Անալիտիկ ֆունկցիա

Կոնֆորմ արտապատկերում

Անալիտիկ ֆունկցիան Ժ. Լ. Լագրանժն անվանել է այն $f(z)$ ֆունկցիաները, որոնք ներկայացնելի են՝

$f(z)=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}(1)$

(1) զուգամետ աստիճանային շարքի տեսքով, ուր $z_{0}$-ն մի որոշակի սևեռյալ արժեք է։

Ն. Աբելն ապացուցել է, որ եթե այդ շարքը զուգամետ Է $z_{0}$-ից տարբեր $z=z_{1}$ արժեքի համար, ապա այն զուգամետ է նաև յուրաքանչյուր կոմպլեքս $z=x+iy$ արժեքի համար, եթե $|z-z_{0}|<|z_{1}-z_{0}|$։

(1) շարքը զուգամետ է կամ միայն $z=z_{0}$ կետում, կամ էլ $z_{0}$ կենտրոնով շրջանում։ Այս երկրորդ դեպքում ասում են, որ $f(z)$ ֆունկցիան անալիտիկ է $z_{0}$ կետում։

Անջատելով (1) շարքի իրական և կեղծ մասերը՝ կստանանք.

$w=f(z)+\varphi (x,y)+i\psi (x,y)$

ուր $\varphi$-ն և $\psi$-ն բացահայտ կգրվեն $a_{0},a_{1},a_{2},...$, գործակիցների և $x,y,z_{0}$ թվերի միջոցով։

$\varphi$ և $\psi$ ֆունկցիաները բավարարում են Կոշու և Ռիմանի

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=|{\frac {\partial \psi }{\partial y}}|$, ${\frac {\partial \psi }{\partial x}}=-|{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}|(2)$

հավասարումներին։ Ճիշտ է նաև հակադարձը. եթե $\varphi$ և $\psi$ ֆունկցիաները բավարարում են (2) պայմաններին և գրված ածանցյալներն անընդհատ են, ապա

$f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)$

ֆունկցիան կլինի անալիտիկ ֆունկցիա այն տիրույթում, ուր բավարարվում են (2) պայմանները։

Երբ $f(z)$ անալիտիկ ֆունկցիան իրական է արգումենտի իրական արժեքի համար, այն կոչվում է իրական անալիտիկ ֆունկցիա։ Անալիտիկ ֆունկցիայի դասին են պատկանում տարրական ֆունկցիաների մեծամասնությունը (օրինակ $e^{z},\sin z,z^{n}$), ինչպես նաև շատ ո՛չ տարրական ֆունկցիաներ։

Գրականություն

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 1, էջ 359)։