Ամբողջ մաս

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
«Հատակ» ֆունկցիայի գրաֆիկ (թվերի ամբողջ մաս)
«Առաստաղ» ֆունկցիայի գրաֆիկ

Մաթեմատիկայի մեջ իրական թվի ամբողջ մասը –ի կլորացումն է մինչև մոտակա ամբողջը, դեպի փոքր կողմը։ Թվի ամբողջ մասը կոչվում է նաև անտյե (ֆր.՝ entier), կամ հատակ (անգլ.՝ floor)։ Հատակի հետ զուգահեռ գոյություն ունի զույգ ֆունկցիա՝ առաստաղ (անգլ.՝ ceiling), կլորացում մինչև մոտակա ամբողջը՝ դեպի մեծ կողմը։

Նշանակությունն ու օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

թվի ամբողջ մասի նշանակման համար () քառակուսի փակագծերը առաջին անգամ օգտագործել է Գաուսը 1808 թվականին՝ քառակուսային փոխադարձության օրենքի իր ապացույցում[1]։ Այդ նշանակումը համարվում էր ստանդարտ[2], մինչև Կենեթ Այվերսոնը իր «A Programming Language» գրքում, որը հրատարակվել էր 1962 թվականին, չառաջարկեց[3][4][5] թվի կլորացումը մինչև մոտակա ամբողջը փոքր և մեծ կողմերով անվանել «հատակ» и «առաստաղ» և համապատասխանաբար նշանակել և ։ Ժամանակակից մաթեմատիկայում օգտագործվում են երկու նշանակումներն էլ[6], և , սակայն գոյություն ունի անցման տենդենց դեպի տերմինալոգիա և Այվերսոնի նշանակումներ։ Դրա պատճառներից մեկը «թվի ամբողջ մաս» հասկացության պոտենցիալ անորոշությունն է[5]։ Օրինակ՝ 2,7 թվի ամբողջ մասը հավասար է 2, բայց հնարավոր է երկու կարծիք այն հարցում, թե ինչպես որոշել −2,7 թվի ամբողջ մասը։ Համաձայն այս հոդվածում տրված սահմանման , սակայն որոշ հաշվիչների վրա գոյություն ունի թվի ամբողջ մասի INT ֆունկցիա, բացասական թվերի համար որոշվող ինչպես INT(-x) = -INT(x), այնպես որ INT(-2,7) = −2։ Այվերսոնի տերմինալոգիայում բացակայում են հնարավոր անորոշությունները․

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հատակ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենամեծ ամբողջ, փոքր կամ հավասար

առաստաղ ֆունկցիան սահմանվում է ինչպես ամենափոքր ամբողջ, մեծ կամ հավասար

Այդ սահմանումները էկվիվալենտ են հետևյալ անհավասարություններին (որտեղ n–ը ամբողջ թիվ է)․[7]

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ներքևում գրված բանաձևերում և տառերով նշանակված են իրական թվերը, իսկ և տառերով՝ ամբողջները։ 

Հատակն ու առաստաղը ինչպես իրական փոփոխականով ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմությունը արտապատկերում են ամբողջ թվերի բազմության մեջ․

Հատակն ու առաստաղը մասամբ անընդհատ ֆունկցիաներ են։

Հատակն ու առաստաղը խզումով ֆունկցիաներ են․ բոլոր ամբողջաթվային կետերում տեղի է ունենում առաջի սեռի խզումներ միավորի հավասար թռիչքով։

Այդ դեպքում հատակ ֆունկցիան հանդիսանում է․

  • Կիսաանընդհատ վերևից և
  • Անընդհատ աջից

Առաստաղ ֆունկցիան հանդիսանում է․

  • Կիսաանընդատ ներքևից և
  • Անընդհատ ձախից

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաների կապը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

կամայական թվի համար ճիշտ է[8]

անհավասարությունը։

ամբողջ թվի համար հատակն ու առաստաղը համընկնում են․

Եթե  ամբողջ չէ, ապա առաստաղ ֆունցիայի արժեքը միավորով մեծ է հատակ ֆունկցիայի արժեքից․

Հատակ և առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են երկու առանցքներից մեկը մյուսի արտապատկերումները։

Հատակ/առաստաղ՝ անհավասարություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Իրական և ամբողջ թվերի միջև ցանկացած անհավասարություն հավասարազոր է իրական թվերի միջև հատակի և առաստաղի անհավասարությանը [7]

Վերևի երկու անհավասարությունը հանդիսանում են հատակի և առաստաղի սահմանումների անմիջական հետևանքները, իսկ ներքևի երկուսը՝ վերևինների վերածումն է հակդարձից։

Հատակ/առաստաղ ֆունկցիաները հանդիսանում են մոնոտոն աճող ֆունկցիաներ․

Հատակ/առաստաղ՝ գումարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9]:

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

Հատակը/առաստաղը ֆունկցիայի նշանի տակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տեղի ունի հետևյալ առաջարկությունը․ [10]

