Հավանականություն
Հավանականություն, հնարավոր պատահարի տեղի ունենալու հնարավորության մեծություն[1]։ Տես հավանականության և վիճակագրության բառարան։ Հավանականությունը տատանվում է 0 -ից 1-ի սահմաններում[2], որտեղ 0-ն ցույց է տալիս պատահարի անհնարինությունը, իսկ 1-ը՝ հավաստիությունը[3][4]։ Ինչքան պատահարի հավանականությունը մեծ է, այնքան ավելի հավանական է դրա տեղի ունենալը։ Հասարակ օրինակ է մետաղադրամը նետելու փորձը։ Երբ նետում ենք մետաղադրամը, երկու հնարավոր ելքերն («գերբ» և «գիր») իրար հավասար են, այսինքն «գերբ» ընկնելու հավանականությունը հավասար է «գիր» ընկնելու հավանականությանը, և քանի դեռ այլ հնարավոր ելքեր չկան, այդ երկու դեպքերի հավանականությունը մնում է 1/2 (0.5 կամ 50%):
Այս հասկացությունները ձևակերպվել են աքսիոմատիկ մաթեմատիկական հավանականության տեսության մեջ, որն օգտագործվում է այնպիսի գիտություններում, ինչպիսիք են մաթեմատիկան, վիճակագրությունը, ֆինանսները, մոլեխաղերը, բնական գիտությունները (հատկապես ֆիզիկան), արհեստական բանականությունը, հաշվողական գիտությունը, խաղերի տեսությունը և փիլոսոփայությունը: Հավանականության տեսությունն օգտագործվում է նաև նկարագրելու համար բարդ համակարգերի հիմքում օգտագործվող մեխանիզմներն ու կարգավորումները[5]։
Մեկնաբանություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Պատահական, լավ մշակված և մաքուր տեսական փորձերի ժամանակ (ինչպիսին է մետաղդրամի նետումը) հավանականությունը կարող է նկարագրվել հնարավոր ելքերի թվով՝ յուրաքանչյուրին տալով որոշակի համարներ։ Օրինակ՝ մետաղադրամը երկու անգամ նետելու դեպքում կլինեն «գերբ-գերբ», «գերբ-գիր», «գիր-գերբ» և «գիր-գիր» հնարավոր ելքերը։ Գերբ-գերբ հնարավոր ելքի հավանականությունը 4 ելքի դեպքում 1 է, իսկ թվային տերմինով՝ 1/4, 0․25 կամ 25%։ Սակայն երբ անցնում ենք փորձնական կիրառության, առաջանում են երկու հիմնական մրցակցային կատեգորիաներ, որոնց կողմնակիցները հավանականության հիմնական բնույթի վերաբերյալ ունեն տարբեր տեսակետներ։
- Օբյեկտիվիստները թվերով նկարագրում են որոշակի օբյեկտիվ կամ ֆիզիկական պատահարներ։ Օբյեկտիվ հավանականության ամենատարածված տարբերակը պարբերական հավանականությունն է, որը պատահական իրադարձության հավանականությունն արտահայտում է ելքի հարաբերական հաճախականությամբ։ Այս ներկայացմամբ ելքի հավանականությունը երկարաժամկետում համարվում է հարաբերական հաճախական[6]։ Այս հակադիր հավանականության փոփոխությունը, որը ներկայացնում է հավանականության որպես որոշակի փորձի միտում, ի հայտ է բերում հավաստի ելք, նույնիսկ եթե այն մեկ անգամ է կատարվում։
- Սուբյեկտիվիստները թվերով ներկայացնում են սուբյեկտիվ հավանականությունը, այսինքն հավաստիության աստիճանը[7]։ Հավաստիության աստիճանը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝ «այն գինը որով կվճարեք ռիսկի համար, մեզ կտա միավոր օգտակարություն Е-ի առկայության դեպքում, իսկ դրա բացակայության դեպքում՝ 0»[8]։ Սուբյեկտիվ հավանականության ամենատարածված տարբերակը բայեսյան հավանականությունն է, որը ներառում է փորձագիտական գիտելիքներ, նաև փորձնական տեղեկատվություն։ Փորձագիտական գիտելիքը ներկայացվում է որոշակի (սուբյեկտիվ) հավանականության նախնական բաշխմամբ։ Այս տեղեկատվությունն ընդգրկվում է հավանականության ֆունկցիայի մեջ։ Նախնական և հավանական նորմալացված արժեքը առաջացնում է հավանականության հետագա բաշխում, որն առնչվում է ամբողջ ակտուալ տեղեկատվությանը[9]։ Ըստ Աումանի համաձայնության թեորեմի՝ բայեսյան գործակիցները, որոնց նախնական հավաստիությունները նման են, կունենան նմանատիպ հետագա հավաստիություններ։ Այդուհանդերձ, տարբեր հավանականություններ կարող են տանել տարբեր եզրակացությունների անկախ նրանից, թե որքան են գործակիցները[10]։
Ստուգաբանություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հավանականություն տերմինը ծագել է լատիներեն պրոբաբիլիտաս բառից, որը նշանակում է «ազնվություն», որը եվրոպական իրավական գործում իշխանության ապացույցի չափման միավոր էր և հաճախ առնչվում էր ազնվության հետ։ Սա շատ է տարբերվում ժամանակակից հավանականությունից, որը փորձնական ապացույցի մեծություն է և գալիս է ինդուկտիվ փաստարկներից ու վիճակագրական եզրակացություններից[11]։
Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հավանականության գիտական տեսությունը հանդիսանում է ժամանակակից մաթեմատիկայի զարգացման հիմքը։ Մոլեխաղերի պատմությունը ցույց է տալիս, որ քանակական հավանականության նկատմամբ կար մեծ հետաքրքրություն, բայց դրա ճշգրիտ մաթեմատիկական սահմանումն ի հայտ եկավ հետագայում։ Գոյություն ունի մաթեմատիկական հավանականության զարգացման դանդաղեցման մի քանի պատճառներ։ Մոլեխաղերը, որոնք մաթեմատիկական հավանականության զարգացման համար խթան էին հանդիսանում, մասնագետների համար դեռ համարվում էին սնահավատություն[12]։
Ըստ Ռիչարդ Ջեֆրիի՝ «նախքան 17-րդ դարերի կեսերը հավանականություն տերմինը (լատիներեն՝ պրոբաբիլիս) նշանակել է ընդունելի և ընդունվել է կարծել, գործել իմաստով։ Հնարավոր գործողությունը կամ կարծիքը մեկն է, որը մարդիկ կարող են ունենալ որոշակի հանգամանքներում»[13]։ Սակայն իրավական համատեքստում հավանականությունը կարող է նաև կիրառվել որպես հակառակ պնդում, որոնց համար կան լավ ապացույցներ[14]։
16-րդ դարում իտալացի մաթեմատիկոս Ջերոլամո Կարդանոն ներկայացրեց սահմանված հավանականության արդյունավետությունը որպես նպաստավոր և աննպաստ ելքերի հարաբերություն (որը նշանակում է, որ իրադարձության հավանականությունը ներկայացվում է նպաստավոր ելքերի և բոլոր հնարավոր ելքերի հարաբերությամբ[15])։ Կարդանոյի տարական աշխատությունից զատ՝ հավանականությունների դոկտորինան ներկայացվել է նաև Պիեռ դը Ֆերմայի և Բլեզ Պասկալի կողմից (1654)։ Քրիստիան Հյույգենսը (1657) տվել է առարկայի գիտական մոտեցումը[16]։ Յակոբ Բեռնուլիի Ենթադրությունների արվեստը (1713) և Աբրահամ դը Մուավրի Հավանականությունների դոկտորինան (1718) առարկան դասել են որպես մաթեմատիկայի ճյուղ[17]։ Տես Իան Հաքինգի Հավանականությունների ելքը[11] և Ջեյմս Ֆրանկլինի ենթադրությունների գիտությունը[18] մաթեմատիկական հավանականության պատմական զարգացման մեջ։
Շեղումների տեսությունը ներկայացվել է Ռոջեր Քոթսի Opera Miscellanea-ում (1722), բայց Թոմաս Սիմպսոնի 1755 թվականի (1756 թվականին տպագրված) հուշագրությունն առաջինը ներկայացրեց շեղումների դիտարկման տեսությունը։ Այս հուշագրության վերահրատարակումը հրաժարվում է այն աքսիոմից, որ դրական և բացասական շեղումները հավասարաչափ հնարավոր են, և որ նշանակելի սահմանները նշում են շեղումների ամբողջ շարքը։ Սիմպսոնը նաև քննարկում է շարունակական շեղումները և ներկայացնում է հավանականության կորը։
