Օղակ (մաթեմատիկա)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Օղակ (այլ կիրառումներ)

Դիցուք $G$ բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինը անվանենք "գումարում", իսկ երկրորդը՝ "բազմապատկում"։

Համապատասխանաբար օգտվենք " + " և " $\cdot$ " նշաններից։

Սահմանում

Ռիխարդ Դեդեքինդը` օղակների տեսության հիմնադիրներից մեկը։

$($ $G,$ $+,$ $\cdot$ $)$ համակարգը կոչվում է օղակ, եթե՝

1. $($ $G,$ $+$ $)$ համակարգը տեղափոխելի խումբ է։

2. $($ $a$ $\cdot$ $b$ $)$ $\cdot$ $c$ = $a$ $\cdot$ $($ $b$ $\cdot$ $c$ $)$

3․ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ $\cdot$ $c$ = $a$ $\cdot$ $c$ + $b$ $\cdot$ $c$ և $a$ $\cdot$ $($ $b$ $+$ $c$ $)$ = $a$ $\cdot$ $b$ + $a$ $\cdot$ $c$

Եթե $G$ - ի բոլոր տարրերի համար տեղի ունի նաև $a$ $\cdot$ $b$ = $b$ $\cdot$ $a$ պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի(Աբելյան)։

Եթե $\exists \ 1\in G:\forall \ a\in G\quad a\cdot 1=1\cdot a=a$, ապա օղակը կոչվում է միավորով, $1$֊ն էլ՝ նրա միավորը։

Դաշտ

Տեղափոխելի օղակը կոչվում է դաշտ, եթե ցանկացած ոչ զրոական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝

$($ $\forall$ $a$ $\neq$ $0$ $\exists$ $b$ $)$ $a$ $\cdot$ $b$ = $b$ $\cdot$ $a$ = $1$:

Դրույթներ

Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ՝ օղակների և դաշտերի վերաբերյալ՝
ա) P օղակում a+x=0 հավասարումն ունի միակ լուծում, անկախ a-ի ընտրությունից։ Այն նշանակվում է 0 և կոչվում է զրոյական տարր (սակայն այն տեղին չէ նույնացնել 0 թվի հետ)։
բ) Եթե P օղակի մի կամ մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը 0 է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այնինչ՝ հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն՝ հնարավոր է, որ a≠0 և b≠0, բայց՝ ab=0։ այս պարագայում a, b $\epsilon$ P տարրերը կոչվում են զրոյի բաժանարարներ։