Իռացիոնալ թիվ

Իռացիոնալ թվեր

Իռացիոնալ թիվ, իրական թիվ է, որը ռացիոնալ չէ, այսինքն, այն հնարավոր չէ ներկայացվել ${\frac {m}{n}}$ կոտորակի տեսքով, որտեղ $m$–ը ամբողջ թիվ է, $n$-ը՝ բնական թիվ։ Իռացիոնալ թիվը կարող է ներկայացվել անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով։

Իռացիոնալ թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակվում է լատինական $\mathbb {I}$ մեծատառով, կիսաթավ՝ եզրագծված։ Այսպիսով, $\mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$, այսինքն, իռացիոնալ թվերի բազմությունը իրական և ռացիոնալ թվերի բազմությունների տարբերությունն է։

Իռացիոնալ թվերի գոյությունը, ավելի ճիշտ հատվածների գոյությունը, որոնք համաչափելի չեն միավոր հատվածի երկարության հետ, գիտեին հին մաթեմատիկոսները։ Օրինակ, նրանց հայտնի էր, որ չափելի չէ քառակուսու անկյունագիծը և կողմը, որը հավասարազոր է ${\sqrt {2}}$ իռացիոնալությանը։

Հատկություններ

• ցանկացած իրական թիվ կարող է ներկայացվել անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով, ընդ որում իռացիոնալ թվերը և միայն նրանք կարող են ներկայացվել անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով,
• իռացիոնալ թվերը որոշում են Դեդեկինդի հատույթը ռացիոնալ թվերի բազմությունում, որոնցում ներքին դասում չկա ամենամեծը, իսկ վերևում չկա ամենափոքրը,
• յուրաքանչյուր իրական տրանսցենդենտ թիվ իռացիոնալ է,
• յուրաքանչյուր իռացիոնալ թիվ կամ հանրահաշվական թիվ է, կամ տրանսցենդենտ թիվ,
• իռացիոնալ թվերի բազմությունը թվային առանցքի վրա միշտ խիտ է, այսինքն, ցանկացած երկու թվերի միջև գոյություն ունի իռացիոնալ թիվ,
• իռացիոնալ թվերի բազմության վրա կարգը իզոմորֆ է իրական տրանսցենդենտ թվերի բազմության կարգին,
• իռացիոնալ թվերի բազմությունը անհաշվելի է, այն երկրորդ աստիճանի բազմություն է։

Օրինակներ

Իռացիոնալ են՝

• ${\sqrt {n}}$-ը ցանկացած բնական $n$–ի համար, որտեղ $n$-ը բնական թվի ճշգրիտ քառակուսի չէ,
• $e^{x}$-ը ցանկացած ռացիոնալ $x\neq 0$–ի համար,
• $\ln x$-ը ցանկացած ռացիոնալ դրական $x\neq 1$–ի համար,
• $\pi$-ն և $\pi ^{n}$-ը ցանկացած ամբողջ $n\neq 0$–ի համար։

Իռացիոնալության ապացուցման օրինակներ

Քառակուսի արմատ 2-ից

Ենթադրենք, որ ${\sqrt {2}}$-ը ռացիոնալ թիվ է, այսինքն, այն կարելի է ներկայացնել ${\frac {m}{n}}$ կոտորակի տեսքով, որտեղ $m$–ը ամբողջ թիվ է, $n$-ը բնական թիվ։ Ենթադրյալ հավասարումը բարձրացնենք քառակուսի՝

${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}$ :

Քանի որ $m^{2}$-ին պարունակում է զույգ թվով երկուսներ, իսկ $2n^{2}$–ին՝ կենտ թվով երկուսներ, հետևաբար $m^{2}=2n^{2}$ հավասարությունը տեղի չունի։ Իսկ սա նշանակում է, որ մեր նախնական ենթադրությունը ճիշտ չէր, և ${\sqrt {2}}$-ը իռացիոնալ թիվ է։

