Թիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
(Վերահղված է Թվերից)
Jump to navigation Jump to search

Թիվը մաթեմատիկական օբյեկտ է, որ օգտագործվում է հաշվարկների, չափումների և համարակալման համար։ Թվերի սկզբնական օրինակներ են բնական թվերը 1, 2, 3, 4 and և այլն։[1] Նշանակման խորհրդանիշը, որ ներկայացնում է թիվը կոչվում է թվանշան։[2] Հաշվարկման և չափման համար օգտագործվելուց զատ, թվերը հաճախ օգտագործվում են որպես նշաններ (ինչպես հեռախոսահամարներ), կարգավորման համար (ինչպես սերիական համարներ) և որպես կոդ (ինչպես ISBN). Սովորական օգտագործման ժամանակ թիվը կարող է վերաբերել նշանի, բառի, կամ մաթեմատիկական աբստրակցիայի։ Մաթեմատիկայում, հարյուրամյակների ընթացքում թվի գաղափարը ընդլայնվել է ներառելով 0-ն,[3] բացասական թվերը,[4] ռացիոնալ թվերը ինչպիսիք են 12 և 23, իրական թվերը[5] ինչպիսիք քառակուսի արմատ 2-ից և պի, և կոմպլեքս թվերը,[6] որոնք ընդլայնում են իրական թվերը ավելացնելով քառակուսի արմատ −1։[4] Թվերի հետ հաշվարկները կատարվում են թվաբանական գործողություններով, առավել ծանոթներն են՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և աստիճան բարձրացնելը։ Դրանց ուսումնասիրությունը կամ օգտագործումը անվանում են թվաբանություն։ Նույն տերմինը կարող է վերաբերվել նաև թվերի տեսությանը, թվերի հատկությունների ուսումնասիրությանը։

Բացի իրենց գործնական կիրառություններից, թվերն ամբողջ աշխարհում ունեն իրենց մշակութային կարևորությունը։[7][8] Օրինակ, արևմտյան հասարակությունում 13 թիվը անհաջողություն է բերում, իսկ "միլիոնը" կարող է նշանակել "շատ"։[7] Թեև այժմ այն վերագրվում է կեղծ գիտությանը, թվերաբանությանը, թվերի առեղծվածային կարևորությանը, հին և միջնադարյան մտքի ներթափանցմանը։[9] Թվերաբանությունը մեծապես ազդել է Հունական մաթեմատիկայի զարգացման վրա, խթանելով թվերի տեսության բազմաթիվ խնդիրների ուսումնասիրությանը, որոնք մինչ օրերս արդիական են։[9]

19-րդ դարի ընթացքում մաթեմատիկոսները սկսեցին մշակել բազմաթիվ տարատեսակ աբստրակցիաներ, որոնք ունեն թվերի որոշակի հատկություններ և կարող են դիտարկվել որպես գաղափարի ընդլայնում։ Առաջանիններից էին հիպերկոմպլեքս թվերը, որոնք բաղկացած են կոմպլեքս թվերի համակարգի զանազան ընդլայնումներ և մոդիֆիկացիաներ։ Այսօր թվերի տեսությունը դիտարկվում է որպես կարևոր հատուկ օրինակներ շատ ավելի ընդհանուր կատեգորիաների ինչպիսին օղակներն են և դաշտերը և "թիվ" տերմինի կիրառումը սովորույթ է, առանց հիմնարար կարևորության։[10]

Թվանշաններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)

Թվերը պետք է տարբերակվեն թվանշաններից, թվերը ներկայացնող նիշքերից։ Եգիպտացիները հայտնաբերեցին առաջին ծածկագրված թվային համակարգը, իսկ հույները, հետևելով դրանց հաշվարկային թվերին, արտապատկերեցին Իոնյան Դորիկ այբուբենների վրա։[11] Հռոմեական թվանշանները, համակարգ, որ օգտագործում էր հռոմեական այբուբենի տառերի կոմբինացիաներ, Եվրոպայում մնաց գերակշռող մինչև 14-րդ դարի վերջի արաբական թվային համակարգի տարածումը և արաբական թվային համակարգը աշխարհում մնում է թվերի ներկայացման ամենընդունված համակարգը ցայսօր։[12] Համակարգի արդյունավետության բանալին զրոյի նիշքն էր, որը ստեղծել էին անթիկ հնդիկ մաթեմատիկոսները մոտավորապես մեր թվարկության 500 թվականին։[12]

