Մերսենի թիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
(Վերահղված է Մերսեննի թվերից)

Մերսենի թվեր են համարվում Mn = 2n - 1 տեսքի թվերը, որտեղ nբնական թիվ է։ Անունն ստացել են 17-րդ դարում դրանք ուսումնասիրած ֆրանսիացի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։

Մերսենի թվերի հաջորդականությունը սկսում է այս կերպ՝

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … :

Երբեմն Մերսենի թվեր անվանում են Mp թվերին, որտեղ p-ն պարզ թիվ է։ Այդ հաջորդականությունը սկսում է այսպես՝

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, … :

2013 թ. փետրվարի դրությամբ հայտնի է Մերսենի 48 թիվ։ Ամենամեծ հայտնի 257 885 161 − 1 պարզ թիվը Մերսենի պարզ թիվ է։ 1997-ից սկսած, Մերսենի բոլոր նոր թվերը հայտնաբերվել են “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS) ինտերնետային հաշվողական նախագծով։

Հատկությունները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Եթե Mnպարզ թիվ է, ապա n-ը նույնպես պարզ է։ Հակառակն, ընդհանուր առմամբ, ճիշտ չէ, ամենափոքր օրինակ է հանդիսանում՝ :
  • Mp թվի ցանկացած բաժանարար պարզ p-ի համար ունի 2pk+1 տեսք, որտեղ kբնական թիվ է (Ֆերմայի փոքր թեորեմի հետևանք)։
  • Ամեն զույգ կատարյալ թիվ ունի տեսքը, որտեղ Մերսենի թիվը հանդիսանում է պարզ (ապացուցել է Էյլերը

Մերսենի պարզ թվերը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մերսենի թվերը հայտնի դարձան, կապված Լյուկ-Լամերի բավականին արդյունավետ պարզության հայտանիշի հետ, որի շնորհիվ, Մերսենի պարզ թվերը արդեն բավականին ժամանակ է, ինչ ամենամեծ հայտնի պարզ թվերն են։[1]
Մերսենի 45-րդ պարզ թիվը թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում -ի երկարությունը 12978189 թվանշան է, ինչը թույլ տվեց այն հայտնաբերած GIMPS[2]-ին 2009 թվին ստանալու տասը միլիոնից ոչ պակաս թվանշան պարունակող պարզ թիվ գտնելու համար Electronic Frontier Foundation-ի սահմանած 100 000 ԱՄՆ դոլար մրցանակը։[3]

Ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Մերսենի կրկնակի թվերը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝ .

Այսօրվա դրությամբ հայտնի են այդ տեսքի միայն չորս պարզ թիվ՝ n = 2, 3, 5, 7 դեպքում։

Բաց խնդիրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Մերսենի պարզ թվերի քանակի անվերջությունը և դրանց ասիմպտոտիկան։
  • թվի պարզությունը։

Կիրառությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գործնականում Մերսենի պարզ թվերը կիրառվում են մեծ պարբերականության կեղծ պատահական թվերի գեներատորներ կառուցելու համար։[4]:

Ուշագրավ փաստ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Փոքր մոլորակով թիվ 8191 աստերոիդի անունն ի պատիվ Մերին Միրսենի, դրել են (8191) Միրսեն, քանի որ 8191-ը Միրսենի պարզ թիվ է։(3 Յունոնան, 7 Իրիսը, 31 Եւփրոսինեն եւ 127 Հովհաննան հայտնաբերվել եւ անուններ են ստացել 19-րդ դարի ընթացքում։)[5]

Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. The Largest Known Primes(անգլ.)
  2. GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)` Մերսենի պարզ թվեր որոնելու կամավոր հաշվարկների լայնամասշտաբ նախագիծ։
  3. EFF Cooperative Computing Awards(անգլ.)
  4. R. P. Brent, P. Zimmermann (2003)։ «Random number generators with period divisible by a Mersenne prime»։ Lecture Notes in Computer Science։
  5. Alan Chamberlin։ «JPL Small-Body Database Browser»։ Ssd.jpl.nasa.gov։ Վերցված է 2011 թ․ մայիսի 21