Շեղումների առաջին երկու օրենքները ներկայացվել են Պիեռ Սիմոն Լապլասի կողմից։ Առաջին օրենքը հրապարակվեց 1774 թվականին և այն պնդում էր, որ շեղման հաճախականությունը կարող է արտահայտվել որպես շեղումների բազմակի մեծության ցուցչային ֆունկցիա։ Շեղումների երկրորդ օրենքը ներկայացվել է 1778 թվականին Լապլասի կողմից և այն պնդում է, որ շեղումների հաճախականությունը ներկայացվում է շեղման քառակուսու ցուցչային ֆունկցիայի միջոցով[19]։ Շեղումների երկրորդ օրենքը կոչվում է Գաուսի օրենք կամ նորմալ բաշխում[19]։
Դանիել Բեռնուլին (1778) ներկայացրել է հավանականության առավելագույն արժեքի սկզբունքները հակառակ շեղումների համակարգում։
Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը (1805) զարգացրեց նվազագույն քառակուսիների մեթոդը (Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes)[20]: Լեժանդրի սկզբունքներից անկախ՝ իռլանդաամերիկացի գրող Ռոբերտ Ադրեինը՝ «Վերլուծողը» աշխատության հրապարակողը (1808), առաջինն ապացուցեց շեղման հարմարության օրենքը՝
որտեղ -ն հաստատուն է, իսկ -ն՝ գործակիցը, որը ցույց է տալիս կորից ներքև գտնվող հատվածը։ Նա տվեց երկու ապացույց, որոնք ըստ էության նույնն էին, ինչ որ Ջոն Հերշելինը (1850): Գաուսը առաջինն ապացուցեց այն, որը թվում էր՝ Եվրոպայում արդեն հայտնի էր (Ադրեյնից հետո՝ 3-րդը) 1809 թվականին։ Հետագա ապացույցները տվեցին Լապլասը (1810, 1812), Գաուսը (1823), Ջեյմս Այվորին (1825, 1826), Հագենը (1837), Ֆրիդրիխ Բեսելը (1838), Վ․Ֆ․ Դոնկինը (1844, 1856) և Մորգան Քրոֆտոնը (1870): Աջակիցներից էին նաև Էլիսը (1844), Դե Մորգանը (1864), Գլեյշերը (1872) և Ջիովանի Սկիապարելին (1875): Պետերսի (1856) r-ի բանաձևը՝ դիտարկման հավանական շեղումը, շատ հայտնի է։ 19-րդ դարում հիմնական տեսության հեղինակներն էին Լապլասը, Սիլվեստր Լակրուան (1816), Լիթրոուն (1833), Ադոլֆ Կետլեն (1853), Ռիչարդ Դեդկինդ (1860), Հելմերտը (1872), Հերման Լավրենտը (1873), Լիեգրը, Դիդիոն և Կառլ Փիրսոնը։ Օգաստես դե Մորգանը և Ջորջ Բուլը բարելավեցին տեսության մեկնաբանումը:
Անդրեյ Մարկովը ներմուծեց[21] մարկովյան շղթա հասկացությունը (1906), որը կարևոր դեր խաղաց ստոխաստիկ գործընթացների տեսության և դրա կիրառության մեջ: Հավանականության ժամանակակից տեսությունը հիմնված է չափի թեորեմի վրա, որը զարգացվել է Անդրեյ Կոլմոգորովի կողմից (1931)[22]:
Երկրաչափության տեսանկյունից (տես ինտեգրալ երկրաչափություն) մեծ ազդեցություն ունեին «Կրթական ժամանակ» գրքի կողմնակիցները (Միլեր, Քրոֆթն, Մաքքոլ, Վոլսթենհոլմ, Վաթսոն և Արտեմաս Մարտին):
Տեսություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ինչպես մնացած տեսությունները, հավանականության տեսությունն իր հասկացության ներկայացումն է ֆորմալ տերմինների միջոցով, որոնք կարող են քննարկվել նաև իրենց իմաստից անկախ: Այս ֆորմալ տերմինները կիրառվում են մաթեմատիկական և տրամաբանական կանոնների կողմից, և ցանկացած արդյունք թարգմանվում է և հետ է վերադարձվում խնդրի տիրույթ:
