Էրատոսթենեսի մաղ

Էրատոսթենեսի մաղ
Տեսակ	primality test?
Անվանված է	Էրատոսթենես Կիրենացի

Էրատոսթենեսի մաղ մինչև $n$ որոշակի ամբողջ թիվը եղած պարզ թվերը գտնելու ալգորիթմ, որի հայտագործումը վերագրում են հին հույն մաթեմատիկոս Էրատոսթենես Կիրենացուն^[1]։ Ինչպես և մնացած բոլոր դեպքերում, այստեղ ալգորիթմի անունը խոսում է նրա կատարած աշխատանքի սկզբունքի մասին, այսինքն մաղը իրենից ենթադրում է «զտում», այս դեպքում, բացի պարզ թվերից, «զտվում են» մնացած բոլոր թվերը։ Թվերի ցանկով առաջ անցնելիս պարզ թվերը մնում են, իսկ մնացած թվերը, որոնք կոչվում են բաղադրյալ թվեր, հեռացվում են։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Համաձայն լեգենդի, մեթոդը ստացել է «մաղ» անվանումը, քանի որ Էրատոսթենեսը թվերը գրում էր մոմով պատված փոքրիկ տախտակի վրա, և անցք էր բացում այն տեղերում, որտեղ գրված էին բաղադրյալ թվեր։ Տախտակը նմանեցնում էին մաղի, որի միջոցով մաղում էին բաղադրյալ թվերը և թողնում միայն պարզ թվերը։ Էրատոսթենեսը կազմել է մինչև 1000 եղած պարզ թվերի ցանկը։

Ալգորիթմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մինչև տրված n թիվը եղած պարզ թվերը գտնելու համար, համաձայն Էրատոսթենեսի մեթոդի, անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ քայլերը՝

Գրել 2-ից մինչև n թիվը եղած բոլոր ամբողջ թվերը (2, 3, 4, …, n)։
Ներմուծել p փոփոխականը, որը հավասար է առաջին պարզ թվին՝ 2-ի։
Ընդգծել 2p-ից մինչև n եղած թվերը, արժեքը ավելացնելով p-ով (ցանկը կլինի հետևյալը՝ p, 2p, 3p, 4p, …)։
Գտնել առաջին p-ից մեծ արժեք ունեցող չընդգծված թիվը, և p փոփոխականին տալ նրա արժեքը։
Քանի հնարավոր է կրկնել 3-րդ և 4-րդ քայլերը։

Հիմա 2-ից միինչև n եղած բոլոր չընդգծված թվերը պարզ են։

Գործնականում ալգորիթմը հնարավոր է հեշտացնել հետևյալ ձևով. 3-րդ քայլում թվերը ընդգծել սկսած p²-ից, քանի որ դրանից փոքր բոլոր բաղադրյալ թվերը այդ ժամանակ ընդգծված չեն լինում։ Եվ, համապատասխանաբարորեն ալգորիթմի քայլերը դադարեցնել երբ p²-ը դառնա p-ից մեծ։ Ինչպես նաև, բոլոր պարզ թվերը(բացի 2-ից) կենտ են, այդ իսկ պատճառով, նրանց կարելի է հաշվել 2p քայլով , սկսած p²-ից։

Ալգորիթմի բարդություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մինչև $n$ եղած պարզ թվերը հաշվելու ալգորիթմի հաշվողական բարդությունը $O(n\log(\log n))$ է^[2]։

Բարդության ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընտրված $n\in \mathbb {N}$ թվի համար ամեն պարզ $p\in \mathbb {P} \colon p\leq n$ թվի համար կատարվում է ներքին ցիկլ(կրկնություն), որը կկատարի ${\frac {n}{p}}$ գործողություն։ Հետևաբար, պետք է գնահատել հետևյալ մեծությունը՝

$\sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {n}{p}}=n\cdot \sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {1}{p}}$

Քանի որ $n$ -ից փոքր կամ հավասար պարզ թվերի քանակը գնահատվում է որպես ${\frac {n}{\ln n}}$ , ինչի արդյունքում, $k$ պարզ թիվը մոտավորապես հավասար է $k\ln k$ , գումարը հնարավոր է գրել այսպես՝

$\sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {1}{p}}\approx {\frac {1}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{\frac {n}{\ln n}}{\frac {1}{k\ln k}}$