Գլխավոր դասակարգում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թվերը կարող են դասակարգվել այնպիսի թվային համակարգերի բազմությունների, ինչպիսիք են բնական թվերը և իրական թվերը։[13] Թվերի հիմնական կատեգորիաները հետևյալն են․

Գլխավոր թվային համակարգեր
Բնական 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... or 1, 2, 3, 4, 5, ...

Երբեմն օգտագործվում են or ։

Ամբողջ թվեր ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Ռացիոնալ ab որտեղ a և b ամբողջ թվեր են b 0 չէ։
Իրական Ռացիոնալ թվերի զուգամիտող հաջորդականության սահմանը
Կոմպլեքս a + bi որտեղ a և b-ն իրական թվեր են և i-ն  −1-ի քառակուսի արմատն է

Ընդհանուր առմամբ, ոչ մի խնդիր չկա յուրաքանչյուր թվային համակարգը ներկայացնել որպես հաջորդի ենթաբազմություն, քանի որ այս թվային համակարգերից յուրաքանչյուրը իր հաջորդի իզոմորֆ ենթաբազմությունն է։ Ստացված հիերարխիան թույլ է տալիս, օրինակ, ձևականորեն ճշգրիտ խոսել իրական թվերի մասին, որոնք ռացիոնալ թվեր են և սիմվոլիկ ներկայացնել

.

Բնական թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Բնական թվեր
1-ից սկսվող բնական թվերը

Ամենածանոթ թվերը բնական թվերն են (երբեմն անվանում են ամբողջ թվեր կամ հաշվելի թվեր): 1, 2, 3, և այլն։ Ավանդաբար բնական թվերի հաջորդականությունը սկսվում է  1-ից (Անթիկ Հունաստանում 0-ն որպես թիվ չէր դիտարկվում։) Այնուամենայնիվ, 19-րդ դարում, բազմությունների տեսաբանները և այլ մաթեմատիկոսներ սկսեցին  0-ն ներառել (դատարկ բազմության հզորություն, այսինքն 0 տարրեր, որտեղ 0-ն ամենափոքր կարդինալ թիվն է) բնական թվերի բազմության մեջ։[14][15] Այսօր, մաթեմատիկոսները տերմինն օգտագործում են երկու բազմության նկարագրության համար՝  0-ն ներառելով կամ ոչ։ Բնական թվերի բազմության նշանակման համար N մաթեմատիկական սիմվոլն է օգտագործվում, նաև գրվում է , և երբեմն կամ , երբ անհրաժեշտ է նշել, որ բազմությունը արդյոք սկսվում է 0-ից կամ 1-ից համապատասխանաբար։

Տասական թվային համակարգ, որ այսօր, համարյա համընդհանուր, օգտագործվում են մաթեմատիկական գործողությունների համար, գրառվում են օգտագործելով տաս 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, և 9 թվանշանները։ Համակարգի հիմքը եզակի թվային նիշերի քանակն է, ներառյալ զրոն, որ թվային համակարգն օգտագործում է թվերը ներկայացնելու համար (տասական համակարգի համար հիմքը 10-ն է)։[16] Այս 10-ական համակարգում, բնական թվի ամենաաջ թվանշանը ունի  1 տեղի արժեք, և յուրաքանչյուր այլ թվանշան ունի իր աջից տասապատիկ տեղի արժեք։

