Ծննդյան օրերի խնդիր

Ծննդյան օրերի խնդիր կամ ծննդյան օրերի պարադոքս, հավանականության տեսության խնդիր, ըստ որի՝ 23 և ավելի անդամից բաղկացած խմբում հավանականությունը, որ նրանցից գոնե երկուսի ծննդյան օրը (ամիսն ու օրը) կհամընկնի, գերազանցում է 50%–ը։ Օրինակ՝ եթե դասարանում կա 23 և ավելի աշակերտ, ապա ավելի հավանական է, որ նրանցից երկուսի ծննդյան օրը կհամընկնի, քան այն, որ յուրաքանչյուրի ծննդյան օրը կլինի անկրկնելի։

60 և ավելի մարդու դեպքում այդպիսի համընկնման հավանականությունը գերազանցում է 99%–ը, թեև Դիրիխլեի սկզբունքի համաձայն՝ 100%–ի հասնում է միայն այն դեպքում, երբ խմբում կա ոչ պակաս, քան 367 հոգի (1–ով ավելի նահանջ տարվա օրերի քանակից)։

Այսպիսի պնդումը կարող է թվալ ոչ տեսանելի, քանի որ տարվա ցանկացած օր երկու հոգու ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականությունը (1/365 = 0,27 %) խմբի անդամների թվով բազմապատկելու դեպքում (23) ստացվում է ընդամենը (1/365)×23 = 6,3 %։ Այս դատողությունը ճիշտ չէ, քանի որ հնարավոր զույգերի թիվը (( 23 × 22 )/2 = 253) էականորեն գերազանցում է խմբի անդամների թվին (253 > 23)։ Այդ կերպ, այս պնդումը պարադոքս չի կարող համարվել իր խիստ գիտական իմաստով․ դրանում չկա տրամաբանական հակասություն, իսկ պարադոքսն առկա է միայն անձի կողմից իրավիճակի ինտուիտիվ ընկալման և մաթեմատիկական հաշվարկի միջև։

Խնդրի առաջացման պատմությունը ևս հստակ չէ։ Ուոլտեր Ուիլյամ Ռոուզ Բոլը նշել է, որ այն առաջին անգամ քննարկել է Հարոլդ Դավենպորտը։ Այդուհանդերձ, Ռիչարդ վոն Միսիսն առաջարկեց այն նախնական տարբերակը, որն այսօր ընդունված է անվանել ծննդյան օրվա խնդիր (անգլ.՝ birthday problem)։ Այն ներկայացրել է Մարտին Գարդները 1957 թվականի ապրիլին Scientific American–ի Mathematical Games սյունակում։

Մարդկանց քանակից կախված՝ գոնե երկուսի ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականության գրաֆիկ

Ինտուիտիվ ընկալում

23 անձից բաղկացած խմբում երկու հոգու ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականությունն այդքան մեծ է, քանի որ դիտարկվում է խմբի ցանկացած երկու անդամի ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականությունը։ Դա որոշվում է մարդկանց զույգերի քանակով, որը հնարավոր է կազմել 23 հոգուց։ Քանի որ զույգերում մարդկանց հերթականությունն էական չէ, այդպիսի զույգերի ընդհանուր թիվը հավասար է 23–ից 2–ական ընտրույթի թվին, այսինքն՝ (23 × 22)/2 = 253 զույգ։

Պարադոքսի ձևակերպման մեջ խոսքը խմբի ցանկացած երկու անդամի ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականության մասին է։ Տարածված մոլորություն է այս դեպքը շփոթել առաջին հայացքից նման մեկ այլ դեպքի հետ, երբ խմբից ընտրվում է որևէ անդամ, և գնահատվում այն բանի հավանականությունը, որ խմբի այլ անդամներից որևէ մեկի ծննդյան օրը կհամընկնի հենց այդ ընտրված անդամի ծննդյան օրվա հետ։ Վերջին դեպքում համընկնելու հավանականությունը շատ ավելի փոքր է։

Հավանականության հաշվարկ

Հարկավոր է որոշել այն բանի հավանականությունը, որ n մարդուց բաղկացած խմբում նրանցից առնվազն երկուսի ծննդյան օրը կհամընկնի.

