Կոմպլեքս լոգարիթմ

Բնական կոմպլեքս լոգարիթմի տեսքը (գլխավոր ճյուղ)։ Ֆունկցիայի արժեքը ցուցադրված է գույնով, իսկ մոդուլը՝ պայծառությամբ։

Կոմպլեքս լոգարիթմը անալիտիկ ֆունկցիա է, որը ստացվում է իրական լոգարիթմը կոմպլեքս հարթության վրա ընդհանրացնելով(բացի 0-ից)։ Գոյություն ունեն նման ընդհանրացումների մի քանի համարժեք միջոցներ։ Այս ֆունկցիան լայն կիրառություն ունի կոմպլեքս անալիզում։ Ի տարբերություն իրական ֆունկցիայի՝ այս ֆունկցիան բազմարժեք է։

Սահմանումը և հատկությունները

Կոմպլեքս թվի լոգարիթմը սահմանվում է նույն կերպ, ինչ իրական թվի դեպքում․ այսինքն ցուցչային ֆունկցիայի օգնությամբ։ Գործնականում կիրառվում է միայն բնական հիմքով լոգարիթմը, որի հիմքն է Էյլերի թիվը $e$: Այն նշանակվում է՝ $\mathrm {Ln} \,z$։

Կոմպլեքս $z$ թվի բնական լոգարիթմը $e^{w}=z$ հավասարման $w$ լուծումն է։

Կոմպլեքս թվերի դաշտում այս հավասարման լուծումը միարժեքորեն չի որոշվում։ Օրինակ․ Էյլերի նույնության համաձայն․ $e^{\pi i}=-1$, բայց նաև $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$։ Սա կապված է այն բանի հետ, որ ցուցչային ֆունկցիան կեղծ առանցքի երկայնքով պարբերական է ($2\pi$ պարբերությամբ), և նույն արժեքը ընդունում է անվերջ քանակով, ուստի կոմպլեքս լոգարիթմական ֆունկցիան $w=\mathrm {Ln} \,z$ բազմարժեք ֆունկցիա է։ Զրոյական կոմպլեքս թվի լոգարիթմ գոյություն չունի։ Ոչ զրոյական $z$ թիվը կարելի է ներկայացնել ցուցչային տեսքով․

$z=r\cdot e^{i(\varphi +2\pi k)}\;\;,$ որտեղ $k$ — հաստատուն է ամբողջ թիվ։

Ապա $\mathrm {Ln} \,z$ կորոշվի հետևյալ բանաձևով․

$\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)$

Այստեղ $\ln \,r=\ln \,|z|$ — իրական լոգարիթմն է։ Այստեղից հետևում է․

$\mathrm {Ln} \,z$ կոմպլեքս լոգարիթմը գոյություն ունի ցանկացած $z\neq 0$, և նրա իրական մասը որոշվում է միարժեքորեն, իսկ կեղծ մասը ունի անվերջ բազմությամբ արժեքներ, որոնք տարբերվում են $2\pi$ արժեքով։

Կոմպլեքս լոգարիթմի իրական մասը

Բանաձևից երևում է, որ միայն մեկ արժեքի կեղծ մասն է ընկած $(-\pi ,\pi ]$ միջակայքում։ Այդ որժեքը կոչվում է կոմպլեքս լոգարիթմի գլխավոր արժեք։ Համապատասխան ֆունկցիան կոչվում է լոգարիթմի գլխավոր ճյուղ և նշանակվում․ $\ln \,z$։ Երբեմն $\ln \,z$ տեսքով նշանակվում է նաև գլխավոր ճյուղի վրա չնկած լոգարիթմի արժեքը։ Եթե $z$ իրական թիվ է, ապա նրա լոգարիթմի գլխավոր արժեքը համընկնում է սովորական իրական լոգարիթմի հետ։ Բերված բանաձևից հետևում է, որ լոգարիթմի իրական մասը որոշվում է հետևյալ կերպ․

$\operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})$

Նկարում ցուցադրված է, որ իրական մասը օժտված է կենտրոնային համաչափությամբ և կախված է սկզբնակետից ունեցած հեռավորությունից։ Այն ստացվում է իրական լոգարիթմի գրաֆիկը հորիզոնական առանցքով պտտելիս։ 0-ին մոտենալով ֆունկցիան ձգտում է $-\infty$

Բացասական թվի լոգարիթմը որոշվում է հետևյալ բանաձևով 

$\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )$ ։

Կոմպլեքս լոգարիթմի արժեքների օրինակներ

Դիտարկենք ($\ln$) լոգարիթմի որոշ արժեքներ․

$\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i$

$\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi$

$\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1)$

Հարկավոր է կոմպլեքս լկոգարիթմի դեպքում ցուցաբերել զգուշություն որոշ հավասարությունների առումով, քանի որ այն բազմարժեք ֆունկցիա ։ Սխալ դատողության օրինակ․

$i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi$ — ակնհայտ սխալ է։

Նշենք որ ձախ մասը լոգարիթմի գլխավոր արժեքն է, իսկ աջ մասում ($k=-1$) ճյուղից ներքև ընկած արժեքն է։ Սխալի պատճառը $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$ հատկության անզգույշ օգտագործումն է։

