Օղակ (մաթեմատիկա)

Անվան այլ կիրառումների համար տես՝ Օղակ (այլ կիրառումներ)

Դիցուք $G$$G$ բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինը անվանենք "գումարում", իսկ երկրորդը՝ "բազմապատկում"։

Համապատասխանաբար օգտվենք " + " և " $\cdot$$\cdot$ " նշաններից։

Սահմանում

Ռիխարդ Դեդեկինդը` օղակների տեսության հիմնադիրներից մեկը։

$($$($ $G,$$G,$ $+,$$+,$ $\cdot$$\cdot$ $)$$)$ համակարգը կոչվում է օղակ, եթե՝

1. $($$($ $G,$$G,$ $+$$+$ $)$$)$ համակարգը տեղափոխելի խումբ է։

2. $($$($ $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $b$$b$ $)$$)$ $\cdot$$\cdot$ $c$$c$ = $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $($$($ $b$$b$ $\cdot$$\cdot$ $c$$c$ $)$$)$

3. $G$$G$ - ում $\exists$$\exists$ մի այնպիսի տարր՝ $1$$1$, որ $\forall$$\forall$ $a$$a$ $\epsilon$$\epsilon$ $G$$G$-ի համար՝ $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $1$$1$ = $1$$1$ $\cdot$$\cdot$ $a$$a$ = $a$$a$

4. $($$($ $a$$a$ $+$$+$ $b$$b$ $)$$)$ $\cdot$$\cdot$ $c$$c$ = $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $c$$c$ + $b$$b$ $\cdot$$\cdot$ $c$$c$ և $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $($$($ $b$$b$ $+$$+$ $c$$c$ $)$$)$ = $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $c$$c$ + $b$$b$ $\cdot$$\cdot$ $c$$c$

Եթե $G$$G$ - ի բոլոր տարրերի համար տեղի ունի նաև $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $b$$b$ = $b$$b$ $\cdot$$\cdot$ $a$$a$ պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի(Աբելյան)։

Դաշտ

Տեղափոխելի օղակը կոչվում է դաշտ, եթե ցանկացած ոչ զրոական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝

$($$($ $\forall$$\forall$ $a$$a$ $\neq$$\neq$ $0$$0$ $\exists$$\exists$ $b$$b$ $)$$)$ $a$$a$ $\cdot$$\cdot$ $b$$b$ = $b$$b$ $\cdot$$\cdot$ $a$$a$ = $1$$1$:

Դրույթներ

Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ՝ օղակների և դաշտերի վերաբերյալ՝
ա) P օղակում a+x=0 հավասարումն ունի միակ լուծում, անկախ a-ի ընտրությունից։ Այն նշանակվում է 0 և կոչվում է զրոյական տարր (սակայն այն տեղին չէ նույնացնել 0 թվի հետ)։
բ) Եթե P օղակի մի կամ մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը 0 է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այնինչ՝ հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն՝ հնարավոր է, որ a≠0 և b≠0, բայց՝ ab=0։ այս պարագայում a, b $\epsilon$$\epsilon$ P տարրերը կոչվում են զրոյի բաժանարարներ։