Սահման (մաթեմատիկա)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ սահման (այլ կիրառումներ)

Տես նաև՝ հաջորդականության սահման և ֆունկցիայի սահման։

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

և կարդացվում է «$f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$-ը ձգտում է $c$-ի հավասար է $L$-ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to c$։

Ֆունկցիայի սահման

Հիմնական հոդված՝ Ֆունկցիայի սահման

Whenever a point x is within a distance δ of c, the value f(x) is within a distance ε of L.

For all x > S, the value f(x) is within a distance ε of L.

Ենթադրենք $f$-ը իրական ֆունկցիա է իսկ $c$-ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

ինտուիտիվ նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ $L$-ին՝ $x$ թիվը $c$-ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ «$f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$-ը ձգտում է $c$-ի հավասար է $L$-ի»։

1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին, հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝ $f(x)$ ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է $L$-ին նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է $(L-\epsilon ,L+\epsilon )$ միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝ $|f(x)-L|<\epsilon$ Այս դեպքում «$x$-ը ձգտում է $c$-ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք $x$-ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը $c$-ից ավելի փոքր է, քան δ-ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն $x$-երը, որոնք գտնվում են $(c-\delta ,c+\delta )$ կամ $(c,c+\delta )$ միջակայքում, ինչը կարելի է գրել $0<|x-c|<\delta$ տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը $0<|x-c|$ կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ $x\neq c$։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե $f(c)\neq L$։ Տրված $f$ ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել $c$ կետում։

Օրինակ, եթե

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ուրեմն $f(1)$-ը սահմանված չէ, բայց երբ $x$-ը ձգտում է $1$-ի, $f(x)$-ը ձգտում է $2$-ի.

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	սահմանված չէ	2.001	2.010	2.100

Հետևաբար, $f(x)$-ի արժեքը կարող է $2$-ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ $x$ ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական $x$ թվի համար ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$։

Քանի որ $x+1$ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել $x=1$ արժեքը, հետևաբար՝ $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝

$f(x)={2x-1 \over x}$

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ $x$ արժեքների դեպքում $f(x)$ ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ $x$-ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝

$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2$։

Հաջորդականության սահման

Հիմնական հոդված՝ Հաջորդականության սահման

Ենթադրենք $a_{1},a_{2},...$-ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ $L$ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$,

որը կարդում են՝

$a_{n}$ հաջորդականությանը սահմանը, երբ $n$-ը ձգտում է անվերջության, $L$ է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ

Կամայական $\epsilon >0$ իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի $N$ բնական թիվ, որ բոլոր $n>N$ թվերի համար ճիշտ է $|a_{n}-L|<\epsilon$ արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ $|a_{n}-L|$ բացարձակ արժեքը $a_{n}$-ի և $L$-ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ $a_{n}$ հաջորդականության սահմանը, երբ $n$-ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ $n$ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W., "Limit", MathWorld.
• Mathwords: Limit,

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Սահման (մաթեմատիկա)» հոդվածին։