Ենթադրենք՝ ծննդյան օրերը բաշխված են հավասարաչափ, այսինքն՝ ընդունում ենք, որ

• տարին ունի 365 օր (նահանջ տարի չէ),
• խմբում չկան մարդիկ, ովքեր ակնհայտորեն ծնվել են նույն օրը (օրինակ՝ երկվորյակներ),
• ծնելիության գործակիցը կախված չէ շաբաթվա օրվանից, տարվա եղանակից կամ այլ գործոններից։

Իրականում դա այդպես չէ։ Բացի այդ, որոշ երկրներում հիվանդանոցների աշխատանքի առանձնահատկություններից ելնելով շատ երեխաներ ծնվում են շաբաթվա որոշակի օրերին։ Սակայն բաշխման անհամաչափությունը կարող է միայն մեծացնել ծննդյան օրերի համընկնման հավանականությունը, այլ ոչ թե փոքրացնել. եթե բոլոր մարդիկ ծնվեն 365-ից 3 օրը, ապա ծննդյան օրերի համընկնման հավանականությունն ավելի բարձր կլինի։

Նախ հաշվարկենք ${\bar {p}}(n)$-ը՝ այն բանի հավանականությունը, որ $n$ անդամից բաղկացած խմբում բոլորի ծննդյան օրերը կլինեն տարբեր։ Եթե $n>365$, ապա Դիրիխլեի սկզբունքի համաձայն՝ ${\bar {p}}(n)$-ը հավասար կլինի զրոյի։ Իսկ եթե $n\leqslant 365$, ապա կհաշվարկենք հետևյալ կերպ. պատահականորեն ընտրենք խմբի անդամներից որևէ մեկին և հիշենք նրա ծննդյան օրը։ Այնուհետև պատահականորեն ընտրենք երկրորդ անդամին, ընդ որում, հավանականությունը, որ նրա ծննդյան օրը չի համընկնի առաջին անդամի հետ, հավասար է $1-{\frac {1}{365}}$: Դիտարկենք երրորդ անդամին, որի ծննդյան օրը մյուս անդամների հետ չհամընկնելու հավանականությունը հավասար է $1-{\frac {2}{365}}$: Համանմանորեն քննարկենք մինչև վերջին մասնակիցը, որի ծննդյան օրվա՝ մյուսների հետ չհամընկնելու հավանականությունը հավասար կլինի $1-{\frac {n-1}{365}}$: Այդ բոլոր հավանականությունները բազմապատկելու դեպքում կստացվի այն բանի հավանականությունը, որ խմբի բոլոր անդամների ծննդյան օրերը տարբեր կլինեն.

${\bar {p}}(n)=$ $\left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)=$ ${365\cdot 364\cdot \ldots \cdot (365-n+1) \over 365^{n}}=$ ${365! \over 365^{n}(365-n)!}.$

Այդ դեպքում n հոգուց գոնե երկուսի ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականությունը հավասար կլինի.

$p(n)=1-{\bar {p}}(n).$

Այս ֆունկցիայի արժեքը գերազանցում է 1/2-ը $n\geq 23$-ի դեպքում, ընդ որում, համընկնելու հավանականությունը շուրջ 50,73% է, իսկ $p(22)\approx 47,57\%$: n արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականության ցանկը բերված է աղյուսակում.

n	p(n)
10	12 %
20	41 %
30	70 %
50	97 %
100	99,99996 %
200	99,9999999999999999999999999998 %
300	( 1 − 7×10−73 ) × 100 %
350	( 1 − 3×10−131 ) × 100 %
367	100 %

Նշված խնդիրը կարելի է վերաձևակերպել «խնդիրներ համընկնումների վերաբերյալ» դասական հասկացություններով։ Ենթադրենք.

