Ֆիբոնաչիի թվեր

Ֆիբոնաչիի թվեր կամ Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն, թվային հաջորդականություն, որում առաջին երկու թվերն են 0 և 1, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը հավասար է նախորդ երկու թվերի գումարին։ Հաջորդականության կոչվում է ի պատիվ միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզացու, ով հայտնի է եղել, որպես Ֆիբոնաչի։

Ֆիբոնաչիի թվային հաջորդականությունը տրվում է $\left\{F_{n}\right\}$ գծային ռեկուրենտ եղանակով.

$F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2,\quad n\in \mathbb {Z} .$

Սահմանում

Ֆիբոնաչիի թվերի հերթականությունը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

• F₀ =0
• F₁=1
• F_n =F_n-1+ F_n-2

Բերենք մի քանի անդամներ այդ հաջորդականությունից

• 0, 1, 1,2 , 3 ,5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 …

Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը ավելի տեսանելի կերպով ունի հետևյալ տեսքը.

1: 1 + 1 = 2
2:     1 + 2 = 3
3:         2 + 3 = 5
4:             3 + 5 = 8
5:                 5 + 8 = 13
6:                     8 + 13 = 21
7:                         13 + 21 = 34
8:                              21 + 34 = 55
9:                                   34 + 55 = 89
...                                   
n:                                    Fn-2 + Fn-1 = Fn։     

Գույություն ունի նաև բացասական թվային հաջորդականություն ըստ հետհաշվարկի համարժեքության. $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$:

Պատմություն

Այս թվերը ներկայացրեց 1202 թվականին Լեոնարդո Ֆիբոնաչչին, ով հայտնի է նաև որպես «Լեոնարդո Պիզացի»։ Սակայն հենց 19-րդ դարի մաթեմատիկոս Լուկասի «Ֆիբոնաչչիի թվերը» դարձավ համընդհանուր օգտագործելի։ Այնուամենայնիվ այդ թվերը հիշատակվել են ավելի վաղ՝ 1135 թվականին Գոպալան և Խեմաչանդրան `1150 թվականին։

Ֆիբոնաչիի թվերը բնության մեջ

Հենց ինքը Ֆիբոնաչչին հիշատակվում էր կապված հետևյալ առաջադրանքի հետ որն է. «Մի մարդ դրեց զույգ ճագարներին կալլի մեջ, որը շրջապատված էր ցանկապատով։ Քանի զույգ ճագար կարող է ծնվել մեկ տարվա ընթացքում, որ ամեն ամիս սկսած հաջորդ ամսից ամեն ճագարի զույգը ծննդաբերում է մեկ զույգ։»

Խնդրի լուծման թվերի հերթականությունը համընկնում է նրա անունով թվերի հերթականության հետ։ Ֆիբոնաչչիի ներկայացրած իրավիճակը ավելի շատ մտքի խաղ է, քան թե իրական բնություն։ Հնդիկ մաթեմատիկոս Հոպալը և Խեմաչանդրան այս թվերի հերթականությունը հիշատակում էին ռիթմիկ նկարների թվաքանակի հետ, որոնք ձևավորվում էին երկար և կարճ վանկային ոտանավորների շարունակելիությամբ, կամ էլ ուժեղ և թույլ երաժշտության բաժիններով։ Այդպիսի նկարների թիվը ունենալով ամբողջ ո արժեքը հավասար է Fn։ Ֆիբոնաչչիի թվերը հանդիպում են նաև Կեպլերի 1611 – թվականի աշխատանքի մեջ, որը վերաբերվում էր այն թվերին, որոնք հանդիպում են բնության մեջ (աշխատանք «վեցանկյուն փաթիլի մասին»)։ Հետաքրքիր է 1000-թերթիկ բույսի օրինակը, որի մոտ թերթիկների քանակի համար (հետևաբար և ծաղիկներինը) միշտ գոյություն ունի Ֆիբոնաչչիի թիվը։ Դրա պատճառը շատ պարզ է։ Լինելով ի սկզբանե միակ «стебл»-ով այդ «стебл»-ը բաժանվում է երկուսի։ Այնուհետև գլխավոր «стебл»-ից առաջանում է ևս մեկը, այնուհետև առաջին երկու «стебл»-ները նորից բաժանվում են, հետո մնացած բոլորը, բացի վերջին երկուսից և այդպես շարունակ։

