Բացարձակ արժեք

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Մոդուլ (այլ կիրառումներ)

Մաթեմատիկայում $x$ իրական թվի բացարձակ արժեքը կամ մոդուլը նշանակվում է $|x|$, և հավասար է $x$ թվի ոչ բացասական արժեքին՝ չհաշված թվի նշանը։ Մասնավորապես, $|x|=x$ եթե $x$-ը դրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի, և $|x|=-x$, եթե $x$-ը բացասական է (այս դեպքում $-x$-ը դրական է)։ Օրինակ, 3-ի բացարձակ արժեքը 3 է, բայց 3-ի է հավասար նաև -3-ի բացարձակ արժեքը։ Թվի բացարձակ արժքը կարելի է պատկերացնել որպես այդ թվի և զրոյի հեռավորություն։

Իրական թվերի բացարձակ արժեքի ընդհանրացումներ գոյություն ունեն տարբեր մաթեմատիկական օբյեկտների համար։ Օրինակ՝ բացարձակ արժեք նաև սահմանված է կոմպլեքս թվերի, քվատերնիոնների, կարգավորված օղակների, դաշտերի և վեկտորական տարածությունների համար։ Բացարձակ արժեքի հասկացությունը սերտորեն կապված է մեծության, հեռավորության և նորմի հետ։

Սահմանում և հատկություններ

Իրական թվեր

Կամայական $x$ իրական թվի համար բացարձակ արժեքը կամ մոդուլը նշանակվում է $|x|$-ով՝ X-ի յուրաքանչյուր կողմում կանգնակ գրելով, և սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ $$|x|={\begin{cases}x,&{\text{եթե }}x\geq 0\\-x,&{\text{եթե }}x<0.\end{cases}}$$

Հետևաբար, $x$-ի բացարձակ արժեքը միշտ կամ դրական է, կամ հավասար է զրոյի, բայց չի կարող բացասական լինել։ Եթե $x$-ը բացասական է, ապա դրա բացարձակ արժեքը անհրաժեշտորեն դրական է ($|x|=-x>0$)։

Անալիտիկ երկրաչափության տեսանկյունից, իրական թվի բացարձակ արժեքը թվային առանցքի վրա այդ թվի հեռավորությունն է զրոյից. առհասարակ՝ երկու իրական թվերի տարբերության բացարձակ արժեքը այդ թվերի հեռավորությունն է։ Մաթեմատիկայում մետրիկական տարածությունների աբստրակտ հասկացությունը կարելի է դիտարկել որպես տարբերությունների բացարձակ արժեքի ընդհանրացում։

Քանի որ քառակուսի արմատի նշանը կիրառվում է եզակի դրական քառակուսի արմատը նշանակելու համար, հետևաբար՝

$$|x|={\sqrt {x^{2}}}$$։

Սա համարժեք է վերևի սահմանմանը և կարող է կիրառվել որպես իրական թվի բացարձակ արժեքի այլընտրանքային սահմանում։

Թվերի համեմատումը ըստ մոդուլների

1. Երկու դրական ամբողջ թվերից մեծ է այն թիվը, որի բացարձակ արժեքը ավելի մեծ է։
3. Երկու բացասական ամբողջ թվերից մեծ է այն թիվը, որի բացարձակ արժեքը ավելի փոքր է։
5. 0-ն մեծ է ցանկացած բացասական թվից։
7. 0-ն փոքր է ցանկացած դրական թվից։