• տարայում կա $M$ գնդակ (տվյալ դեպքում $M$-ը տարվա օրերի քանակն է՝ 365 օր),
• գնդակները համարակալված են 1, 2, …, $M$ թվերով,
• յուրաքանչյուր տարայից մի քանի ընտրությամբ վերցվում է n գնդակ (տվյալ դեպքում n-ը խմբի անդամների թիվն է),
• հանված գնդակները յուրաքանչյուր ընտրությունից հետո վերադարձվում են տարայի մեջ,
• ընտրությունները համարվում են կանոնակարգված, այսինքն՝ $\{1,2,4,6\}$ և $\{4,2,6,1\}$ ընտրությունները համարվում են տարբեր։

Հարկավոր է հաշվել ընտրության կրկնության բացակայության հավանականությունը։ Բոլոր հաշվարկները համանման են վերոնշյալին։

Այլընտրանքային մեթոդ

n անդամից կազմված խմբում երկու հոգու ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվել նաև կոմբինատորիկայի բանաձևերի կիրառմամբ։ Ենթադրենք՝ տարվա յուրաքանչյուր օրը այբուբենի որևէ տառն է, իսկ այբուբենն ունի 365 տառ։ n մարդկանց ծննդյան օրերը կարող են ներկայացվել այդպիսի այբուբենի n տառից կազմված տողերով։ Հարթլիի բանաձևի համաձայն՝ հնարավոր տողերի քանակը հավասար է.

$n_{\mathrm {total} }=365^{n}$

Հնարավոր տողերի քանակը, որտեղ տառերը չեն կրկնվում, կազմում է.

$n_{\mathrm {unique} }={\frac {365!}{(365-n)!}}$

Եթե տողերն ընտրվում են պատահականության սկզբունքով (դիսկրետ հավասարաչափ բաշխմամբ), այն տողի ընտրելու հավանականությունը, որում գոնե երկու տառ կհամընկնի, հավասար է.

$p(n)=1-{\frac {n_{\mathrm {unique} }}{n_{\mathrm {total} }}}=1-{\frac {\frac {365!}{(365-n)!}}{365^{n}}}$, $n\leqslant 365$-ի դեպքում, և

$p(n)=1$, $n>365$-ի դեպքում։

Քանի որ

${\frac {\left({\frac {365!}{(365-n)!}}\right)}{365^{n}}}={\frac {365\cdot 364\cdot 363\cdots (365-n+1)}{365^{n}}}=$ ${\frac {365}{365}}{\frac {364}{365}}{\frac {363}{365}}\cdots {\frac {365-n+1}{365}}=$ $1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right),$

իսկ այս արտահայտությունը համարժեք է վերոնշյալին։

Մոտարկումներ

Ցուցչային ֆունկցիա

Օգտագործելով էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի բաշխումը Թեյլորի շարքով.

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots ,$

վերոնշյալ արտահայտությունը ${\bar {p}}(n)$-ի համար կարելի է մոտարկել հետևյալ կերպ.

${\bar {p}}(n)\approx 1\cdot e^{-1/365}\cdot e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}=$ $1\cdot e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}=$ $e^{-{\frac {n(n-1)}{2\cdot 365}}}$

Համապատասխանաբար.

$p(n)=1-{\bar {p}}(n)\approx 1-e^{-{\frac {n(n-1)}{2\cdot 365}}}$

Նկատելի է, որ պարզեցված մոտարկումը ևս

$p(n)\approx 1-e^{-{\frac {n^{2}}{2\cdot 365}}}$

բավականաչափ ճշգրիտ է։

Դիտարկենք ևս մեկ մոտարկում։

Այն բանի հավանականությունը, որ երկու հոգու ծննդյան օրը չի համընկնի, հավասար է 364/365: $n$ անդամից կազմված խմբում ստացվում է $C(n,2)={\frac {n(n-1)}{2}}$ զույգ։ Այդ պատճառով ${\bar {p}}(n)$-ի հավանականությունը այդ իրողությունների անկախության դեպքում կարող է լինել.

