Էյլերի նույնություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
HS Disambig.svg Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ#Նույնություններ

Էյլերի նույնություն[Ն 1], հավասարություն մաթեմատիկայում։ Հաճախ գրվում է հետևյալ տեսքով՝

,

որտեղ

-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է՝ Էյլերի թիվը,
-ն՝ կեղծ միավորը, որը բավարարում է պայմանին և
-ն՝ պի թիվը, որը ցույց է տալիս շրջանագծի և դրա տրամագծի հարաբերությունը։

Էյլերի նույնությունը կոչվել է ի տապիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Էյլերի։ Այն համարվում է մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ։

Մաթեմատիկական գեղեցկություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի նույնությունը հաճախ նշվում է որպես խորը մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ[3]։ Թվաբանական հիմնական գործողություններից երեքը՝ գումարը, բազմապատկումը և աստիճանը, նույնության մեջ հանդիպում են ճիշտ մեկ անգամ։ Նույնությունը նաև կապում է հինգ հիմնարար մաթեմատիկական հաստատուններ[4].

Բացի դա, հավասարությունը տրված է այնպես, որ արտահայտությունը հավասարեցվում է զրոյի, որը տարածված պրակտիկա է մաթեմատիկայի որոշ բաժիններում։

Սթենֆորդի համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քիթ Դևլինը ասել է՝ «Շեքսպիրի սոնետի նման, որը նկարագրում է սիրո բուն էությունը, կամ մի նկարի նման, որը ցույց է տալիս մարդկային կերպարանքի գեղեցկությունը, որը շատ ավելին է, քան պարզապես մաշկի խորություն, Էյլերի նույնությունը հասցնում է գոյության ամենախորքային մասերին»[5]։ Նյու Հեմփշիրի համալսարանի պրոֆեսոր Պոլ Նահինը Էյլերի բանաձևին և ֆուրիեի անալիզում դրա կիրառության մասին գրքում նկարագրում է Էյլերի նույնությունը որպես «նուրբ գեղեցկություն»[6]։

Ըստ մաթեմատիկական գրող Կոնստանս Ռիդի՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենահայտնի բանաձևն է»[7]։ Հարվարդի համալսարանի պրոֆեսոր, 19-րդ դարի ամերիկացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Բենջամին Պիրսը դասախոսության ընթացքում Էյլերին նույնությունը ապացուցելուց հետո նշել է, որ նույնությունը «ամբողջությամբ պարադոքսալ է. մենք չենք կարող հասկանալ այն և մենք չգիտենք, թե այն ինչ է նշանակում, բայց մենք ապացուցել ենք այն և հետևաբար մենք գիտենք, որ այն պետք է ճիշտ լինի»[8]։

Ըստ «The Mathematical Intelligencer» ամսագրի կողմից արված 1990 թվականի հարցման՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ թեորեմն է»[9]։ «Physics World» ամսագրի կողմից արված մեկ այլ հարցման (2004 թվական) համաձայն՝ Էյլերի նույնությունը և Մաքսվելի հավասարումները «երբևէ եղած ամենամեծ հավասարումներն են»[10]։

16 մաթեմատիկոսների գլխուղեղը ուսումնասիրող մի հետազոտության համաձայն «էմոցիոնալ ուղեղը» (մասնավորապես՝ միջին օրբիտոֆրոնտային կորտեքսը, որը ակտիվանում է գեղեցիկ երաժշտության, պոեզիայի, նկարների և այլն համար) ավելի կայուն ակտիվանում է Էյլերի նույնության, քան այլ բանաձևի համար[11]։

Էյլերի նույնության մասին առնվազն երկու հանրամատչելի մաթեմատիկական գիրք է հրատարակվել (Դեյվիդ Սթիփի «A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics»-ը (2017 թվական) և Ռուբին Ուիլսոնի «Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics»-ը (2018 թվական))։

Բացատրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կեղծ ցուցիչներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս անիմացիան կոմպլեքս հարթությունում կրկնվող բազմապատկման միջոցով ցույց է տալիս, թե ինչպես է -ը ձգտում -ի (n-ը փոխվում է -ից մինչև -ի արժեքները () բեկյալի գագաթներն են, որի ամենաձախ կետը -ն է (իրական -ի համար)։ Այստեղից երևում է, որ -ի մեծ արժեքների դեպքում -ը ձգտում է -ի, ինչը պատկերավորում է Էյլերի նույնությունը՝

Ըստ Էյլերի նույնության՝ : Այստեղ արտահայտությունը արտահայտության մասնավոր դեպք է, որտեղ -ը կամայական կոմպլեքս թիվ է։ Կոմպլեքս թվերի համար արտահայտությունը սահմանվում է ըստ ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումներից մեկի։ Օրինակ՝ տարածված սահմանումներից մեկն է՝

։

Այս դեպքում, Էյլերի նույնությունը ցույց է տալիս, որ երբ -ը ձգտում է անվերջության, -ը ձգտում է -ի։ Այս սահմանի պատկերավոր ներկայացման համար տես աջ կողմի նկարը։

Էյլերի բանաձևը կամայական անկյան համար

Էյլերի նույնությունը Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք է, ըստ որի՝ կամայական իրական թվի համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

