Մեծություն (մաթեմատիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկական մեծություն, մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից մեկը, որը նշանակում է, ոչ խիստ ասած, մի բան, որը կարելի է չափել[1]։ Ավելի խիստ, մեծությունները մաթեմատիկական առարկաներ են, որոնց համար կարող են որոշվել անհավասարության հարաբերակցությունը և լրացման գործողությունը, և իրականացվում են մի շարք հատկություններ, ներառյալ Արքիմեդի և շարունակականության աքսիոմները։ Մեծությունները կարող են լինել հաստատուն կամ փոփոխական, մի քանի մեծություններ կարող են կապված լինել հանրահաշվական կամ այլ կերպ։

Սկզբում որոշվեց դրական սկալյար մեծություն անհավասարության հարաբերությամբ և գումարման գործողությամբ։ Նրա ընդհանրացումներից են վեկտորները և տենզորները, որոնց համար անհավասարության հարաբերակցությունը հնարավոր չէ որոշել, «ոչ արքիմեդյան» մեծությունները, որոնց համար Արքիմեդի աքսիոմը չի կատարվում։ Իրական թվերի համակարգը կարող է դիտվել նաև որպես մեծությունների համակարգ։

Սկալյար մեծություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Համասեռ մասշտաբային մեծությունների համար սահմանվում է անհավասարության հարաբերակցությունը և լրացման գործողության իմաստը։ Նրանք ունեն հետևյալ հատկությունները[2]՝

  1. ցանկացած a-ի և b-ի համար իմաստ ունի երեք հարաբերակցություններից միայն մեկը՝ կամ a = b, կամ a > b, կամ a < b,
  2. կատարվում է ավելի քիչ և ավելի շատ հարաբերությունների տրանզիտիվություն, այսինքն՝ եթե a < b և b < c, ապա a < c,
  3. գոյություն ունի միակողմանի գումար, որը հավասար է երկու մեծությունների, այսինքն՝ c = a + b
  4. կատարվում է գումարման կոմուտատիվությունը, այսինքն՝ a + b = b + a,
  5. կատարվում է լրացման ասոցիատիվությունը, այսինքն՝ a + (b + c) = (a + b) + c,
  6. կատարվում է լրացման միօրինակությունը, այսինքն՝ a + b > a,
  7. հանման միանշանակ որոշակի հնարավորություն կա, այսինքն, եթե a > b, ապա կա c, այնպիսին, որ b + c = a,
  8. գոյություն ունի բաժանման հնարավորություն, այսինքն ցանկացած а և n բնական թվի համար գոյություն ունի b, այնպիսին, որ bn = a,
  9. կատարվում է Արքիմեդի աքսիոմը, այսինքն՝ ցանկացած a-ի և b-ի համար գոյություն ունի բնական n, այնպիսին, որ a < nb,
  10. կատարվում է շարունակականության աքսիոմ։

Մեծությունը վերացական հասկացություն է, որն արտահայտում է քանակի կատեգորիա։ Սկալյար մեծությունը բնութագրվում է մեկ թվով[3]։

Հայեցակարգի ընդհանրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաթեմատիկայի զարգացման հետ մեկտեղ մեծության հասկացության իմաստը ենթարկվել է ընդհանրացումների։ Հայեցակարգը ընդլայնվեց «ոչ գունավոր» մեծությունների, որոնց համար սահմանվում է գումարում, բայց չի սահմանվում կարգի հարաբերակցությունը։ Դրանք ներառում են վեկտորներ և թենզորներ։ Հաջորդ ընդլայնումը Արքիմեդի աքսիոմից հրաժարվելն էր կամ այն որոշ վերապահումներով օգտագործելը (օրինակ՝ դրական սկալյար մեծությունների համար n թվի բնականությունը)։ Նման քանակությունները օգտագործվում են վերացական մաթեմատիկական ուսումնասիրություններում[2]։

Բացի այդ, օգտագործվում են հաստատուն և փոփոխական մեծություններ։ Փոփոխականները հաշվի առնելիս ընդունված է ասել, որ ժամանակի տարբեր կետերում նրանք ընդունում են տարբեր թվային արժեքներ[2]։

