Ամբողջ մաս

«Հատակ» ֆունկցիայի գրաֆիկ (թվերի ամբողջ մաս)

«Առաստաղ» ֆունկցիայի գրաֆիկ

Մաթեմատիկայի մեջ $x$ իրական թվի ամբողջ մասը $x$ –ի կլորացումն է մինչև մոտակա ամբողջը, դեպի փոքր կողմը։ Թվի ամբողջ մասը կոչվում է նաև անտյե (ֆր.՝ entier), կամ հատակ (անգլ.՝ floor)։ Հատակի հետ զուգահեռ գոյություն ունի զույգ ֆունկցիա՝ առաստաղ (անգլ.՝ ceiling), $x$ կլորացում մինչև մոտակա ամբողջը՝ դեպի մեծ կողմը։

Նշանակությունն ու օրինակներ

$x$ թվի ամբողջ մասի նշանակման համար ($[x]$) քառակուսի փակագծերը առաջին անգամ օգտագործել է Գաուսը 1808 թվականին՝ քառակուսային փոխադարձության օրենքի իր ապացույցում։ Այդ նշանակումը համարվում էր ստանդարտ, մինչև Կենեթ Այվերսոնը իր «A Programming Language» գրքում, որը հրատարակվել էր 1962 թվականին, չառաջարկեց $x$ թվի կլորացումը մինչև մոտակա ամբողջը փոքր և մեծ կողմերով անվանել «հատակ» и «առաստաղ» $x$ և համապատասխանաբար նշանակել $\lfloor x\rfloor$ և $\lceil x\rceil$ ։ Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են երկու նշանակումներն էլ, $[x]$ և $\lfloor x\rfloor$, սակայն գոյություն ունի անցման տենդենց դեպի տերմինալոգիա և Այվերսոնի նշանակումներ։ Դրա պատճառներից մեկը «թվի ամբողջ մաս» հասկացության պոտենցիալ անորոշությունն է։ Օրինակ՝ 2,7 թվի ամբողջ մասը հավասար է 2, բայց հնարավոր է երկու կարծիք այն հարցում, թե ինչպես որոշել −2,7 թվի ամբողջ մասը։ Համաձայն այս հոդվածում տրված սահմանման $[x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3$, սակայն որոշ հաշվիչների վրա գոյություն ունի թվի ամբողջ մասի INT ֆունկցիա, բացասական թվերի համար որոշվող ինչպես INT(-x) = -INT(x), այնպես որ INT(-2,7) = −2։ Այվերսոնի տերմինալոգիայում բացակայում են հնարավոր անորոշությունները․

${\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2\end{matrix}}$

Տե՛ս նաև՝ Կլորացում

Սահմանում

$\lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor$ հատակ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենամեծ ամբողջ, փոքր կամ հավասար $x$․

$\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}$

$\lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil$ առաստաղ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենափոքր ամբողջ, մեծ կամ հավասար $x$․

$\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}$

Այդ սահմանումները էկվիվալենտ են հետևյալ անհավասարություններին (որտեղ n–ը ամբողջ թիվ է)․

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n-1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{aligned}}$

Հատկություններ

Ներքևում գրված բանաձևերում $x$ և $y$ տառերով նշանակված են իրական թվերը, իսկ $n$ և $m$ տառերով՝ ամբողջները։ 

Հատակն ու առաստաղը ինչպես իրական փոփոխականով ֆունկցիաներ

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմությունը արտապատկերում են ամբողջ թվերի բազմության մեջ․

$\lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad$

Հատակն ու առաստաղը մասամբ անընդհատ ֆունկցիաներ են։

Հատակն ու առաստաղը խզումով ֆունկցիաներ են․ բոլոր ամբողջաթվային կետերում տեղի է ունենում առաջի սեռի խզումներ միավորի հավասար թռիչքով։

Այդ դեպքում հատակ ֆունկցիան հանդիսանում է․

• Կիսաանընդհատ վերևից և
• Անընդհատ աջից

Առաստաղ ֆունկցիան հանդիսանում է․

• Կիսաանընդատ ներքևից և
• Անընդհատ ձախից

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաների կապը

$x$ կամայական թվի համար ճիշտ է

$\lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil$ անհավասարությունը։

$x$ ամբողջ թվի համար հատակն ու առաստաղը համընկնում են․

$\lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in \mathbb {Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x$

Եթե $x$ ամբողջ չէ, ապա առաստաղ ֆունցիայի արժեքը միավորով մեծ է հատակ ֆունկցիայի արժեքից․

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin \mathbb {Z} \\0,&x\in \mathbb {Z} \end{cases}}$

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են երկու առանցքներից մեկը մյուսի արտապատկերումները։

$\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor$

Հատակ/առաստաղ՝ անհավասարություն

Իրական և ամբողջ թվերի միջև ցանկացած անհավասարություն հավասարազոր է իրական թվերի միջև հատակի և առաստաղի անհավասարությանը ․

${\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x\rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matrix}}$

Վերևի երկու անհավասարությունը հանդիսանում են հատակի և առաստաղի սահմանումների անմիջական հետևանքները, իսկ ներքևի երկուսը՝ վերևինների վերածումն է հակդարձից։

Հատակ/առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են մոնոտոն աճող ֆունկցիաներ․

$x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil$

Հատակ/առաստաղ՝ գումարում

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка :

$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

$\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leqslant \lfloor x+y\rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil$

Հատակը/առաստաղը ֆունկցիայի նշանի տակ

Տեղի ունի հետևյալ առաջարկությունը․

Թող $f(x)$ –ը լինի անընդհատ մոնոտոն աճող ֆունկցիա, որոշված որոշակի շրջակայքում, օժտված

