Միավորից n աստիճանի արմատներ

Հինգերորդ աստիճանի արմատ միավորից (հնգանկյան կողերը)

Միավորից n աստիճանի արմատներ, $x^{n}-1$ բազմանդամի կոմպլեքս արմատները, որտեղ $n\geqslant 1$։ Այլ խոսքով, դա կոմպլեքս թիվ է, որի n-րդ աստիճանը 1 է։

Միավորի արմատները շատ են օգտագործվում մաթեմատիկայում, հատկապես թվերի տեսությունում, Ֆուրեի դիսկրետ փոփոխություններում, վերջնական ընդլայնման տեսությունում, քանոնի ու կարկինի օգնությամբ կառուցումներում և խմբերի գաղափարի մեջ։

Գաղափար

Կոմպլեքս միավորը ներկայացնենք եռանկյունաչափական տեսքով.

$1=\cos \ 0+i\ \sin \ 0$

Մուավրայի բանաձևից ստացվում է.

$u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

որտեղ $u_{k}$-ը միավորից արմատներն են։

Միավորի արմատները կարող ենք ներկայացնել նաև ցուցչային տեսքով.

$u_{k}=e^{\frac {2\pi ki}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Այս բանաձևից հետևում է, որ միավորից արմատները միշտ $n$ են ու դրանք միշտ տարբեր են։

Հաշվարկ

Երկրաչափական հաշվարկ

• Ցանկացած արմատի բացարձակ արժեքը հավասար է 1։ Կոմպլեքս հարթության վրա միավորի արմատները առաջացնում են կանոնավոր բազմանկյան կողեր` ստեղծելով միավոր շրջանագիծ։ Մի կողմը միշտ հանդիսանում է $1+i0$ կոմպլեքս միավորը։
• Եթե $u_{k}$-ն` միավորի արմատը, համարվում է ${\overline {u_{k}}}$ թվի լծորդը, որեմն այդ թիվը նույնպես միավորի արմատ է։
• Քննարկենք M-ը, որը միավոր շրջանագծի վրա կամայական կետ է հանդիսանում։ Եթե հեռավորությունների գումարը դուրս է մնում M կետից, ապա միավորի բոլոր արմատները հավասար են 2n։

Հանրահաշվական հաշվարկ

• Միավորից արմատները իրենցից ներկայացնում են ամբողջ հանրահաշվական թվեր։
• Միավորից արմատները առաջացնում են բազմապատկման կոմուտատիվ խմբեր։ Մասնավորապես, ցանկացած ամբողջ աստիճանի արմատ միավորից նույնպես համարվում է արմատ միավորից։ Հակադարձ տարրը` այդ խմբի ցանկացած տարրի համար համարվում է լծորդ։ Խմբի չեզոք տարրերը համարվում են կոմպլեքս միավորներ։
• Միավորից արմատների խումբը ադիտիվ է $\mathbb {Z} _{n}$-ի հետ։ Այստեղից հետևում է, որ դրանք համարվում են ցիկլիկ խմբեր. պարզության համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած $u_{k}$ տարր, որտեղ $k$ ինդեքսը

փոխադարձաբար պարզ է $n$ թվի հետ.

• • Հետևանքներ.
    • $u_{1}$ միշտ համարվում է պարզ,
    • եթե $n$-ը պարզ թիվ է, ապա ցանկացած արմատի աստիճանը` բացի $\pm 1$-ից, կազմում է ողջ խումբը,
    • պարզ արմատների թիվը հավասար է $\varphi (n)$, որտեղ $\varphi$ ֆունկցիան Էյլերի ֆունկցիան է։
• Եթե $n>1$, ապա միավորից ցանկացած աստիճանի $u$ պարզ արամատը ունի հետևյալ բանաձևը.

$\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0$

• $\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n\qquad (n>1)$

Միավորից քառակուսի արմատներ

Օրինակներ

Միավորից խորանարդ արմատներ.

$\left\{1;\ {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Միավորից 4-րդ աստիճանի արմատներ.

$\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i\right\}$

Միավորից 6-րդ աստիճանի արմատներ

5-րդ աստիճանի արմատի համար գոյություն ունի 4 կարևոր տարր.

$\left\{e^{2\pi ik \over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}$

6-րդ աստիճանի համար օգտագործվող տարրերը երկուսն են.

$\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Տե՛ս նաև

• Շրջանային բազմանդամ

Գրականություն

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9
• Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
• Milne James S. (1998)։ «Algebraic Number Theory»։ Course Notes։ Արխիվացված օրիգինալից 2012-04-02-ին։ Վերցված է 2016-08-08 

Արտաքին հղումներ

• Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.