Թող  –ը լինի անընդհատ մոնոտոն աճող ֆունկցիա, որոշված որոշակի շրջակայքում, օժտված

հատկությամբ։

Այդ դեպքում՝

ամեն անգամ, երբ որոշված են ։

Մասնավորապես,

եթե և   ամբողջ թվեր են և ։

Հատակ/առաստաղ՝ գումարներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե  ամբողջ թվեր են, , ապա [11]

Ընդհանրապես, եթե  կամայական իրական թիվ է, իսկ ՝ ամբողջ դրական, ապա 

Տեղի ունի առավել ընդհանուր հարաբերություն [12]

Քանի որ այդ հավասարության աջ մասը սիմետրիկ է և նկատմամբ, ապա ճշմարիտ է հետևյալ փոխադարձության օրենքը

Շարքով տրումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անտյե ֆունկցիան Հևիսայդի ֆունկցիայի օգնությամբ տրիվյալ ձևով ներկայացվում է շարքով․

որտեղ շարքի յուրաքանչյուր մաս առաջացնում է ֆունկցիայի ինքնատիպ աստիճաններ։ Այդ շարքը բացարձակ համընկնում է, սակայն իր մասերի սխալ ձևափոխումը կարող է բերել «պարզեցված» շարքի

որը տրոհվում է։

Կիրառություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատակ/առաստաղ ամբողջաթվային ֆունկցիաները լայն կիրառում ունեն դիսկրետ մաթեմատիկայում և թվերի տեսության մեջ։ Ներքևում բերված են այդ ֆունկցիաների կիրառության որոշ օրինակներ։

Թվի գրառման մեջ թվանշանների քանակը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դրական ամբողջ թվի գրառման մեջ թվանշանների թիվը b հիմքով համրանքի դիրքային համակարգում հավասար է [13]

Կլորացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

մոտակա ամբողջ թիվը կարող է որոշվել

բանաձևով։

mod բինար գործողություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

«Մոդուլով մնացորդ» գործողությունը նշանակենք Չհաջողվեց վերլուծել (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. TeX parse error: Extra close brace or missing open brace"): {\displaystyle \mod } , հատակ ֆունկցիայի միջոցով կարող է որոշվել հետևյալ կերպ։ Եթե   կամայական իրական թվեր են և , ապա –ը –ի վրա բաժանելիս թերի մասնավորը հավասար է

,

իսկ մնացորդը՝

Կոտորակային մաս[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

իրական թվի կոտորակային մասն ըստ սահմանման հավասար է

Միջակայքի ամբողջ թվերի քանակը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պահանջվում է գտնել և ծայրակետերով փակ միջակայքում ամբողջ կետերի քանակը, այսինքն ամբողջ թվերի քանակը, որոնք բավարարում են

անհավասարությանը:

Հատակի/առաստաղի հատկությունների համաձայն այդ անհավասարությունը համարժեք է

:

Դա հանդիսանում է և ծայրակետերով փակ միջակայքի կետերի թիվը, հավասար՝ : Անալոգ ձևով կարելի է հաշվել այլ տիպի միջակայքերի ամբողջ կետերի քանակը: Արդյունքների հատումը բերված է ներքևում. [14].

( -ով նշանակված է բազմության հզորությունը):

Առաջին երեք արդյունքները ճշմարիտ են բոլոր համար, իսկ չորորդը՝ միայն դեպքում:

Սպեկտրի մասին Ռելեի թեորեմը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թող և  լինեն իռացիոնալ դրական թվեր լինեն, կապված [15]

հարաբերությամբ:

Այդ դեպքում թվերի շարքում

յուրաքանչյուր բնական ճշտությամբ հանդիպում է մեկ անգամ: Այլ խոսքերով՝

և հաջորդականությունները, որոնք կոչվում են

Բեթիի հաջորդականություն, կազմում են բնական շարքի պառակտումը[16]։

Ինֆորմատիկայի մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծրագրավորման լեզուներում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շատ ծրագրավորման լեզուներում գոյություն ունի հատակ/առաստակ ֆունկցիաների floor(), ceil() ներկայացումը:

Էջատման համակարգում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

TeXLaTeX) -ում հատակի/առաստաղի , , , սիմվոլների համար գոյություն ունի \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil հատուկ հրահանգները: Քանի որ վիքի -ն օգտագործում է LaTeX մաթեմատիկական բանաձևերի հավաքագրման համար, ապա այս հոդվածում ևս օգտագործված են հենց այդ հրահանգները:

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  2. Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
  3. Iverson, p. 12.
  4. Higham, p. 25.
  5. 5,0 5,1 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  6. Weisstein, Eric W., "Floor Function", MathWorld.
  7. 7,0 7,1 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  8. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  9. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  10. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  11. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  12. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  13. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  14. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  15. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  16. А. Баабабов «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.