Երկուական լոգարիթմ 3-ից

Ենթադրենք հակառակը՝ $\log _{2}3$ ռացիոնալ թիվ է, այսինքն այն կարելի է ներկայացնել ${\frac {m}{n}}$ կոտորակի տեսքով, որտեղ $m$–ը և $n$-ը բնական թվեր են։ Քանի որ $\log _{2}3>0$, $m$–ը և $n$-ը կարող ենք վերցնել դրական։ Այդ դեպքում,

$\log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}=\left(2^{\log _{2}3}\right)^{n}=3^{n}$ :

Բայց $2^{m}$ զույգ է։ Ստանում ենք հակասություն։

e թիվը

Ենթադրենք, որ $\!e$ ռացիոնալ է։ Այդ դեպքում այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝ $e={\frac {p}{q}}$, որտեղ $\!p$ -ն ամբողջ թիվ է, իսկ $\!q$ -ն՝ բնական թիվ։ Հետևաբար, $\!p=eq$ :

Բազմապատկելով հավասարման երկու մասերը $\!(q-1)!$ -ով, կստանանք՝

$p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}$

Հավասարման աջ մասից $\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$-ը տեղափոխենք ձախ մաս՝

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$

Աջ մասի բոլոր գումարելիներն ամբողջ են, հետևաբար և ձախ մասի գումարը ամբողջ է։ Միաժամանակ այդ գումարը նաև դրական է, հետևաբար այն փոքր չէ 1-ից։

Մյուս կողմից՝

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}$

Աջ մասում գումարելով երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամները կստանանք՝

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}$

Քանի որ $q\geq 1$,

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1$

Ստացանք հակասություն։

Պատմություն

$\scriptstyle {\sqrt {2}}$-ը իռացիոնալ թիվ է

Պյութագորասյան ժամանակներ

Իռացիոնալ թվերի հայեցակարգը անուղակի ձևով ընդունվել է հնդիկ մաթեմատիկոսների կողմից մ.թ.ա. 7-րդ դարում, երբ Մանավան (մոտավորապես մ.թ.ա. 750-մ.թ.ա. 690) պարզեց, որ որոշ բնական թվերի քառակուսի արմատներ, ինչպիսիք են 2-ը և 61-ը, չեն կարող հստակ ձևով ներկայացվել։

Սովորաբար իռացիոնալ թվերի գոյության առաջին ապացույցը վերագրում են Մետապոնտայից Գեպասին (մոտավորապես մ.թ.ա. 500-ական թվականներ)՝ պյութագորասցուն, ով գտավ այդ ապացույցը հնգանկյան կողմերի երկարությանների ուսումնասիրման ժամանակ։ Պյութագորասցիների ժամանակ համարվում էր, որ գոյություն ունի միասնական չափման միավոր, բավականաչափ փոքր և անբաժանելի, որը ամբողջ թվերի քանակով ընդգրկվում էր ցանկացած հատվածի մեջ։ Սակայն Գեպասը հիմնավորեց, որ այդպիսի միասնական չափման միավոր գոյություն չունի, քանի որ նրա գոյության ենթադրությունը բերում էր հակասության։ Նա ցույց տվեց, որ եթե հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը ամբողջ թվով միավոր հատվածներ, ապա այդ թիվը միաժամանակ պետք է լինի և զույգ, և կենտ։ Ապացույցը ուներ հետևյալ տեսքը՝

• հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի հարաբերությունը էջին կարող է ներկայացվել $a:b$ տեսքով, որտեղ $a$-ն և $b$-ն ընտրված են հնարավոր փոքրերից,
• ըստ Պյութագորասի թեորեմի՝ $a^{2}=2b^{2}$,
• քանի որ $a^{2}$-ին զույգ է, հետևաբար $a$-ն պետք է լինի զույգ (քանի որ կենտ թվի քառակուսին կարող է լինել կենտ թիվ),
• քանի որ $a:b$ անկրճատելի է, $b$-ն պետք է լինի կենտ,
• քանի որ $a$-ն զույգ է, նշանակենք այն $a=2y$ տեսքով,
• այդ դեպքում $a^{2}=4y^{2}=2b^{2}$,
• $b^{2}=2y^{2}$, հետևաբար $b^{2}$ զույգ է, այդ դեպքում զույգ է նաև $b$-ն։
• սակայն ապացուցված էր, որ $b$-ն կենտ է։ Ստացվեց հակասություն։