$f(x)\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\in \mathbb {Z}$ հատկությամբ։

Այդ դեպքում՝

$\lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil$

ամեն անգամ, երբ որոշված են $f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )$։

Մասնավորապես,

$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\rceil$

եթե $m$ և $n$  ամբողջ թվեր են և $n>0$։

Հատակ/առաստաղ՝ գումարներ

Եթե $m,n$ ամբողջ թվեր են, $m>0$, ապա

$n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor$

Ընդհանրապես, եթե $x$ կամայական իրական թիվ է, իսկ $m$՝ ամբողջ դրական, ապա 

$\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor$

Տեղի ունի առավել ընդհանուր հարաբերություն ․

$\sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)$

Քանի որ այդ հավասարության աջ մասը սիմետրիկ է $m$ և $n$ նկատմամբ, ապա ճշմարիտ է հետևյալ փոխադարձության օրենքը․

$\sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{0\leqslant k<n}\left\lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0$

Շարքով տրումը

Անտյե ֆունկցիան Հևիսայդի ֆունկցիայի օգնությամբ տրիվյալ ձևով ներկայացվում է շարքով․

$[x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (x-n)-\theta (x-n-1)\right),$

որտեղ շարքի յուրաքանչյուր մաս առաջացնում է ֆունկցիայի ինքնատիպ աստիճաններ։ Այդ շարքը բացարձակ համընկնում է, սակայն իր մասերի սխալ ձևափոխումը կարող է բերել «պարզեցված» շարքի

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(x-n\right),$

որը տրոհվում է։

Կիրառություն

Հատակ/առաստաղ ամբողջաթվային ֆունկցիաները լայն կիրառում ունեն դիսկրետ մաթեմատիկայում և թվերի տեսության մեջ։ Ներքևում բերված են այդ ֆունկցիաների կիրառության որոշ օրինակներ։

Թվի գրառման մեջ թվանշանների քանակը

Դրական ամբողջ թվի գրառման մեջ թվանշանների թիվը b հիմքով համրանքի դիրքային համակարգում հավասար է

$\lfloor \log _{b}n\rfloor +1$

Կլորացում

Հիմնական հոդված՝ Կլորացում

$x$ մոտակա ամբողջ թիվը կարող է որոշվել

$(x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor$ բանաձևով։

mod բինար գործողություն

Հիմնական հոդված՝ Բաժանումից մնացորդ

«Մոդուլով մնացորդ» գործողությունը նշանակենք $x{\bmod {y}}$ , հատակ ֆունկցիայի միջոցով կարող է որոշվել հետևյալ կերպ։ Եթե $x,y$  կամայական իրական թվեր են և $y\neq 0$, ապա $x$–ը $y$–ի վրա բաժանելիս թերի մասնավորը հավասար է

$\lfloor x/y\rfloor$,

իսկ մնացորդը՝

$x\,{\bmod {\,}}y=x-y\lfloor x/y\rfloor$

Կոտորակային մաս

Հիմնական հոդված՝ Կոտորակային մաս

$x$ իրական թվի կոտորակային մասն ըստ սահմանման հավասար է

$\{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor$

Միջակայքի ամբողջ թվերի քանակը

Պահանջվում է գտնել $\alpha$ և $\beta$ ծայրակետերով փակ միջակայքում ամբողջ կետերի քանակը, այսինքն $n$ ամբողջ թվերի քանակը, որոնք բավարարում են

$\alpha \leqslant n\leqslant \beta$ անհավասարությանը։

Հատակի/առաստաղի հատկությունների համաձայն այդ անհավասարությունը համարժեք է

$\lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor$:

Դա հանդիսանում է $\lceil \alpha \rceil$ և $\lfloor \beta \rfloor$ ծայրակետերով փակ միջակայքի կետերի թիվը, հավասար՝ $\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1$: Անալոգ ձևով կարելի է հաշվել այլ տիպի միջակայքերի ամբողջ կետերի քանակը։ Արդյունքների հատումը բերված է ներքևում. .

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1$

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil$

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor$

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1$

($\#M$ -ով նշանակված է $M$ բազմության հզորությունը)։

Առաջին երեք արդյունքները ճշմարիտ են բոլոր $\alpha \leqslant \beta$ համար, իսկ չորորդը՝ միայն $\alpha <\beta$ դեպքում։

Սպեկտրի մասին Ռելեի թեորեմը

Թող $\alpha$ և $\beta$ լինեն իռացիոնալ դրական թվեր լինեն, կապված

${\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.$ հարաբերությամբ։

Այդ դեպքում թվերի շարքում

$\lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\ldots$

յուրաքանչյուր բնական $n\in \mathbb {N}$ ճշտությամբ հանդիպում է մեկ անգամ։ Այլ խոսքերով՝

$\{m\alpha \mid m\in \mathbb {N} \}$ և $\{m\beta \mid m\in \mathbb {N} \}$ հաջորդականությունները, որոնք կոչվում են

Բեթիի հաջորդականություն, կազմում են բնական շարքի պառակտումը։

Ինֆորմատիկայի մեջ

Ծրագրավորման լեզուներում

Շատ ծրագրավորման լեզուներում գոյություն ունի հատակ/առաստակ ֆունկցիաների floor(), ceil() ներկայացումը։

Էջատման համակարգում

TeX (и LaTeX) -ում հատակի/առաստաղի $\lfloor$, $\rfloor$, $\lceil$, $\rceil$ սիմվոլների համար գոյություն ունի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil հատուկ հրահանգները։ Քանի որ վիքի -ն օգտագործում է LaTeX մաթեմատիկական բանաձևերի հավաքագրման համար, ապա այս հոդվածում ևս օգտագործված են հենց այդ հրահանգները։

Գրականություն

• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
• М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.