,

որտեղ սինուս և կոսինուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները տրված են ռադիանով։

Մասնավորապես, երբ ,

։

Քանի որ

և

հետևաբար՝

որից հետևում է Էյլերի նույնությունը՝

։

Երկրաչափական մեկնաբանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական կոմպլեքս թիվ կարելի է կոմպլեքս հարթությունում ներկայացնել կետով։ Այս կետը նաև կարելի է ներկայացնել բևեռային կոորդինատներով որպես , որտեղ -ի բացարձակ արժեքն է (կենտրոնից հեռավորությունը) իսկ -ն՝ -ի արգումենտը ( առանցքի հետ կազմած ակյունը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ)։ Ըստ սինուսի և կոսինուսի սահմանման՝ այս կետրի դեկարդյան կոորդինատներն են , հետևաբար՝ ։ Ըստ Էյլերի բանաձևի, սա համարժեք է -ին։

Ըստ Էյլերի նույնության՝ ։ Քանի որ նույնն է ինչ , եթե և , ուրեմն Էյլերի նույնությունը կարելի է մեկնաբանել որպես թվի մասին փաստ. կենտրոնից հեռավորությունը 1 է, իսկ դրական առանցքի հետ կազմած անկյունը՝ ռադիան։

Բացի դա, կամայական կոմպլեքս թիվ -ով բազմապատկելը ունենում նույն արդյուքնը, ինչ թիվը կոմպլեքս հարությունում ժամացույցի սլաքիի հակառակ ուղղությամբ ռադիան պտտելը։ Քանի որ թիվը -1-ով բազմապատկելիս այն արտացոլվում է կենտրոնի նկատմաբ, Էյլերի նույնությունը պարզապես նշում է, որ կամայական կետ կենտրոնի նկատմամբ ռադիան պտտելը նույնն է, ինչ այն կենտրոնի նկատմամբ արտացոլելը։

Ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի նույնությունը հետևյալ ավելի ընդհանուր նույնության մասնավոր դեպք է (

։

Հնարավոր է նաև ցույց տալ նմանատիպ նույնություն քվատերնիոնների համար. ենթադրենք -ը բազիսային տարրեր են, ուրեմն

։

Ընդհանուր առմամաբ, եթե և իրական թվերի համար տեղի ունի նույնությունը, ուրեմն

։

Օկտոնիոնների դեպքում, եթե -ը իրական թիվ է, այնպես, որ և օկտոնիոն բազիսային տարրերն են՝ , ուրեմն

։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի նույնությունը հնարավոր է գտնել Էյլերի 1748 թվականին հրատարակված մաթեմատիկական անալիզին վերաբերող «Introductio in analysin infinitorum» աշխատությունում[12]։ Սակայն, պարզ չէ, թե արդյոք այս նույնությունը կարելի է վերագրել Էյլերին[13]։ Ավելին, չնայած Էյլերը իր աշխատությունում գրել է այժմ Էյլերի բանաձև անվամբ հայտնի բանաձևի մասին, անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Քոթսը (մահացել է 1716 թվականին, երբ Էյլերը 9 տարեկան էր) նույնպես տեղյակ էր այս բանաձևի մասին։ Էյլերը հավանաբար այս գիտելիքը ձեռք է բերել իր շվեյցարացի հայրենակից Յոհան Բերնուլիից[13]։

Ըստ Ռուբին Ուիլսոնի[14]՝

Aquote1.png

Մենք տեսել ենք, թե դա [Էյլերի նույնությունը] ինչպես կարելի է ստանալ Յոհան Բերնուլիի և Ռոջեր Քոթսի արդյունքներից, բայց նրանցից ոչ մեկը, կարծես թե, չի արել դա։ Նույնիսկ Էյլերը բացահայտ այն չի գրել (այն չի հանդիպում իր ոչ մի հրատարակությունում), բայց նա անշուշտ պետք է հասկացած լիներ, որ այն ուղղակի հետևոմ է իր նույնությունից [Էյլերի բանաձևից]՝ ։ Բացի դա, անհայտ է, թե ով է առաջինը բացահայտ նշել արդյունքը...

Aquote2.png


Նշումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Էյլերի նույնություն եզրը նաև օգատգործվում է այլ հասկացությունների համար, այդ թվում՝ այս նույնության հետ կապված ընդհանուր բանաձևը՝ [1] և Էյլերի արտադրյալի բանաձևը[2]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Dunham, 1999, p. xxiv.
  2. Stepanov S. A. (7 February 2011)։ «Euler identity»։ Encyclopedia of Mathematics։ Վերցված է 7 September 2018 
  3. Gallagher James (13 February 2014)։ «Mathematics: Why the brain sees maths as beauty»։ BBC News Online։ Վերցված է 26 December 2017 
  4. Paulos, 1992, p. 117.
  5. Nahin, 2006, էջ 1։
  6. Nahin, 2006, p. xxxii.
  7. Reid, chapter e.
  8. Maor, էջ 160, and Kasner & Newman, էջեր 103–104.
  9. Wells, 1990.
  10. Crease, 2004.
  11. Zeki et al., 2014.
  12. Conway & Guy, p. 254–255.
  13. 13,0 13,1 Sandifer, p. 4.
  14. Wilson, p. 151-152.

Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]