Հույն մաթեմատիկոսները այս հարաբերությունը անվանեցին անհամաչափելի՝ ալոգոս (անարտահայտելի), սակայն, համաձայն լեգենդի, Գեպասին պատշաճ հարգանքի չարժանացրեցին։ Գոյություն ունի լեգենդ, համաձայն որի Գեպասը հայտնագործություն կատարեց գտնվելով ծովային ճանապարհորդությունում և ջուրը նետվեց այլ պյութագորասցիների կողմից «տիեզերական տարրի ստեղծման համար, ով ժխտում էր ուսմունքը, համաձայն որի բոլոր տիեզերական էությունները կարող են բերվել ամբողջ թվերին և նրանց հարաբերություններին»։ Գեպասի հայտնագործությունը պյութագորասյան մաթեմատիկայի առջև դրեց լուրջ խնդիր, ոչնչացնելով նրա տեսության հիմքում ընկած ենթադրությունը առ այն, որ թվերը և երկրաչափական օբյեկտները միասնական են և անբաժանելի։

Թեոդորոս Կիրենսկին ապացուցեց մինչև 17 բնական թվերի իռացիոնալությունը (բնականաբար հաշվի չառնելով ճշգրիտ քառակուսիները՝ 1, 4, 9 և 16), բայց կանգ առավ դրանում, քանի որ նրա հանրահաշվական գործիքները հնարավորություն չէին տալիս ապացուցելու քառակուսի արմատ 17-ի իռացիոնալությունը։ Այն հանգամանքի մասին, թե ինչպիսին կարող էր լինել այդ ապացույցը, պատմաբան մաթեմատիկոսների մոտ գոյություն ուներ մի քանի տարբեր վարկածներ։ Համաձայն Ժան Իտարայի (1961) առավել ճշմարտանման ենթադրության, այն հիմնված էր զույգ և կենտ թվերի պյութագորասյան տեսության վրա, այդ թվում նաև այն թեորեմի վրա, որ կենտ քառակուսային թվից հանած մեկը բաժանվում է ութ եռանկյունային թվերի վրա։

Ավելի ուշ Էվդոկս Կնիդսկին (մ.թ.ա. 410 կամ 408 – մ.թ.ա. 355 կամ 347) զարգացրեց համամասնությունների տեսությունը, որը հաշվի էր առնում թե ռացիոնալ, և թե իռացիոնալ հարաբերությունները։ Սա հիմք հանդիսացավ իռացիոնալ թվերի հիմնարար էությունը հասկանալու համար։ Սկսեցին մեծությունը ընդունել ոչ թե թիվը, այլ նրա նշանակության էությունը, ինչպիսիք էին ուղիղների մասերի, անկյունների, մակերեսների, ծավալների, ժամանակային հատվածների էությունները, որոնք կարող էին փոփոխվել անընդհատ (այդ բառերի ժամանակակից ընկալմամբ)։ Մեծությունները հակադրության մեջ դրեցին թվերին, որոնք կարող են փոխվել միայն մի թվից մյուս հարևան թվին «անցումների» ժամանակ, օրինակ, 4-ից 5-ին։ Թվերը կազմվում են փոքր անբաժանելի մեծություններից, այնինչ մեծությունները կարելի է փոքրացնել անվերջ։