Բազմությունների տեսությունը, որ ի զորու է որպես ժամանակակից մաթեմատիկայի աքսիոմատիկ հիմք ծառայել,[17] բնական թվերը կարող են ներկայացվել համարժեք բազմությունների դասերով։ Օրինակ,  3 թիվը կարող է ներկայացվել որպես ճշգրիտ երեք տարրեր ունեցող բոլոր բազմությունների դաս։ Որպես այլընտրանք, Պեանոյի թվաբանությունում,  3 թիվը ներկայացվում է որպես sss0, որտեղ s-ը "իրավահաջորդ" ֆունկցիան է (այսինքն, 3-ը  0-ի երրորդ իրավահաջորդն է)։ Հնարավոր են ներկայացման շատ այլ ձևեր, սակայն բոլոր դրանք պետք է  3 թիվը ֆորմալ ներկայացնեն երեք անգամ կրկնելով որոշակի նիշք կամ պատկեր։

Ամբողջ թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Ամբողջ թվեր

Դրական ամբողջ թվից սահմանվում է այնպիսի բացասական թիվ, որը համապատասխան դրական թվին գումարելով ստացվում էs 0։ Բացասական թվերը սովորաբար գրվում են բացասական նշանով (մինուս նշան)։ Որպես օրինակ,  7-ի բացասական թիվը գրվում է −7, և 7 + (−7) = 0։ Երբ բացասական թվերի բազմությունը միավորվում է բնական թվերի բազմության հետ (ներառյալ 0-ն), արդյունքը սահմանվում է որպես ամբողջ թվերի բազմություն Z գրվում է նաև ։ Ամբողջ թվերի բազմությունը գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ կազմում է օղակ։[18]

Բնական թվերը կազմում են ամբողջ թվերի ենթաբազմություն։ Բնական թվերն առանց զրոյի սովորաբար վերաբերում են դրական ամբողջ թվերին, և բնական թվերը, ներառյալ զրոն վերաբերում են ոչ բացասական ամբողջ թվերին։

Ռացիոնալ թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ թիվը կարող է արտահայտվել որպես ամբողջ համարիչով և դրական ամբողջ հայտարարով կոտորակ։ Բացասական հայտարարները թույլատրելի են, սակայն սովորաբար խուսափում են, քանի որ յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ հավասար է դրական հայտարարով ռացիոնալ թվի։ Կոտորակները գրվում են որպես երկու ամբողջ թվեր, համարիչ և հայտարար, որոնք անջատվում են բաժանարար գծով։ mn կոտորակը ներկայացնում էn հավասար մասերի բաժանված ամբողջի m մասերը։ Երկու տարբեր կոտորակներ կարող են վերաբերել միևնույն ռացիոնալ թվին․ օրինակ 12 և 24 հավասար են․

Ընդհանրապես,

if and only if

Երբ m-ի բացարձակ արժեքը մեծ է n-ից (ենթադրաբար դրական է), ապա կոտորակի բացարձակ արժեքը  1-ից մեծ է։ Կոտորակները կարող են լինել  1-ից մեծ, փոքր, կամ հավասար  1-ին և նաև կարող են լինել դրական, բացասական կամ  0։ Ռացիոնալ թվերի բազմությունը ներառում է ամբողջ թվերը, քանի որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել որպես 1 հայտարաով կոտորակ։ Օրինակ −7 կարող է ներկայացվել −71։ Ռացիոնալ թվերի նշանը Q-ն է (քանորդ, quotient), գրվում է նաև .

Իրական թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Իրական թվեր


Իրական թվերը նշանակվում են R սիմվոլով, ինչպես նաև գրվում են Դրանք ներառում են բոլոր չափելի թվերը։ Յուրաքանչյուր իրական թիվ համապատասխանում է թվերի ուղղի որոշակի կետի։ Հաջորդ պարբերությունը հիմնականում անդրադառնալու է դրական իրական թվերի վրա։ Բացասական իրական թվերի նկատմամբ գործողությունները տարվում են թվաբանության հիմնական օրենքներով և դրանց գրելաձևը պարզ է, ուղղակի դնում ենք մինուս նշան համապատասխան դրական թվանշանի առջև, օրինակ -123.456։