$\left({\frac {364}{365}}\right)^{C(n,2)}$

Համապատասխանաբար, մոտենում ենք պահանջվող p(n) հավանականությանը.

$p(n)\approx 1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{C(n,2)}$

Պուասոնյան մոտեցում

$p(n)$-ի՝ նախորդ մոտեցման հիման վրա կիրառելով երկանդամի համար Պուասոնի մոտեցումը՝ ստացվում է 50 %-ից մի փոքր ավելի.

$\operatorname {Poi} \left({\frac {C(23,2)}{365}}\right)=\operatorname {Poi} \left({\frac {253}{365}}\right)\approx \operatorname {Poi} (0{,}693\,2)$

$\mathbb {P} \left(\{X>0\}\right)=1-\mathbb {P} \left(\{X=0\}\right)=1-e^{-0{,}693\,2}=1-0{,}499\,998=0{,}500\,002$

Մարդկանց թվաքանակի հաշվարկ, որի դեպքում հավանականությունը կազմում է 50 %

p(n)-ի վերոնշյալ բանաձևից դիտարկենք n-ը։ p(n)-ի փոխարեն 50 % (0,5) տեղադրելու դեպքում կստանանք.

$n\approx {\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}-2\cdot 365\cdot \ln(0,5)}}=22,9999$

50 % հավանականության դեպքում գոյություն ունի n-ը հաշվելու ևս մեկ մեթոդ։ Վերևում ապացուցվածի համաձայն՝

${\bar {p}}(n)=1-p(n)=\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{\frac {k}{365}}\right)$

Գտնենք ամենափոքր n-ը, որի դեպքում

$p(n)>{\frac {1}{2}}$

կամ որ նույնն է,

${\bar {p}}(n)<{\frac {1}{2}}$

Օգտվելով վերոնշյալ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայով ${\bar {p}}(n)$ ֆունկցիայի ապրոքսիմացիայից՝

${\bar {p}}_{approx}(n)=\prod _{k=1}^{n-1}\left(e^{\frac {-k}{365}}\right)=e^{\frac {-n(n-1)}{2\cdot 365}}$

${\bar {p}}(n)<{\frac {1}{2}}$ արտահայտության մեջ ${\bar {p}}(n)$-ի փոխարեն տեղադրելով ${\bar {p}}_{approx}(n)$՝ կստանանք.

$e^{\frac {-n(n-1)}{2\cdot 365}}<{\frac {1}{2}}$

Լուծելով հարաբերական n-ը՝ կստացվի.

$n^{2}-n>2\cdot 365\cdot \ln 2\,\!$

Այստեղից գտնենք n-ը և կլորացնենք մինչև ամբողջ թիվ.

n = 23

Նշված անձի հետ նույն օրը ծնվածներ

p(n)-ի հավանականությունը համեմատենք այն բանի հավանականության հետ, որ n անձանցից բաղկացած խմբում որևէ մեկի ծննդյան օրը կհամընկնի խմբին չպատկանող, նախապես ընտրված անձի ծննդյան օրվա հետ։ Այդ հավանականությունը հավասար է.

$q(n)=1-\left({\frac {365-1}{365}}\right)^{n}$

p(n) և q(n) ֆունկցիաների գրաֆիկների համեմատություն.

