Մերսենի թիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
(Վերահղված է Մերսեննի թվերից)

Մերսենի թվեր են համարվում Mn = 2n - 1 տեսքի թվերը, որտեղ nբնական թիվ է։ Անունն ստացել են 17-րդ դարում դրանք ուսումնասիրած ֆրանսիացի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։

Մերսենի թվերի հաջորդականությունը սկսում է այս կերպ՝

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … :

Երբեմն Մերսենի թվեր անվանում են Mp թվերին, որտեղ p-ն պարզ թիվ է։ Այդ հաջորդականությունը սկսում է այսպես՝

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, … :

2013թ. փետրվարի դրությամբ հայտնի է Մերսենի 48 թիվ: Ամենամեծ հայտնի 257 885 161 − 1 պարզ թիվը Մերսենի պարզ թիվ է: 1997-ից սկսած, Մերսենի բոլոր նոր թվերը հայտնաբերվել են “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS) ինտերնետային հաշվողական նախագծով:

Հատկությունները[խմբագրել]

  • Եթե Mnպարզ թիվ է, ապա n-ը նույնպես պարզ է։ Հակառակն, ընդհանուր առմամբ, ճիշտ չէ, ամենափոքր օրինակ է հանդիսանում` M_{11} = 2047 = 23\cdot 89:

Մերսենի պարզ թվերը[խմբագրել]

Մերսենի թվերը հայտնի դարձան, կապված Լյուկ-Լամերի բավականին արդյունավետ պարզության հայտանիշի հետ, որի շնորհիվ, Մերսենի պարզ թվերը արդեն բավականին ժամանակ է, ինչ ամենամեծ հայտնի պարզ թվերն են։[1]
Մերսենի 45-րդ պարզ թիվը M_{43112609} = 2^{43112609} - 1 թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում M_{43112609}-ի երկարությունը 12978189 թվանշան է, ինչը թույլ տվեց այն հայտնաբերած GIMPS[2]-ին 2009 թվին ստանալու տասը միլիոնից ոչ պակաս թվանշան պարունակող պարզ թիվ գտնելու համար Electronic Frontier Foundation-ի սահմանած 100 000 ԱՄՆ դոլար մրցանակը։[3]

Ընդհանրացումներ[խմբագրել]

  • Մերսենի կրկնակի թվերը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝ MM_n = M_{M_n} = 2^{2^n - 1} - 1.

Այսօրվա դրությամբ հայտնի են այդ տեսքի միայն չորս պարզ թիվ` n = 2, 3, 5, 7 դեպքում:

Բաց խնդիրներ[խմբագրել]

  • Մերսենի պարզ թվերի քանակի անվերջությունը և դրանց ասիմպտոտիկան:
  • M_{M_{61}} = 2^{2^{61} - 1} - 1 թվի պարզությունը։

Կիրառությունը[խմբագրել]

Գործնականում Մերսենի պարզ թվերը կիրառվում են մեծ պարբերականության կեղծ պատահական թվերի գեներատորներ կառուցելու համար: [4]:

Ուշագրավ փաստ[խմբագրել]

Փոքր մոլորակով թիվ 8191 աստերոիդի անունն ի պատիվ Մերին Միրսենի, դրել են (8191) Միրսեն, քանի որ 8191-ը Միրսենի պարզ թիվ է:(3 Յունոնան, 7 Իրիսը, 31 Եւփրոսինեն եւ 127 Հովհաննան հայտնաբերվել եւ անուններ են ստացել 19-րդ դարի ընթացքում:)[5]

Աղբյուրներ[խմբագրել]

  1. The Largest Known Primes(անգլերեն)
  2. GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)` Մերսենի պարզ թվեր որոնելու կամավոր հաշվարկների լայնամասշտաբ նախագիծ:
  3. EFF Cooperative Computing Awards(անգլերեն)
  4. R. P. Brent, P. Zimmermann (2003)։ «Random number generators with period divisible by a Mersenne prime»։ Lecture Notes in Computer Science։
  5. Alan Chamberlin։ «JPL Small-Body Database Browser»։ Ssd.jpl.nasa.gov։ http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=8191+Mersenne։ Վերցված է 2011-05-21։