Իրական թվերի մեծամասնությունը կարող են ներկայացվել մոտավոր տասական թվանշաններով, որում տասնորդական կետը դրվում է  1 տեղի արժեք ունեցող թվից աջ։ Տասնորդական կետից աջ գտնվող յուրաքանչյուր թվանշան ունի իրենից ձախ գտնվող թվանշանի մեկ-տասներորդ տեղի արժեքը։ Օրինակ, 123.456-ը ներկայացվում է 1234561000, կամ, բառերով, մեկ հարյուր, երկու տասնյակ, երեք մեկ, չորս տասներորդ, հինգ հարյուրերորդ և վեց հազարերորդ։ Իրական թիվը կարող է ներկայացվել վերջավոր տասնորդական թվանշաններով միայն, եթե այն ռացիոնալ է և դրա կոտորակային մասի հայտարարի ուղիղ գործակիցները 2 oկամ 5 կամ երկուսն էլ, որովհետև դրանք տասի ուղիղ գործակիցներ են, տասական համակարգի հիմքը։ Այսպես օրինակ, մեկ երկրորդը 0.5 է, մեկ հինգերորդը՝ 0.2, մեկ տասներորդը՝ 0.1 և մեկ հիսուներորդը՝ 0.02։ Մյուս իրական թվերը ներկայացնելու համար տասնորդական կետից աջ կպահանջվի թվանշանների անվերջ հաջորդականություն։ Եթե թվանշանների անսահման հաջորդականությունը կրկնվող շաբլոն ունի, այն կարող ներկայացվել բազմակետերի միջոցով կամ կրկնվող շաբլոնը ցուցադրող այլ եղանակով։ Այդպիսի տասնորդականը կոչվում է կրկնվող տասնորդական։ Այսպիսով 13 կարող է գրվել 0.333..., միջակետերով ցույց տալով կրկնվող շաբլոնը։ Անվերջ կրկնվող 3-ները կարող են նաև ներկայացվել որպես 0.3։

Ոչ միայն այս նշանավոր օրինակները, բայց համարյա բոլոր իրական թվերը իռացիոնալ են և այդ պատճառով չունեն կրկնվող շաբլոններ հետևաբար և համապատասխան տասական թվանշան։ Դրանք կարող են միայն մոտարկվել տասական ներկայացմամբ՝ կլորացնելով կամ հատելով իրական թվերը։ Յուրաքանչյուր կլորացրած կամ հատած թիվ անհրաժեշտաբար ռացիոնալ թիվ է, որոնցից միայն հաշվելի շատ կան։ Բոլոր չափումները իրենց բնույթով մոտավոր են, և միշտ ունեն սխալի սահման։ Այսպիսով 123.456 թիվը դիտարկվում է որպես կամայական իրական թվի մոտարկում, որը 123455510000-ից մեծ է կամ հավասար և խիստ փոքր է քան 123456510000 (կլորացրած մինչև 3 տասնորդական), կամ մեծ է կամ հավասար 1234561000-ից և խիստ փոքր է 1234571000-ից (կլորացրած մինչև 3. տասնորդական)։ Digits that suggest a greater accuracy than the measurement itself does, should be removed. The remaining digits are then called significant digits. For example, measurements with a ruler can seldom be made without a margin of error of at least 0.001 meters. If the sides of a rectangle are measured as 1.23 meters and 4.56 meters, then multiplication gives an area for the rectangle between 5.614591 square meters and 5.603011 square meters. Since not even the second digit after the decimal place is preserved, the following digits are not significant. Therefore the result is usually rounded to 5.61.

Թվանշանների անվանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թվերը, որ մենք օգտագործում ենք, (1,2,3,4 և այլն) կոչվում են արաբական։ Դրանք հայտնի են դարձել արաբներից, սակայն նրանց ծագումը գալիս է փյունիկյան առևտրականներից, որոնք օգտագործում էին այդ թվերը իրենց առևտրական հաշիվները պահելու համար։ Ինչու՞ է 1-ը «մեկ», 2-ը «երկու», 3-ը «երեք» և այլն։ Իրականում այդ անունները բխում են նրանց գրելաձևի մեջ անկյունների քանակից։

Անկյունների քանակը համապատասխանում է թվանշանի անվանը
4-6 թվեր.jpg
7 և 8 թվերը
Զրոն անկյուն չունի

Թվերի անվանումները կարճ սանդղակով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Միավորների հաշվարկման միջազգային համակարգում ըստ հաշվարկման տասական համակարգի բնական թվերն ունեն հետևյալ հատուկ նշանակումները.

