Սահման (մաթեմատիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
HS Disambig.svg Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ սահման (այլ կիրառումներ)

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի[1]։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտգործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝

և կարդացվում է « ֆունկցիայի սահմանը, երբ -ը ձգտում է -ի հավասար է -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝

։

Ֆունկցիայի սահման[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Whenever a point x is within a distance δ of c, the value f(x) is within a distance ε of L.
For all x > S, the value f(x) is within a distance ε of L.

Ենթադրենք -ը իրական ֆունկցիա է իսկ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը

ինտուիտիվ նշանակում է, որ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ -ին՝ թիվը -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ « ֆունկցիայի սահմանը, երբ -ը ձգտում է -ի հավասար է -ի»։

1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին[2], հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է -ին նշանակում է, որ ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ [2] Այս դեպքում «-ը ձգտում է -ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք -ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը -ից ավելի փոքր է, քան δ-ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն -երը, որոնք գտնվում են կամ միջակայքում, ինչը կարելի է գրել տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ [2]։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե ։ Տրված ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել կետում։

Օրինակ, եթե

ուրեմն -ը սահմանված չէ, բայց երբ -ը ձգտում է -ի, -ը ձգտում է -ի.

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 սահմանված չէ 2.001 2.010 2.100

Հետևաբար, -ի արժեքը կարող է -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական թվի համար ։

Քանի որ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել արժեքը, հետևաբար՝ ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝

  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ արժեքների դեպքում ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝

։

Հաջորդականության սահման[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

,

որը կարդում են՝ which is read as

հաջորդականությանը սահմանը, երբ -ը ձգտում է անվերջության, է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ

Կամայական իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի բնական թիվ, որ բոլոր թվերի համար ճիշտ է արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ բացարձակ արժեքը -ի և -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ հաջորդականության սահմանը, երբ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Stewart James (2008)։ Calculus: Early Transcendentals (6th ed.)։ Brooks/Cole։ ISBN 978-0-495-01166-8 
  2. 2,0 2,1 2,2 Larson Ron, Edwards Bruce H. (2010)։ Calculus of a single variable (Ninth ed.)։ Brooks/Cole, Cengage Learning։ ISBN 978-0-547-20998-2 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կաղապար:Library resources box