Կոմպլեքս լոգարիթմական ֆունկցիան և Ռիմանի հարթությունը

Ռիմանի մակերևույթը կոմպլեքս լոգարիթմի համար

Կոմպլեքս անալիզում բազմարժեք ֆունկցիաները դիտարկվում են բազմաձևությունների վրա, որոնք կոչվում են Ռիմանյան մակերևույթներ։ Կոմպլեքս լոգարիթմական ֆունկցիան նույնպես պատկանում է այս կատեգորիային։ Մակերևույթը կազմաված է անվերջ թվով ճյուղերից, որոնք պտտվում են պարուրաձև։ Մակերևույթը անընդհատ է։ Ֆունկցիայի միակ 0-ն ստացվում է, երբ $z=1$։ Հատուկ կետերն են $z=0$ և $z=\infty$ ։

Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական և հիպերբոլական ֆունկցիաների հետ

Քանի որ կոմպլեքս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կապված են էքսպոնենցիալով (Էյլերի բանաձև), ապա կոմպլեքս լոգարիթմը կապված է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ ։

$\operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})$

$\operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})$

$\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)$

$\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)$

Կոմպլեքս հարթության վրա հիպերբոլական ֆունկցիան կարելի է դիտարկել որպես կեղծ արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիա, ուստի այստեղ ևս կապ գոյություն ունի լոգարիթմի հետ․ ․

$\operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1}})$ — հակադարձ սինուս հիպերբոլական

$\operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$ — հակադարձ կոսինուս հիպերբոլական

$\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)$ — հակադարձ տանգես հիպերբոլական

$\operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)$ —հակադարձ կոտանգես հիպերբոլական։

Անալիտիկ շարունակաություն

Կոմպլեքս հարթության վրա կոմպլեքս թվի լոգարիթմը իրական լոգարիթմի անալիտիկ շարունակությունն է։ Դիցուք $\Gamma$ կոր է, որը սկսվում է միավորով և վերջանում z-ով, չի անցնում 0-ով և չի հատում իրական առանցքի բացասական մասը։ Ապա $\Gamma$ կորի $w$ կետում լոգարիթմի գլխավոր արժեքը որոշվում է հետևյալ բանաձևով․:

$\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}$

Եթե $\Gamma$ պարզ կոր է (առանց ինքնահատումների), ապա նրա կետերի համար կարելի է կիրառել հետևյալ լոգարիթմական նույնությունը․

$\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma$։

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գլխավոր ճյուղը անընդհատ է և դիֆերենցելի ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, բացառությամբ իրական առանցքի բացասական մասի, որտեղ կեղծ մասը փոփոխվում է $2\pi$ պարբերությամբ։ Դրա պատճառը կեղծ մասի սահմանափակվածությունն է $(-\pi ,\pi ]$ միջակայքում։ անընդհատ է բոլոր կետերում, բացի 0-ից, որտեղ ֆուկցիան որոշված չէ։ Եթե $\Gamma$ կորին թույլատրվի հատել իրական առանցքի բացասական մասը, ապա ապա առաջին այսպիսի հատումը գլխավոր արժեքի ճյուղը կտեղափոխի մեկ այլ ճյուղի վրա, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ հատում կառաջացնի լոգարիթմական ֆունկցիայի ճյուղերի խառնում։ (տես նկարը)

Անալիտիկ շարունակության բանաձևից երևում է, որ լոգարիթմի ցանկացած ճյուղի վրա․

${\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}$։

$0$ կետը պարունակող ցանկացած $S$ շրջանագծի համար․

$\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i$։

Ինտեգրալը վերցվում է դրական ուղղությամբ (ժամսլաքին հակառակ)։ Այս նույնությունը ընկած է մնացորդների տեսության հիմքում։ կոմպլեքս լոգարիթմի անալիտիկ շարունակությունը կարելի է սահմանել նաև Մերկատորի շարքի օգնությամբ։

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots$

(Շարք 1)

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)$

(Շարք 2)

Այս շարքերի տեսքը հուշում է, որ նրանց գումարը հավասար է զրոյի, այսինքն շարքը վերաբերվում է միայն ֆունկցիայի գլխավոր ճյուղին։ Երկու շարքերի զուգամետության շառավիղը հավասար է 1։

Պատմական ակնարկ

Լոգարիթմը կոմպլեքս թվերի վրա տարածելու առաջին փորձերը կատարվել են XVII—XVIII դարերում Լայբնիցի և Իոհան Բեռնուլլիի կողմից, բայց ամբողջական տեսություն ստեղծել չհաջողվեց, քանզի այդ ժամանակ լոգարիթմի հստակ սահմանումը տրված չէր։ XVIII դարում նրանց փորձին միացան նաև Դ’ալամբերը և Էյլերը։ Բեռնուլլին և Դ’ալամբերը համարում էին, որ հարկավոր է սահմանել $\log(-x)=\log(x)$, իսկ Լայբնիցը ապացուցում էր, որ բացասական թվի լոգարիթմը կեղծ թիվ է։ Բացասակն և կոմպլեքս թվերի լոգարիթմների տեսությունը հրապարակվեց Էյլերի կողմից 1747-1751 թվականներին։ XVIII դարի վերջում Էյլերի մոտեցումը ընդունվեց բոլորի կողմից։ 19-րդ դարում,կոմպլեքս անալիզի զարգացման հետ, 1811 էվականին Կառլ Գաուսի կողմից բացահայտվեց բազմարժեք լոգարիթմական ֆունկցիայի լրիվ տեսությունը։ Այն սահմանվեց որպես ինտեգրալ ${\frac {1}{z}}$։ Ռիմանը հենվելով այս փաստերի վրա՝ կառուցեց իր Ռիմանյան մակերևույթների տեսությունը։

Գրականություն

Լոգարիթմների տեսություն

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — հրատ. 6-րդ. — М.: Наука, 1966.

Լոգարիթմների պատմություն

• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. II.