  • 100 = 1 - մեկ
  • 101 = 10 - տասը
  • 102 = 100 - հարյուր
  • 103 = 1 000 - հազար
  • 106 = 1 000 000 - միլիոն
  • 109 = 1 000 000 000 - միլիարդ (բիլիոն)
  • 1012 = 1 000 000 000 000 - տրիլիոն
  • 1015 = 1 000 000 000 000 000 - քուադրիլիոն
  • 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 - քվինտիլիոն
  • 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 - սեքստիլիոն
  • 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեպտիլիոն
  • 1027 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - օկտիլիոն
  • 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - նոնիլիոն
  • 1033 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - դեսիլիոն
  • 1036 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - էնդեսիլիոն
  • 1039 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - դուադեսիլիոն
  • 1042 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - տրեդեսիլիոն
  • 1045 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - քուաթորդեսիլիոն
  • 1048 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - քուինդեսիլիոն
  • 1051 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեքսդեսիլիոն
  • 1054 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեպտենդեսիլիոն
  • 1057 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - օկտոդեսիլիոն
  • 1060 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - նովեմբեդեսիլիոն
  • 1063 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - վիջինթիլիոն
  • 1066 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - անվիջինթիլիոն
  • 10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - գուգոլ
  • 10googol = 1010100 - գուգլփլեքս
  • 10303 - սենթիլիոն[19][20]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. «number, n.»։ OED Online (en-GB) (Oxford University Press) 
  2. «numeral, adj. and n.»։ OED Online (Oxford University Press) 
  3. Matson John։ «The Origin of Zero»։ Scientific American (անգլերեն)։ Վերցված է 2017-05-16 
  4. 4,0 4,1 Hodgkin Luke (2005-06-02)։ A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (անգլերեն)։ OUP Oxford։ էջեր 85–88։ ISBN 9780191523830 
  5. T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–1. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds։ (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2 .
  6. Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, ISBN 0-486-60068-8, http://www.gutenberg.org/ebooks/26400, վերցված է 20 April 2011 
  7. 7,0 7,1 Gilsdorf, Thomas E. Introduction to Cultural Mathematics: With Case Studies in the Otomies and Incas, John Wiley & Sons, Feb 24, 2012.
  8. Restivo, S. Mathematics in Society and History, Springer Science & Business Media, Nov 30, 1992.
  9. 9,0 9,1 Ore, Oystein. Number Theory and Its History, Courier Dover Publications.
  10. Gouvea, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics, Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics", p. 82. Princeton University Press, September 28, 2008. Կաղապար:Isbn.
  11. Chrisomalis Stephen (2003-09-01)։ «The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals»։ Antiquity 77 (297): 485–496։ ISSN 0003-598X։ doi:10.1017/S0003598X00092541 
  12. 12,0 12,1 Bulliet Richard, Crossley Pamela, Headrick, Daniel, Hirsch Steven, Johnson Lyman (2010)։ The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1։ Cengage Learning։ էջ 192։ ISBN 1439084742։ «Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today» Կաղապար:Better source
  13. "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." [1]
  14. Weisstein, Eric W., "Natural Number", MathWorld.
  15. «natural number», Merriam-Webster.com (Merriam-Webster), http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number, վերցված է 4 October 2014 
  16. «Base System»։ www.chalkstreet.com։ 29 June 2016։ Վերցված է 31 August 2016 
  17. Suppes Patrick (1972)։ Axiomatic Set Theory։ Courier Dover Publications։ էջ 1։ ISBN 0-486-61630-4 
  18. Կաղապար:Mathworld
  19. centillion Entry for centillion in the American Heritage Dictionary. Dictionary.com կայքում
  20. Rowlett, Russ (2001-11-01). Names for Large Numbers. 2001 by Russ Rowlett and the University of North Carolina at Chapel Hill