Ընդլայնված թվային ուղիղ

Ընդլայնված թվային ուղիղ, իրական թվերի $\mathbb {R}$ բազմություն , համալրված երկու անվերջ հեռու կետերով՝ $+\infty$ (դրական անվերջություն) և $-\infty$ (բացասական անվերջոթյուն), այսինքն, ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}$։

Ընդվորում, ցանկացած իրական թվերի համար $x\in \mathbb {R}$ , ըստ սահմանման ենթադրվում է $-\infty <x<+\infty$ անհավասարության տեղի ունենալը։ Որոշ դիդակտիկ նյութերում օգտագործվում է անվերջ հեռու $\pm \infty$ կետը, որը կապված չէ իրական թվերի շարքի հերթական համարով։

Իրական թվերի $\mathbb {R}$ բազմությունը գծային համարակալված են $\leqslant$-ի նկատմամբ, սակայն $\mathbb {R}$ -ում չկան նվազագույն կամ առավելագույն տարրեր։ Եթե իրական թվերի համակարգը դիտարկենք որպես գծային համարակալված բազմություն, ապա դրա ընդլայնումը մինչև ${\overline {\mathbb {R} }}$համակարգ հենց կայանում է $+\infty$(առավելագույն) և $-\infty$(նվազագույն) տարրերի ավելացման մեջ։

Դրա շնորհիվ համակարգում ցանկացած ոչ դատարկ բազմություն ունի հստակ վերին սահման (եթե բազմությունը վերևից սահմանափակ է, և $+\infty$, եթե վերևից սահմանափակ չէ)։ Հանգունորեն, պնդում ճիշտ է նաև, հստակ ներքին սահմանի համար։ Դրանով է բացատրվում $+\infty$ և $-\infty$ ներմուծման հարմարավետությունը։

Ընդլայնված թվային ուղղի տոպոլոգիա

Բաց բազմություններ և շրջակայքեր

Կարգավորման առընչությունը $<$ առաջ է բերում $\tau$ տոպոլոգիան ${\overline {\mathbb {R} }}$-ի վրա։ $\tau$-ի տոպոլոգիայում բաց բազմություններ են հանդիսանում ամենատարբեր միջակայքերի միությունը ․

$(\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \},\quad (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \},\quad [-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \},$,

որտեղ $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}$.

$a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ կետի $U(a)$ շրջակայք է կոչվում ցանկացած բաց բազմություն, որը պարունակում է այդ կետը։ $\tau$ տոպոլոգիայի բաց բազմությունների սահմանման համաձայն՝ ցանկացած $a$ կետի շրջակայք ներառում է տրված տեսակի միջակայքերից մեկը, որը պարունակում է $a$ կետը։

Մաթեմատիկական անալիզի ծրագրում սովորաբար ներմուծում են $U_{\varepsilon }(a)$ կետի $\varepsilon$շրջակայքի մասնավոր հասկացությունը, որտեղ($\varepsilon >0$)։

$a\in \mathbb {R}$դեպքում, այսինքն, երբ, $a$-ն թիվ է, $a$-ի $\varepsilon$- շրջակայք կոչվում է

$U_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$բազմությունը։

Եթե $a=+\infty$, ապա։

$U_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }},+\infty \right],$,

իսկ եթե $a=-\infty$, ապա։

$U_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right).$։

$\varepsilon$-շրջակայքի հասկացությունը անվերջ թվերի համար սահմանվում է այնպես, որ բոլոր դեպքերում, երբ $a$-ն իրական թիվ է կամ անվերջություններից մեկն է, ապա $\varepsilon$ թվի փոքրացման հետ փոքրանում է նաև նրա շրջակայքը․ $0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{\varepsilon _{1}}(a)\subset U_{\varepsilon _{2}}(a)$.

Սահմաններ

${\overline {\mathbb {R} }}$ -ում բոլոր սահմանների տեսակները տեղավորվում են նույն սահմանման մեջ։

Դիցուք՝ $f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}$, որտեղ $X\subset {\overline {\mathbb {R} }}$. Մասնավորապես $f$ կարող է լինել իրական ֆունկցիա, իրական փոփոխականով։

Դիցուք՝ $x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}$. Այդ դեպքում․

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }(a))$

Գրականություն

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3