․ .

Սահմաններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

-ում բոլոր սահմանների տեսակները տեղավորվում են նույն սահմանման մեջ։

Դիցուք՝ , որտեղ . Մասնավորապես կարող է լինել իրական ֆունկցիա, իրական փոփոխականով։

Դիցուք՝ . Այդ դեպքում․

Ծանոթագրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — 3-е изд. перераб.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 19. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3