Հաշվարկման երկուական համակարգ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Հաշվարկման երկուական համակարգ` հաշվարկման դիրքային համակարգ է, կիրառվում է ժամանակակից համակարգիչներում և էլեկտրոնային սարքավորումներում

Առաջին անգամ երկուական համակարգի մասին 1679 թ. գրել է Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցն իր Explication de l'Arithmétique Binaire աշխատության մեջ[1]:

Թվերի գրառումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկուական համակարգում թվերը գրվում են երկու նշանի միջոցով։ Դրանք են` 0-ն և 1-ը։ Բնական թվերը գրվում են հետևյալ կերպ՝

  • Միանիշ թվեր՝ 1
  • Երկնիշ թվեր՝ 10 և 11
  • Եռանիշ թվեր՝ 100, 101 և 111
  • Քառանիշ թվեր՝ 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101 և 1111
  • Հնգանիշ թվեր՝ 10000, 10001, 10010, 10011 և այլն։

Այլ համակարգերով գրառված թվերից տարբերելու համար երկուական թիվը գրվում է աջից ներքևում տեղադրվող ցուցիչով, օրինակ՝ 11012=1210։ Երբեմն այդ նույն դերը կատարում է նախածանցը՝ 0b1101։
Երկուական համակարգում թվի նշանները կարդացվում են հերթով, օրինակ՝ 1101-ը կարդացվում է՝ "մեկ, մեկ, զրո, մեկ"

Երկուական թվի մեծությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկուական համակարգով աշխատող ժամացույցում կիրառվում են երկուական մակարդակի լուսադիոդներ, որոնց յուրաքանչյուր սյունակը ցույց է տալիս որոշակի թվանշան։

Երկուական թվի մեծությունն է՝

որտեղ՝

  • -ը թվի թվանշանների քանակն է,
  • -ը {0,1} բազմության թվաշնաններն են,
  • -ը թվանշանի կարգային համարն է։

Երկուական թվից տասնորդականի ստացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ երկուական թիվը հենված է 2 հիմքի վրա, ապա նրան համապատասխանող տասնորդական թիվը որոշվում է 2 թվի աճող աստիճանների գումարի տեսքով, ներառյալ՝ 20=1-ը։ Օրինակի համար 1001012-ը տասնորդականի է վերափոխվում հետևյալ կերպ։

1001012 = [ ( 1 ) × 25 ] + [ ( 0 ) × 24 ] + [ ( 0 ) × 23 ] + [ ( 1 ) × 22 ] + [ ( 0 ) × 21 ] + [ ( 1 ) × 20 ]
1001012 = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]
1001012 = 3710

Առավել մեծ կարգի թվերի համար լրացուցիչ նշաններն ուղղակի ավելացվում են երկուական թվի ձախ կողմից, յոթանիշ երկուական թվի համար՝ 26, ութանիշի համար՝ 27 և այդպես շարունակ։

Թվաբանական գործողություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գումարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գումարման գործողությունը կատարվում է տասնորդական համակարգում ընդունված մեզ ծանոթ եղանակով։ Երկու "1" թվանշանների գումարից ստանում ենք "0" և ունենում ենք մտքում պահած ևս մեկ հատ 1՝ հաջորդ սյունակին ավելացնելու համար, օրինակ՝

 1 1 1 1 1 (հիշվող թվերը) 
0 1 1 0 1
+  1 0 1 1 1
-------------
= 1 0 0 1 0 0 = 36

Այս օրինակում բերված է 011012 (1310) և 101112 (2310) թվերի գումարման գործողությունը։ Վերևի տողում նշված են հիշվող թվանշանները. Գործողությունն սկսվում է ամենաաջ սյունակից՝ 1 + 1 = 102. 1-ը հիշվում է հաջորդ սյունակի համար, իսկ աջ սյունակի ամենաներքևում գրվում է 0։ Աջից երկրորդ սյունակում կատարվող գործողությունն է՝ 1 + 0 + 1 = 102։ Նորից 1-ը հիշում և ներքևում գրվում է 0։ Երրորդ սյունակում՝ 1 + 1 + 1 = 112։ Այս անգամ, 1-ը հիշվում է, իսկ ներքևի տողում գրվում է 1։ Նույն գործողությունները կատարելով վերջում ստանում ենք 1001002 (տասնորդական 36) պատասխանը։

Հանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

"0"-ից "1" հանելու դեպքում ստանում ենք "1" այն դեպքում, եթե հաջորդ սյունակից "պարտք" ենք վերցնում։

*  * * * (աստղանիշով նշված են այն սյունակները, որոնցից պարտք է վերցված)
 1 1 0 1 1 1 0
− 1 0 1 1 1
----------------
= 1 0 1 0 1 1 1

Վերը բերված գործողության մեջ մասնակցած տասնորդական թվերն են՝ 110-23=87։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Leibniz G., Explication de l'Arithmétique Binaire, Die Mathematische Schriften, ed. C. Gerhardt, Berlin 1879, vol.7, p.223; Engl. transl.[1]

Տե'ս նաև`[խմբագրել | խմբագրել կոդը]