Այստեղ գումարից առանձնացվում է առաջին պարզ թիվը, որպեսզի խուսափենք 0 թվի վրա բաժանելուց։ Այսպիսով գումարը հնարավոր է գնահատել հետևյալ ինտեգրալով՝

${\frac {1}{2}}+\sum _{k=2}^{\frac {n}{\ln n}}{\frac {1}{k\ln k}}\approx \int \limits _{2}^{\frac {n}{\ln n}}{\frac {1}{k\ln k}}\,dk=\ln \ln k{\Bigr |}_{2}^{\frac {n}{\ln n}}=\ln \ln {\frac {n}{\ln n}}-\ln \ln 2=\ln(\ln n-\ln \ln n)-\ln \ln 2\approx \ln \ln n$

Արդյունքում ստանում ենք հետևյալը՝

$\sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {n}{p}}\approx n\ln \ln n+o(n)$

Ավելի խիստ և հիմնավորված ապացույց հնարավոր է գտնել Hardy и Wright «An Introduction to the Theory of Numbers» գրքում^[3]։

Մեքենայական կոդ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մեքենայական օպտիմալ կոդի իրագործված է հետևյալ կերպ^[4]^[5]՝

Մուտք։ n բնական թիվ

A — տրամաբանական(բինար) զանգված, ինդեքսավորված 2-ից մինչև  n,սկզբնապես արժևորված true արժեքով։

for i := 2, 3, 4, ..., while i ≤ n:
 if A[i] = true:
for j := i², i² + i, i² + 2i, ..., while j ≤ n:
 A[j] := false

Ելք։ i թվեր, որոնց համար A[i] = true

Օրինակ n = 30 դեպքի համար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրենք $2$ -ից մինչև $30$ եղած բոլոր բնական թվերը՝

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Ցանկում առաջին թիվը՝ $2$ ը պարզ թիվ է։ Անցնելով ցանկով, ջնջենք $2$ ին պատիկ բոլոր թվերը(այսինքն ամեն երկրորդը, սկսած $22 = 4$ -ից )

2 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Մյուս չջնջված թիվը՝ $3$ ը պարզ է։ Անցնելով ցանկով, ջնջենք $3$ ին պատիկ բոլոր թվերը(այսինքն ամեն երկրորդը, սկսած $32 = 9$ -ից )

2 3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Մյուս չջնջված թիվը՝ $5$ ը պարզ է։ Անցնելով ցանկով, ջնջենք $5$ ին պատիկ բոլոր թվերը(այսինքն ամեն երկրորդը, սկսած $52 = 25$ -ից ) և այսպես շարունակ՝

2 3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Մյուս չջնջված թիվը՝ $7$ , նրա քառակուսին՝ $49$ ավելի մեծ է քան $30$ -ը, այսինքն աշխատանքը ավարտված է և պարզ թվերի ցանկը հետևյալն է՝

2 3 5 7  11  13   17  19   23 29

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ Никомах Герасский, Введение в арифметику, I, 13. [1]
↑ Волшебное решето Эратосфена
↑ Hardy and Wright "An Introduction to the Theory of Numbers, p. 349
↑ Sedgewick, Robert (1992). Algorithms in C++. Addison-Wesley. ISBN 0-201-51059-6. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 26-ին., p. 16.
↑ Jonathan Sorenson, An Introduction to Prime Number Sieves, Computer Sciences Technical Report #909, Department of Computer Sciences University of Wisconsin-Madison, January 2 1990 (the use of optimization of starting from squares, and thus using only the numbers whose square is below the upper limit, is shown).

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. — № 4.
Под. ред. Невская И.И. Неопубликованные материалы Л.Эйлера по теории чисел. — "Наука", 1997.
Проф. Д.Ф.Егоров Элементы теории чисел. — Государственное издательство Москва, 1923.
Кордемский Б. А. Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

[1] Никомах Герасский, Введение в арифметику, I, 13. [1]

[2] Волшебное решето Эратосфена

[3] Hardy and Wright "An Introduction to the Theory of Numbers, p. 349

[sedgewick-4] Sedgewick, Robert (1992). Algorithms in C++. Addison-Wesley. ISBN 0-201-51059-6. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 26-ին., p. 16.

[intro-5] Jonathan Sorenson, An Introduction to Prime Number Sieves, Computer Sciences Technical Report #909, Department of Computer Sciences University of Wisconsin-Madison, January 2 1990 (the use of optimization of starting from squares, and thus using only the numbers whose square is below the upper limit, is shown).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]