Քանի որ ոչ մի քանակական արժեք չէր համեմատվում մեծությանը, Էվդոկսը կարողացավ միավորել և չափելի, և ոչչափելի մեծությունները երկու մեծությունների հարաբերությունը կոտորակներն հաշվելիս, և համամասնությունը որպես երկու կոտորակների հավասարություն։ Հեռացնելով հավասարություններում քանակային արժեքները (թվերը) նա խուսափեց իռացիոնալ թվի անվանելու անհրաժեշտության ծուղակից։ Էվդոկսի տեսությունը հույն մաթեմատիկոսներին հնարավորություն տվեց կատարելու անհավանական առաջընթաց երկրաչափությունում, տրամադրելով նրանց անհրաժեշտ տրամաբանական հիմնավորում ոչչափելի մեծությունների հետ աշխատելու համար։ Էվկլիդեսի «10 տարրերի մասին» գիրքը նվիրված է իռացիոնալ մեծությունների դասակարգման համար։

Միջին դարեր

Միջին դարերը նշանակալից էին այնպիսի հասկացությունների ընդունմամբ, ինչպիսիք էին զրոն, բացասական թվերը, ամբողջ և կոտորակային թվերը, որոնցում մեծ դեր են ունեցել սկզբում հնդիկ, այնուհետև չին մաթեմատիկոսները։ Հետագայում իրենց միացան նաև արաբ մաթեմատիկոսները, ովքեր առաջինը սկսեցին հաշվել բացասական թվերը հանրահաշվական օբյեկտներով (դրական թվերի հետ միասին և հավասար իրավունքներով), ինչը հնարավորություն տվեց զարգացնելու ներկայումս հանրահաշիվ կոչվող ուղղությունը։

Արաբ մաթեմատիկոսները մեկ ընդհանուրի մեջ դիտարկեցին թվերը և մեծությունները, մտցնելով իրական թվերի ընդհանուր գաղափարը։ Նրանք քննադատաբար էին մոտենում հարաբերությունների վերաբերյալ Էվկլիդեսի պատկերացումներին, ի հակակշիռ դրան նրանք զարգացրեցին կամայական մեծությունների հարաբերությունների տեսությունը և ընդլայնեցին թվի հասկացությունը մինչև անընդհատ մեծությունների հարաբերությունը։ Էվկլիդեսի «10 տարր» գրքի իրենց մեկնաբանություններում պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ Մախանին (մ.թ. 800-ական թվականներ) հետազոտեց և դասակարգեց քառակուսային իռացիոնալ թվերը, և ավելի ընդհանուր խորանարդ իռացիոնալ թվերը։ Նա տվեց ռացիոնալ և իռացիոնալ մեծությունների սահմանումը, որոնց նա անվանեց իռացիոնալ թվեր։ Նա հեշտությամբ աշխատում էր այդ օբյեկտների հետ, սակայն դիտարկում էր որպես առանձին օբյեկտներ, օրինակ. «Ռացիոնալ մեծություններ են 10-ը, 12-ը, 3%-ը, 6%-ը և այլն, քանի որ այդ մեծությունները արտաբերվում և արտահայտվում են քանակապես։ Այն, որը ռացիոնալ չէ, իռացիոնալ է և հնարավոր չէ արտաբերել կամ ներկայացնել համապատասխան քանակային մեծությամբ»։ Օրինակ, այնպիսի թվերի քառակուսի արմատները, ինչպիսիք են 10, 15 և 20 թվերը, քանի որ նրանք քառակուսիներ չեն։

Ի հակակշիռ Էվկլիդեսի կոնցեպցիայի, որ մեծության էությունը առաջին հերթին ուղղի մասերն են, Ալ Մախանին ընդունում էր ամբողջ թվերը և ռացիոնալ կոտորակները մեծություններ, իսկ քառակուսի և խորանարդ արմատները՝ իռացիոնալ։ Նա նույնպես մտցրեց իռացիոնալ թվերի բազմության հանրահաշվական մոտեցումը, քանի որ հենց ինքը ցույց տվեց հետևյալ մեծությունների իռացիոնալությունը՝ «իռացիոնալ և ռացիոնալ մեծությունների գումարման արդյունքը, ռացիոնա և իռացիոնալ մեծությունների տարբերության արդյունքը, իռացիոնա և ռացիոնալ մեծությունների տարբերության արդյունքը»։