աբսցիսների առանցք - n մարդկանց քանակը,

օրդինատների առանցք - հավանականություն,

p(n) - այն բանի հավանականությունը, որ n անձանցից կազմված խմբում նրանցից գոնե երկուսի ծննդյան օրերը կհամընկնեն,

q(n) - այն բանի հավանականությունը, որ n անձանցից կազմված խմբում որևէ մեկի ծննդյան օրը կհամընկնի խմբին չպատկանող, նախապես ընտրված որևէ մեկի ծննդյան օրվա հետ:

Տեղադրելով n = 23՝ կստանանք q(n) ≈ 6,12 %: Որպեսզի q(n)-ը գերազանցի 50 %-ը, խմբի անդամների թիվը պետք է լինի 253-ից ոչ պակաս. (q(252) ≈ 49,91 %; q(253) ≈ 50,05 %): Այդ թիվն ավելի մեծ է, քան տարվա օրերի քանակի կեսը (365/2 = 182,5): Դա այդպես է, քանի որ խմբի մնացած անդամների ծննդյան օրերը կարող են կրկնվել իրար միջև, որը նվազեցնում է q(n) հավանականությունը։

Ընդհանրացումներ

Դիսկրետ պատահական մեծությունների համընկնում

Նկարագրված խնդիրը կարող է ձևակերպվել ընդհանուր տեսքով.

• տրված են պատահական թվեր,
• պատահական թվերը հավասարաչափ բաշխված են 1-ից մինչև d դիապազոնում,
• n - պատահական թվերի քանակը,
• որոշել p( n ; d )՝ այն բանի հավանականությունը, որ նշված թվերից գոնե երկուսը կհամընկնեն։

Վերոնշյալի պես քննարկելու դեպքում կարելի է ստանալ ընդհանուր լուծումներ.

$p(n;d)={\begin{cases}1-\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over d}\right)&n\leq d\\1&n>d\end{cases}}$

$p(n;d)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2d}$

$q(n;d)=1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n}$

Հակադարձ խնդիր.

• տրված է p - այն բանի հավանականությունը, որ կհամընկնի թեկուզ երկու պատահական թիվ,
• հայտնի է, որ պատահական թվերը հավասարաչափ բաշխված են 1-ից մինչև d դիապազոնում,
• գտնել n(p;d)՝ պատահական թվերի քանակը։

Լուծում.

$n(p;d)\approx {\sqrt {2d\cdot \ln \left({1 \over 1-p}\right)}}$

Մարդկանց մի քանի տեսակ

Գոնե մեկ տղամարդու և մեկ կնոջ ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականությունը

Վերևում ծննդյան օրվա պարադոքսը ներկայացված էր մարդկանց մեկ «տեսակի» համար։ Խնդիրը կարելի է ընդհանրացնել՝ դիտարկելով տարբեր «տեսակներ», օրինակ՝ մարդկանց բաժանելով տղամարդկանց (m) և կանանց (n) խմբերի։ Հաշվենք, թե որքանով է հավանական, որ գոնե մեկ կնոջ և մեկ տղամարդու ծննդյան օրերը կհամընկնեն (երկու կնոջ կամ երկու տղամարդու ծննդյան օրվա համընկնելու հավանականությունը չի դիտարկվում).

$p_{0}=1-{\frac {1}{d^{m+n}}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}S_{2}(m,i)S_{2}(n,j)\prod _{k=0}^{i+j-1}(d-k),$

որտեղ d = 365, իսկ S₂()-ը երկրորդ տեսակի Ստիրլինգի թիվն է։ Տրված հավանականության համար n+m մեծության վերաբերյալ միանշանակ պատասխան չկա։ Օրինակ՝ 0,5 հավանականություն ստացվում է ինչպես 16 տղամարդու և 16 կնոջ, այնպես էլ 43 տղամարդու և 6 կնոջ խմբի դեպքում։

Մոտ ծննդյան օրեր

Ծննդյան օրվա պարադոքսի մեկ այլ ընդհանրացում է այն խնդրի դիտարկումը, թե որքան մարդ է անհրաժեշտ, որպեսզի խմբում այն մարդկանց, ում ծննդյան օրերը տարբերվում են ոչ ավելի, քան մեկ օրով (կամ երկու, երեք և այդպես շարունակ), լինելու հավանականությունը գերազանցի 50 %-ը։ Այդ խնդրի լուծման համար օգտագործվում է ներառման-բացառման սկզբունքը։ Արդյունքը (կրկին ենթադրելով, որ ծննդյան օրերը բաշխված են հավասարաչափ) ստացվում է հետևյալ կերպ.

