Քառակուսի արմատ երկուսից

	;
Հաշվողական համակարգը	Մոտավոր թիվը -ից
Տասական հաշվողական համակարգ	1.4142135623730950488…
Երկուական հաշվողական համակարգ	1.0110101000001001111…
Տասնվեցական հաշվողական համակարգ	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Տասնվեցական հաշվողական համակարգ	1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Ռացիոնալ մոտավորություններ	3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; 8119/5741; 19601/13860 (ըստ ճշգրտության աճման կարգի)
Աընդհատ կոտորակ

Բաբելոնական կավե արձանագրություն] քառակուսի արմատ 2-ից առավելագույն ճշգրտությամբ՝ 60 նիշից բաղկացած թվով

Քառակուսի արմատ 2-ից թիվը դրական թիվ է, որը ինքն իրենով բազմապատկելուց ստացվում է 2։ Նշանակումը՝ ${\sqrt {2}}$ :

Երկրաչափորեն քառակուսի արմատ երկուսը կարելի է պատկերացնել որպես 1 երկարություն ունեցող քառակուսու անկյունագիծ (դա բխում է Պյութագորասի թեորեմից)։ Հավանաբար այն եղել է մաթեմատիկայի պատմության մեջ հայտնի առաջին իռացիոնալ թիվը (այսինքն այնպիսի թիվ,որ կոտորակի միջոցով հնարավոր չէ ներկայացնել)։

Ամենաշատ օգտագործվող մոտավորությունը ${\sqrt {2}}$ -ի համար հանդիսանում է ${\tfrac {99}{70}}$ կոտորակը։ Չնայած նրան, որ կոտորակի համարիչը և հայտարարը երկնիշ թվեր են, բայց ճշգրիտ թվից տարբերվում են 1/10000-ով։

${\sqrt {2}}$ -ի առաջին 1000 թվերը^[1]
1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բաբելոնական կավե արձանագրություն] քառակուսի արմատ 2-ից առավելագույն ճշգրտությամբ

Բաբելոնական կավե արձանագրությունը (մոտ մ․թ․ա․ 1800-1600 թվականներ) տալիս է ${\sqrt {2}}$ -ի ավելի ճշգրիտ արժեք, որը կլորացվում է մինչև 6 ճշգրիտ տասնորդական թվերով։

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}:

Մեկ ուրիշ հին հնդկական Շուլբա սուտրա (մոտ մ․թ․ա․800—200 թվականներ) մաթեմատիկական տեքստի համաձայն՝

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686:

Պյութագորասականները հայտնաբերեցին, որ քառակուսու անկյունագիծը անհամաչափ է կողմերի հետ, կամ ժամանակակից լեզվով ասած իռացիոնալ է։ Այս բացահայտման պայմանների և ժամանակի մասին որոշակի տվյալներ հայտնի չեն, բայց ավանդաբար այն վերագրվում է Գիպասին Մետապոնտից, ում այդ բացահայտման համար, ըստ տարբեր լեգենդների, կա՛մ սպանել են, կա՛մ էլ արտաքսել են, մեղադրելով պյութագորասականության գլխավոր ուսմունքը խախտելու համար, այսինքն, որ «բոլոր թվերը բնական են»։ Այդ պատճառով քառակուսի արմատ 2-ին երբեմն անվանում են նաև Պյութագորասի հաստատուն, որովհետև հենց պյութագորասականներն են ապացուցել թվի իռացիոնալությունը, այդպիսով նաև հայտնագործելով իռացիոնալ թվերի գոյության փաստը։

Հաշվման ալգորիթմներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գոյություն ունեն ${\sqrt {2}}$ թվի հաշվման տարբեր ալգորիթմներ։ Ալգորիթմի արդյունքում ստացվում է ${\sqrt {2}}$ -ի մոտավոր արժեքներ՝ սովորական կամ ամբողջ կոտորակների տեսքով։ Ամենատարածված մեթոդը, որ օգտագործվում է բազմաթիվ համակարգիչներում ու հաշվիչ սարքերում, քառակուսի արմատ հաշվելու բաբելոնական մեթոդն է, որի ալգորիթմը հետևյալն է՝

a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}

Ինչքան շատ լինի ալգորիթմի կրկնությունը (այսինքն ո-ների քանակը), այդքան ${\sqrt {2}}$ -ի արժեքը կլինի ավելի ճշգրիտ։ Ամեն կրկնությունը մոտ երկու անգամ շատացնում է ճշգրիտ թվանշանների քանակը։ Բերենք մի քանի առաջին մոտարկումներ սկսած $a_{0}=1$ -ից։