Եգիպտացի մաթեմատիկոս Աբու Կամիլը (մ.թ. 850-930-ական թվականներ) առաջինն էր, ով համարեց ընդունել իռացիոնալ թիվը քառակուսի հավասարման լուծում կամ քառակուսի կամ խորանարդ արմատներ, ինչպես նաև չորրորդ աստիճանի արմատներ պարունակող հավասարումներում գործակիցներ։ 10-րդ դարում իրանացի մաթեմատիկոս Ալ Խաշիմին դուրս բերեց իռացիոնալ և ռացիոնալ թվերի արտադրյալի, քանորդի և այլ մաթեմատիկական ձևափոխությունների իռացիոնալության ընդհանուր ապացույց (այլ ոչ տեսանելի երկրաչափական ցուցադրություն)։ Ալ Խազին (մ.թ. 900 թ.-971 թ.) բերում է ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի հետևյալ սահմանումը. «Դիցուք միավոր մեծությունը պարունակվում է տվյալ մեծությունում մեկ կամ մի քանի անգամ, այդ դեպքում տվյալ մեծությունը համապատասխանում է ամբողջ թվի... : Յուրաքանչյուր մեծություն, որը կազմում է միավոր մեծության կեսը, կամ երրորդ մասը, կամ չորրորդ մասը, կամ համեմատած միավոր մեծության հետ կազմում է նրա երեք հինգերորդը, այն ռացիոնալ մեծություն է։ Եթե մեծությունը հնարավոր չէ ներկայացնել միավոր երկարության ինչպես մի քանի կամ մաս $(l/m)$, կամ մի քանի մասեր $(m/n)$, այն իռացիոնալ է, այսինքն այն կոտորակի ձևով չի կարող ներկայացվել այլ տեսքով»։

Հետագայում այս մտքերից շատերը 12-րդ դարում արաբական տեքստերից լատինականին թարգմանելիս ընդունեցին եվրոպացի մաթեմատիկոսները։ Մագրիբայից արաբ մաթեմատիկոս Ալ Խասարը, ով մասնագիտացած էր ժառանգության մասին իսլամական օրենքների վրա, 12-րդ դարում մտցրեց կոտորակների ժամանակակից մաթեմատիկական սիմվոլային ներկայացման ձևը, բաժանելով կոտորակի համարիչը և հայտարարը հորիզոնական գծով։ Հետագայում, 13-րդ դարում, այդպիսի գրելաձև հայտնվեցին նաև Ֆիբոնաչիի աշխատություններում։ 14-16-րդ դարերում Սանգամագրամից Մադխավան և Կերալսկի դպրոցի աստղագիտության և մաթեմատիկայի ներկայացուցիչների կողմից հետազոտվեցին անվերջ շարքերը, որոնք ձգտում էին ինչ որ իռացիոնալ թվի, օրինակ, $\pi$-ին, ինչպես նաև ցույց տվեցին որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների իռացիոնալությունը։ Ջեստադևան բերեց այս արդյունքները Յուկտիբխազայի գրքում։

Մեր ժամանակները

17-րդ դարում մաթեմատիկայում ամուր դիրքեր գրավեց կոմպլեքս թվերի հասկացությունը, որոնց ուսումնասիրման մեջ իրենց ներդրումը ունեցան Աբրահամ դե Մուավրը (1667-1754) և Լեոնարդ Էյլերը (1707-1783)։ Երբ 19-րդ դարում կոմպլեքս թվերի տեսությունը դարձավ փակ և հստակ, հնարավորություն ընձեռվեց իռացիոնալ թվերը դասակարգելու հանրահաշվական և տրանսցենդենտ խմբերի (ընդ որում ապացուցվեց տրանսցենդենտ թվերի էությունը), դրանով հանդերձ վերաիմաստավորվեց Էվկլիդեսի աշխատանքները իռացիոնալ թվերի դասակարգման տեսանկյունից։ Այդ թեմայով 1872 թվականին հրապարակվեցին Վայերշտրասի, Գեյնի, Կանտորի և Դեդեկինդի աշխատանքները։ Թերևս 1869 թվականին Մերեն սկսեց ուսումնասիրությունները, որոնք նման էին Գեյնի աշխատանքներին, սակայն 1872 թիվը ընդունված է հաշվել տեսության ստեղծման տարին։ Վեյերշտրասը, Կանտորը և Գեյնեն իրենց տեսությունը հիմնավորեցին անվերջ շարքերի օգնությամբ, մինչդեռ Դեդեկինդը աշատում էր իրական թվերի բազմության (ներկայումս կոչվող) Դեդեկինդյան հատույթով, բաժանելով բոլոր ռացիոնալ թվերը երկու որոշակի բնութագրական հատկանիշներ ունեցող խմբերի։