Ծննդյան օրերի առավելագույն տարբերություն, օրերի քանակ	Մարդկանց անհրաժեշտ քանակ
1	23
2	14
3	11
4	9
5	8
6	8
7	7
8	7

Այդ կերպ, հավանականությունը, որ թեկուզ 7 հոգուց կազմված խմբում նրանցից գոնե երկուսի ծննդյան օրերը կտարբերվեն ոչ ավելի, քան մեկ շաբաթով, գերազանցում է 50 %-ը։

Հակադարձ խնդիրներ

1. Ամենափոքր n թվի որոնում, որի դեպքում p(n) հավանականությունը մեծ է նշված p թվից։

2. Ամենամեծ n թվի որոնում, որի դեպքում p(n) հավանականությունը փոքր է նշված p թվից։

Օգտվելով վերանշյալ բանաձևից՝ ստացվում է.

$n(p;365)\approx {\sqrt {2\cdot 365\cdot \ln \left({1 \over 1-p}\right)}}$

p	n	n↓	p(n↓)	n↑	p(n↑)
0.01	0.14178√365 = 2.70864	2	0.00274	3	0.00820
0.05	0.32029√365 = 6.11916	6	0.04046	7	0.05624
0.1	0.45904√365 = 8.77002	8	0.07434	9	0.09462
0.2	0.66805√365 = 12.76302	12	0.16702	13	0.19441
0.3	0.84460√365 = 16.13607	16	0.28360	17	0.31501
0.5	1.17741√365 = 22.49439	22	0.47570	23	0.50730
0.7	1.55176√365 = 29.64625	29	0.68097	30	0.70632
0.8	1.79412√365 = 34.27666	34	0.79532	35	0.81438
0.9	2.14597√365 = 40.99862	40	0.89123	41	0.90315
0.95	2.44775√365 = 46.76414	46	0.94825	47	0.95477
0.99	3.03485√365 = 57.98081	57	0.99012	58	0.99166

Լավագույն դիրք

Ենթադրենք՝ սենյակում կա n - 1 մարդ, և նրանց ծննդյան օրերը տարբեր են։ Դիցուք՝ g(n)-ը այն բանի հավանականությունն է, որ ներս մտնող մարդու ծննդյան օրը կհամընկնի սենյակում գտնվողներից որևէ մեկի հետ։ Հարկավոր է գտնել n արժեքը, որի դեպքում g(n) ֆունկցիայի արժեքը առավելագույնն է։

Լուծումը հանգում է արտահայտության առավելագույն արժեքը գտնելուն.

p(n) - p(n-1).

Օգտագործելով p(n)-ի վերոնշյալ բանաձևը՝ ստացվում է՝ n = 20:

Մարդկանց միջին քանակ

Դիտարկենք մեկ այլ խնդիր։ Միջինում որքան մարդ է անհրաժեշտ, որպեսզի նրանցից գոնե երկուսի ծննդյան օրը համընկնի։

Այս խնդիրը կապված է եղել հեշ ֆունկցիաների ալգորիթմի հետ և ուսումնասիրվել Դոնալդ Կնուտի կողմից։

Պարզվում է, որ որոնվող պատահական մեծությունն ունի մաթեմատիկական սպասում, որը հավասար է.

${\overline {n}}\,=\,1+Q(M),$

որտեղ

$Q(M)=\sum _{k=1}^{M}{\frac {M!}{(M-k)!M^{k}}}:$

Այս ֆունկցիան ուսումնասիրել է Սրինիվասա Ռամանուջանը։

$Q(M)\,=\,1+{\frac {M-1}{M}}+{\frac {(M-1)(M-2)}{M^{2}}}+\cdots +{\frac {(M-1)(M-2)\cdots 1}{M^{M-1}}}$

Ֆունկցիայի համար նա ստացել է հետևյալը.