Այսպիսով ամեն մի «стебл»-ը իր ի հայտ գալուց հետո բաց է թողնում մեկ բաժանումը, իսկ հետո սկսում է բաժանվել հերթական աստիճանների հերթականության վրա, որը և տալիս է արդյունքում Ֆիբոնաչչիի թվերը։ Կարճ ասած բազմաթիվ ծաղիկների մոտ (օրինակ շուշանի) թերթերի քանակի հերթականությունը համարվում է Ֆիբոնաչչիի թիվ։ Բնության մեջ հայտնի է նաև «ֆիլոտաքսիսի » երևույթը, որպես օրինակ կարելի է բերել արևածաղիկի հատիկների դասավորությունը։ Եթե վերևից նայենք նրանց դասավորությանը, ապա կարելի է տեսնել երկու տեսակի պարույր վերադրված իրար վրա։ Որոշները ոլորված են ժամսլաքի ուղղությամբ, իսկ որոշները ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ։ Պարզվում է որ այս պարույների թվերը մոտավորապես համընկնում են Ֆիբոնաչչիի երկու թվերի հետ՝ 34, 55 կամ 89, 144։ Նմանատիպ փաստեր կան նաև որոշ ծաղիկների մոտ, ինչպես նաև սոճիի, անանասի, «брокколи» և այլ բույսերի մոտ։ Մի շարք բույսերի որոշ տվյալների համար (դրանց 90 տոկոսը) ճիշտ է հետևյալ հետաքրքիր փաստը։ Նայենք որևէ տերևի և սկսենք իջնել տերևի սկզբից այնքան ժամանակ մինչև չհասնենք տերևի այն հատվածին, որտեղից սկսվում է ցողունը (նույնպես տեղակայված նույն ուղղությամբ)։ Սկսենք հաշվել մեզ հանդիպող բոլոր տերևները, որոնք տեղակայված են սկզբնական և վերջնական տերևների բարձրության հիմքի վրա։ Համարակալելով դրանք մենք անընդմեջ կսկսենք պտտվել ցողունի շուրջ պարույրի օրինակով։ Կախված պտտման ուղղությունից, կամ հակառակ, մենք կստանանք տարբեր «витков» թվեր, բայց պարզվում է որ այդ թվերը հաշվարկված ժամսլաքի ուղղությամբ, և հանդիպակաց տերևների քանակը կազմում են Ֆիբոնաչչիի թվերի երեք թվերի հերթականությունը։

Չնայած կարելի է նշել որ կան բույսեր, որոնց համար վերը նշված թվերը կտան այլ թվերի հերթականություն։ Այդ պատճառով չենք կարող ասել, որ ֆիլոտաքսիսը օրենք է։ Այն ավելի շատ գրավիչ տենդենց է։

Հատկություններ

Ֆիբոնաչչիի թվերը ունեն շատ հետքրքիր հատկություններ։ .Այստեղ դրանցից մի քանիսն են. .Կասիննիի արժեքը . Fn+1F n-1 - F n 2 = (-1) n ։ Լրացման օրենքը F n+k =F k F n + 1 + F k – 1 F n Նախորդ հավասարությունից հետևում է F 2n = Fn(F n+1 + F n-1) Նախորդ հավասարությունից ինդուկցիայի միջոցով կարող ենք ստանալ որ Fnk միշտ բազմապատիկ է Fn-ին։ Ճիշտ է և փոխադարձ հետևյալ պնդումը. Եթե Fm-ը «кратно» Fn- ին, ապա m-ը «кратно»(պատիկ) է n-ին։ “НОД” հավասարությունը

Ինչ վերաբերում է Էվկլիդի ալգորիթմին, Ֆիբոնաչչիի թվերը ավելի հիանալի հատկություններ ունեն։ Նրանք ամենավատ ալգորիթմական մուտք գործվող թվերն են։

Ֆիբոնաչիի թվերի համակարգը

Ցեկենդորֆի թեորեման. Յուրաքանչյուր բնական ո թիվ միայն մեկ անգամ կարող ենք ներկայացնել Ֆիբոնաչչիի թվի տեսքով.

Որտեղ, ,…, (այստեղ չենք կարող գրել Ֆիբոնաչչիի երկու հարևան թվեր). Այստեղից հետևում է, որ յուրաքանչյուր թիվ կարելի է միանշանակ գրել Ֆիբոնաչչիի թվային համակարգում։ Օրինակ’ Բայց ոչ մի թվում չենք կարող երկու 1-եր գրել կողք-կողքի։

Տես նաև

• Ոսկե հատում
• Ռեկուրսիա