Շղթայական կոտորակները սերտորեն կապված են իռացիոնալ թվերի հետ (տվյալ թիվը ներկայացնող շղթայական կոտորակը այն և մայն այն ժամանակ, երբ թիվը իռացիոնալ է), որոնք առաջին անգամ հետազոտվել են Կատալդիի կողմից 1613 թվականին, այնուհետև այն նորից հետաքրքրություն ներկայացրեց Էյլերի աշխատություններում, իսկ 19-րդ դարի սկզբներին նաև Լագրանժի աշխատություններում։ Դիրիխնեն նույնպես մեծ ներդրում ունեցավ շղթայական կոտորակների տեսության զարգացման ուղղությամբ։

1761 թվականին Լամբերտը ցույց տվեց, որ $\pi$ թիվը չի կարող ռացիոնալ լինել, ինչպես նաև $e^{n}$-ը իռացիոնալ է ցանկացած ոչզրոյական $n$ ռացիոնալ թվի համար։ Թերևս լամբերտի ապացույցը կարելի է համարել անավարտ, ընդունված է համարել այն բավականին խիստ, հատկապես հաշվի առնելով նրա գրելու ժամանակը։ 1794 թվականին Բեսսել-Կլիֆֆորդի ֆունկցիայի ներմուծումից հետո Լեժանդրը ցույց տվեց, որ $\pi ^{2}$ իռացիոնալ է, որից $\pi$ թվի իռացիոնալությունը երևում է պարզ ձևով (ռացիոնալ թվի քառակուսին պիտի տար ռացիոնալ թիվ)։ Տրանսցենդենտ թվերի գոյության մասին ապացուցվել է Լյուվիլի կողմից 1844-1851 թվականներին։ Ավելի ուշ Գեորգ Կանտորը (1873) ցույց տվեց իրենց գոյությունը, կիրառելով այլ մեթոդ, և հիմնավորեց, որ ցանկացած իրական շարքի միջակայք պարունակում է անվերջ շատ տրանսցենդենտ թվեր։ 1873 թվականին Շարլ Էրմիտը ապացուցեց, որ $e$ թիվը տրանսցենդենտ է, իսկ 1882 թվականին Ֆերդինանդ Լինդեմանը հիմնվելով այդ արդյունքի վրա ցույց տվեց $\pi$ թվի տանսցենդենտությունը։ Լինդեմանի ապացույցը հետագայում պարզեցվեց Վեյերշտրասի կողմից 1885 թվականին, այն էլ ավելի պարզեցվեց 1893 թվականին Դավիթ Հիլբերտի կողմից, և վերջապես, բերվեց գրեթե տարրականի Ադոլֆ Գուրվիցի և Պաուլ Գորդանի կողմից։

Գրականություն

Ֆիխտենգոլց։ Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքներ Արխիվացված 2019-04-07 Wayback Machine

Տես նաև

• Դիոֆանտովյան և լիուվիլեվյան թվեր
• Իռացիոնալության չափը
• Հաշվելի թվեր
• Դեդեկինդի հատույթ
• Ոսկե հատում
• Քառակուսի արմատ 2-ից
• Քառակուսի արմատ 3-ից
• Քառակուսի արմատ 5-ից
• Տրանսցենդենտ թվեր
• Երկրաչափական թվեր

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 381)։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 442)։