$Q(M)\sim {\sqrt {\frac {\pi M}{2}}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{12}}{\sqrt {\frac {\pi }{2M}}}-{\frac {4}{135M}}+\cdots$

M = 365-ի դեպքում մարդկանց միջին թիվը հավասար է.

${\overline {n}}\,=\,1+Q(M)\approx 24.61658$

Ստացված թիվը մի փոքր ավելին է, քան 50 % հավանականությունն ապահովող մարդկանց թիվը։ Անհրաժեշտ մարդկանց թիվը հավասար է M + 1 = 366 (365 մարդու ծննդյան օրը կարող է բաշխվել տարվա 365 օրերի վրա առանց համընկնման), թեև միջինում հարկավոր է միայն 25։

Գրականություն

• John G. Kemeny, J. Laurie Snell, Gerald Thompson Introduction to Finite Mathematics. The first edition. — 1‑е издание. — 1957 год. Русский перевод: Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. — Издательство иностранной литературы, 1963 год. — 488 с.
• Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. — РХД, 2003 год. — ISBN 5-93972-150-8

• Козлов М. В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. — МГУ, 1990 год. — ISBN 5-211-00312-8

• Ширяев А. Н. Вероятность-1. — МЦНМО, 2007 год. — ISBN 978-5-94057-036-3

• Goldberg S. A Direct Attack on a Birthday Problem(անգլ.) // Mathematical Mathematics Magazine. — Май 1976 года. — В. 49. — С. 130-132.

• Mosteller F. Understanding the Birthday Problem(անգլ.) // The Mathematics Teacher. — Май 1962 года. — С. 322-325.

• Eurobirthdays 2012 года(անգլ.). Գործնական օրինակ
• Abramson, M.; Moser, W. O. J. (1970). «More Birthday Surprises». American Mathematical Monthly. 77: 856–858. doi:10.2307/2317022.
• Bloom, D. (1973). «A Birthday Problem». American Mathematical Monthly. 80: 1141–1142. doi:10.2307/2318556. JSTOR 2318556.
• Kemeny, John G.; Snell, J. Laurie; Thompson, Gerald (1957). Introduction to Finite Mathematics (First ed.).
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). «Extensions of the Birthday Surprise». Journal of Combinatorial Theory. 3: 279–282. doi:10.1016/s0021-9800(67)80075-9.
• McKinney, E. H. (1966). «Generalized Birthday Problem». American Mathematical Monthly. 73: 385–387. doi:10.2307/2315408.
• Schneps, Leila; Colmez, Coralie (2013). «Math error number 5. The case of Diana Sylvester: cold hit analysis». Math on Trial. How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom. Basic Books. ISBN 978-0-465-03292-1.
• Sy M. Blinder (2013). Guide to Essential Math: A Review for Physics, Chemistry and Engineering Students. Elsevier. էջեր 5–6. ISBN 978-0-12-407163-6.

Արտաքին հղումներ

• Հավանականության տեսության պարադոքսներ Արխիվացված 2007-02-16 Wayback Machine (ռուս.)
• PGP ալգորիթմների համեմատական վերլուծություն (ռուս.)
• The Birthday Paradox accounting for leap year birthdays
• A humorous article explaining the paradox
• SOCR EduMaterials activities birthday experiment
• Understanding the Birthday Problem (Better Explained)
• Eurobirthdays 2012. A birthday problem. A practical football example of the birthday paradox.
• Grime, James. «23: Birthday Probability». Numberphile. Brady Haran. Արխիվացված է օրիգինալից 2017 թ․ փետրվարի 25-ին. Վերցված է 2017 թ․ դեկտեմբերի 18-ին.
• Computing the probabilities of the Birthday Problem at WolframAlpha