Կատարյալ թիվ
Կատարյալ թիվ, այն բնական թիվն է, որը հավասար է իրենից բացի, իր բոլոր բաժանարարների գումարին։
Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Նշված հատկություն ունեցող թվերով հետաքրքրվել են դեռևս հին հույները, ովքեր նկատել էին, որ այդպիսի թվեր շատ քիչ կան բնական թվերի մեջ և նրանց տվել են «կատարյալ» անունը[1] (հին հունարեն՝ τέλειος αριθμός). Կատարյալ թվերն ուսումնասիրելով, հույն փիլիսոփա Էվկլիդեսը եկավ այն եզրակացության, որ, եթե որևէ k բնական թվի դեպքում 2k-1 թիվը պարզ է, ապա n=2k-1(2k-1) թիվը կատարյալ է։
2k−1 տեսքի պարզ թվերն ստացել են Մերսենի թվեր անունը՝ թվերի տեսությունն ու կատարյալ թվերն ուսումնասիրած տասնյոթերորդ դարի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։
Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հին հույներին հայտնի են եղել 6, 28, 496 և 8128 կատարյալ թվերը և նրանց թվացել է, թե այլ կատարյալ թիվ չկա[1] Հույն մաթեմատիկոս Նիկոմաքոսը նշել է 8128 կատարյալ թիվը դեռևս մ.թ.ա. 100 թ.[2]։ 1456-ից 1461 թթ. ժամանակահատվածում գրված ձեռագրում մի անհայտ մաթեմատիկոս արել է ամենավաղ հղումը հինգերորդ կատարյալ 33 550 336 թվի մասին, որն այդ ժամանակ հայտնաբերված է եղել[3][4]։ 1588 թ. իտալացի մաթեմատիկոս Պիետրո Կատալդին հայտնաբերել է վեցերորդ (8 589 869 056)[5] և յոթերորդ (137 438 691 328) կատարյալ թվերը[6]։
Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Յուրաքանչյուր կատարյալ թիվ հավասար է առաջին 2(k−1)/2 հատ կենտ թվերի խորանարդների գումարին՝
![{\displaystyle {\begin{aligned}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa183786d803ce1cab48875dabc4b697ee59225)
Կենտ կատարյալ թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Մինչև հիմա կենտ կատարյալ թվեր չեն հայտնաբերվել, սակայն, չի ապացուցվել նաև, թե նրանք չկան։ Ապացուցված է, որ կենտ կատարյալ թիվը, եթե այն կա, ունի 75-ից ոչ պակաս պարզ բաժանարար։
Կենտ կատարյալ թվեր որոնելով կա զբաղվող հատուկ նախագիծ՝ OddPerfect.org Archived 2018-11-06 at the Wayback Machine.։
Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- ↑ 1,0 1,1 Գ.Ա.Ղարագեբակյան, Թվերի տեսության դասընթաց, Էդիթ պրինտ, Երևան, 2008 թ.
- ↑ Dickson L. E. (1919)։ History of the Theory of Numbers։ Washington: Carnegie Institution of Washington։ էջեր iii
- ↑ Munich, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908
- ↑ Smith DE (1958)։ The History of Mathematics։ New York: Dover։ էջ 21։ ISBN 0-486-20430-8
- ↑ Peterson I (2002)։ Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles։ Washington: Mathematical Association of America։ էջ 132։ ISBN 88-8358-537-2
- ↑ Pickover C (2001)։ Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning։ Oxford: Oxford University Press։ էջ 360։ ISBN 0-19-515799-0
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 5, էջ 287)։ 
|