3/2 = 1.5
17/12 = 1.416…
577/408 = 1.414215…
665857/470832 = 1.4142135623746…

1997 թվականին ճապոնացի մաթեմատիկոս Յասումասա Կանադան ${\sqrt {2}}$ թվի արժեքը ճշգրտեց, հասցնելով մինչև 137 438 953 444 թվանշան ստորակետից հետո։ 2007 թվականին ռեկորդը գերազանցվեց․ Սիգերու Կոնդոն 13 օր և 14 ժամում հաշվեց ստորակետից հետո 200 միլիարդ թվանշան՝ 3,6 ԳՀց հաճախականություն և 16 ԳԲ օպերացիոն հիշողություն ունեցող համակարգչի միջոցով։ Մաթեմատիկական հաստատունների շարքում միայն $\pi$ -ն է որ ավելի ճշգրիտ է հաշվվել։

Քառակուսի արմատ երկուսի հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

${\sqrt {2}}$ -ի կեսը մոտավորապես հավասար է 0.70710 67811 86548, որը երկրաչափության և եռանկյունաչափության մեջ տալիս է տալիս է 45° անկյուն կազմող միավոր վեկտորների կոորդինատները՝

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ })

${\sqrt {2}}$ -ի հետաքրքիր հատկություններից մեկը հետևյալն է՝

\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

, որովհետև

({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1

Դա արծաթե հատման հատկություններից է գալիս։

${\sqrt {2}}$ -ի մյուս հետաքրքիր հատկությունը հետևյալն է՝

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2

Քառակուսի արմատ երկուսիցը կարող է արտահայտվել նաև կեղծ i միավորով, որը օգտագործվում է միայն քառակուսի արմատ հաշվելու և թվաբանական գործողությունների ժամանակ՝

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}

и

{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

$\pi$ -ը նաև միայկ թիվն է, բացի 1-ից, որի անվերջ աստիճանը հավասար է իր քառակուսուն՝

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2

${\sqrt {2}}$ -ը օգտագործվում է նաև $\pi$ մոտավորության համար՝

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi {\text{ as }}m\to \infty

Աբստրակտ հանրահաշվի տեսանկյունից՝ ${\sqrt {2}}$ -ը հանդիսանում է $x^{2}-2$ բազմանդամի արմատը, դրա համար համարվում է հանրահաշվական ամբողջ թիվ^[2] $a+b{\sqrt {2}}$ տեսքի բազմաթիվ թվեր, որտեղ $a$ -ն և $b$ -ն ռացիոնալ թվեր են, որոնք ստեղծում են հանրահաշվական դաշտը։ Այն նշանակվում է այսպես՝ $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ և հանդիսանում է իրական թիվ։

Իռացիոնալության ապացույցներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդունենք հակառակը (հակասման սկզբունք), ենթադրենք ${\sqrt {2}}$ -ը ռացիոնալ թիվ է, այսինքն այն կարող ենք գրել ${\frac {m}{n}}$ կոտորակի տեսքով, որտեղ $m$ -ը և $n$ -ը ամբողջ թվեր են։ Այդ հավասարության երկու կողմերը քառակուսի բարձրացնենք՝

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}

m²-ից ամբողջ արմատ է դուրս գալիս 2-ը,իսկ 2n²-ից ամբողջ արմատ դուրս չի գալիս, հետևաբար m²=2n² հավասարությունը անհնար է։

Այսինքն արված ենթադրությունը սխալ է, և ${\sqrt {2}}$ -ը իռացիոնալ թիվ է։

Անընդհատ կոտորակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քառակուսի արմատը երկուսը կարելի է ներկայացնել անընդհատ կոտորակի տեսքով՝

\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}

Անընդհատ կոտորակը տալիս է թվի մոտավոր արժեքին արագորեն հասնող լուծում։ Հաշվելու մեթոդը հեշտ է․ եթե նախորդ համապատասխանող կոտորակը ${\frac {m}{n}}$ -ն է, ապա հաջորդը կլինի ${\frac {m+2n}{m+n}}$ ։ Այստեղ զուգամիտության արագությունը ավելի դանդաղ է աճում, քան Նյուտոնի մեթոդում, բայց հեշտ է հաշվողական գործընթացը։ Առանձնացնենք առաջին մի քանի մոտավորությունները՝

{\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots

Վերջին անընդհատ կոտորակի քառակուսին մոտավորապես հավասար է 2,000000177.

Թղթի ձևաչափ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

${\sqrt {2}}$ -ը օգտագործվում է նաև ISO 216 ստանդարտի թղթի ձևաչափը սահմանելու համար։ Թղթի կողմերի հարաբերակցությունը հավասար է՝ $1:{\sqrt {2}}$ ։ Թղթի կարճ կողմին զուգահեռ երկու հավասար մասերի բաժանումից ստացվում են նույն հարաբերակցության երկու թղթեր։ Դա թույլ է տալիս թղթերը համարակալել ըստ թղթի չափսի նվազմամբ՝ А0, А1, А2, А3, А4,…