Պատմական ակնարկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էվկլիդեսը (մ. թ. ա. 3-րդ դար) ներկայացրեց դրական մասշտաբային մեծության հայեցակարգը, որն ուղղակի ընդհանրացում էր այնպիսի հատուկ հասկացությունների, ինչպիսիք են երկարությունը, տարածքը, ծավալը, զանգվածը[2]։ Հինգերորդ «Սկզբունքներ» գրքում ձևակերպված են մեծության հիմնական հատկությունները (հնարավոր է, որ այն պատկանում է Եվդոքսի գրչին), յոթերորդ գրքում դիտարկվում են թվերը և տրվում է մեծության սահմանում, տասներորդ գրքում դիտարկվում են համաչափ և անհամաչափ մեծություններ[4]։ Հին հունական մաթեմատիկոսները զարգացրեցին մեծությունների չափման տեսությունը, որը հիմնված էր մեծության առաջին ինը հատկությունների վրա (ներառյալ Արքիմեդի աքսիոմը)[2]։

Մեծության սեռը կապված է օբյեկտների համեմատության մեթոդի հետ։ Հատվածները ունեն նույն երկարությունը, եթե համընկնում են համընկնման ժամանակ, և մեկ հատվածի երկարությունը պակաս է մյուսի երկարությունից, եթե համընկնման ժամանակ առաջին հատվածը չի ծածկում երկրորդն ամբողջությամբ։ Եթե հատվածը համընկնում է համընկնման ժամանակ, ապա երկրորդ հատվածը չի ծածկում երկրորդ հատվածը։ Եթե հատվածը համընկնում է համընկնման ժամանակ, ապա երկրորդ հատվածը չի ծածկում։ Հարթ թվերի համեմատությունը հանգեցնում է տարածքի, տարածական մարմինների՝ ծավալի հասկացությանը[2]։ Էվկլիդեսը նկարազարդել է իր նկատառումները հատվածներով գործողություններով, բայց ինքն էլ արժեքները համարում է վերացական հասկացություններ։ Նրա տեսությունը կիրառվում է անկյունների և ժամանակի վրա[4]։

Հույն մաթեմատիկոսները համարում էին մեծություններ, որոնք կարելի էր չափել միավորի երկարությամբ և կողմնացույցով քանոնով[4]։ Բոլոր երկարությունների համակարգը, որոնք իռացիոնալ հարաբերությունների մեջ են միավորի երկարության հետ, բավարարում է 1-9 պահանջները, բայց ընդհանրապես չի ընդգրկում բոլոր երկարությունների համակարգը։ Անհամաչափ հատվածների գոյության հայտնաբերումը վերագրվում է Պյութագորասին (մ. թ. ա. 6-րդ դար)[2]։ Արաբ մաթեմատիկոսները համարում էին ավելի բարդ մեծություններ, մասնավորապես, լուծեցին խորանարդ հավասարումները երկրաչափական մեթոդներով[4]։ Դրական սկալյար մեծությունների համակարգի ամբողջական սահմանման համար ներդրվել է շարունակականության աքսիոմը։ Արդյունքում, համակարգի բոլոր մեծությունները միանշանակորեն ներկայացվում են a = αl տեսքով,  որտեղ α-ն դրական իրական թիվ է, իսկ l-ը չափման միավոր է[2]։

Հաջորդ փուլը ուղղորդված հատվածների դիտարկումն էր ուղիղ և հակառակ ուղղորդված արագությունների վրա։ Եթե զրոյական և բացասական արժեքները ավելացվում են դրական սկալյար մեծությունների համակարգին, ապա արդյունքում ստացված ընդհանրացումը, որը կոչվում է սկալյար մեծություն, հիմնականն է մեխանիկայի և ֆիզիկայի մեջ։ Նման ընդհանրացման մեջ ցանկացած իրական թիվ է (դրական, բացասական կամ հավասար է զրոյի)։ Այս ընդհանրացումը դիմում է համարի հայեցակարգին, բայց նույնը կարելի է հասնել հատկությունների ձևակերպման փոփոխությամբ[2]։

Դեկարտը ներկայացրեց փոփոխական մեծության հայեցակարգը[3]։

17-րդ դարում իրական թվերը սերտորեն կապված էին մեծության հասկացության հետ, իսկ մաթեմատիկան համարվում էր մեծությունների գիտություն[5]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. «Измерение величин»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2023-01-31-ին։ Վերցված է 2023-01-31 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 Колмогоров А. Н. Величина // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  3. 3,0 3,1 Под ред. И.Т. Фролова Величина // Философский словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1991.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 «The real numbers: Pythagoras to Stevin»։ Архив истории математики Мактьютор։ Արխիվացված է օրիգինալից 2015-02-22-ին։ Վերցված է 2014-07-20  (անգլ.)
  5. «The real numbers: Stevin to Hilbert»։ Архив истории математики Мактьютор։ Արխիվացված է օրիգինալից 2015-02-22-ին։ Վերցված է 2014-07-20  (անգլ.)

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]