Կարող ենք նշել հավանականությունը սահմանելու առնվազն երկու հաջողակ փորձ, որոնք են Կոլմոգորովի և Կոքսի սահմանումները: Կոլմոգորովի սահմանման մեջ (տես հավանականության տարածք), իրավիճակները ներկայացվում են որպես իրադարձություններ, իսկ հավանականությունը՝ իրավիճակի տեղի ունենալու չափման միավոր: Կոքսի տեսության մեջ հավանականությունն ընդունվում է որպես նախնական, և շեշտը դրվում է հավանականության արժեքներից պնդումների կայուն փոխակերպման վրա: Երկու դեպքերում էլ հավանականության օրենքները նույնն են՝ չհաշված տեխնիկական մանրուքները:
Կան անորոշության չափման այլ մեթոդներ ևս, ինչպիսիք են Դեմպստեր-Շաֆերի կամ հնարավորության տեսությունը, բայց սրանք ըստ էապես տարբեր են և համատեղելի չեն հավանականության ընդունված օրենքների հետ:
Կիրառություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հավանականության տեսությունը կիրառվում է ամենօրյա կյանքում՝ ռիսկերի գնահատման և մոդելավորման ժամանակ: Ապահովագրական շուկաներն օգտագործում են ակտուարական գիտություններ գները սահմանելու և առևտրային որոշումներ կայացնելու համար: Պետությունները կիրառում են հավանականության մեթոդները, իրավունքների վերլուծությունները (երկարակեցության և ծերության հուսալիության տեսություն) և ֆինանսական կարգավորումները բնապահպանության կարգավորման համար:
Հավանականության տեսության կիրառման լավ օրինակ է Միջին Արևելքում նավթի գնի հետ կապված վեճերի հավանականության ազդեցությունը, որը օղակների էֆեկտով ազդում է ամբողջ տնտեսության վրա: Վաճառողը կհասկանա, որ պատերազմի հետևանքով տվյալ ապրանքի գինը կընկնի կամ կբարձրանա, և դա ազդեցություն կունենա նաև մնացած վաճառողների կարծիքի վրա: Հետևաբար հավանականության գնահատումը ո՛չ անկախ է, ո՛չ էլ չափազանց ռացիոնալ: Վարքագծային ֆինանսների տեսությունը ստեղծվել է բացատրելու համար ամբոխի էֆեկտի ազդեցությունը գնի, քաղաքականության, խաղաղության և վեճերի վրա[23]:
Ի լրումն ֆինանսական գնահատման, հավանականությունը կարող է օգտագործվել վերլուծելու համար միտումները կենսաբանության մեջ (օրինակ՝ հիվանդությունների տարածումը), նաև էկոլոգիայում (օրինակ՝ Պենետի կենսաբանական աղյուսակը): Ռիսկերի գնահատումը կարող է օգտագործվել որպես վիճակագրական գործիք հաշվարկելու համար անցանկալի իրադարձության կատարվելու հավանականությունը և կարող են օգտագործվել նաև արձանագրություններ այդպիսի հանգամանքներից խուսափելու համար: Հավանականությունն օգտագործվում է մշակելու համար մոլեխաղերը, այնպես, որ խաղատները կարողանան վաստակել երաշխավորված շահույթ՝ միաժամանակ վճարելով մշտական հաճախորդներին, որպեսզի նրանք շարունակեն խաղալ[24]:
Հավանականության գնահատման և միավորման ճշգրիտ մեթոդների բացահայտումը մեծապես փոխել է հասարակությանը[25]:
Հավանականության մեկ այլ կարևոր կիրառությունն ամենօրյա կյանքում հուսալիությունն է: Շատ սպառողական ապրանքներ, ինչպիսին են ավտոմեքենաները և էլեկտրոնային տեխնիկան, օգտագործում են հուսալիության տեսությունը իրենց ապրանքի նախագծման մեջ կրճատելու համար ձախողման հավանականությունը: Ձախողման հավանականությունը կարող է ազդել ապրանքի երաշխիքի հետ կապված արտադրողի որոշումների վրա[26]:
Արձանագրությունների լեզվի մոդելը և այլ վիճակագրական լեզուների մոդելները, որոնք օգտագործվում են բնական լեզվի գործընթացներում նույնպես հավանականության տեսության կիրառման օրինակներ են:
Մաթեմատիկական մոտեցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կատարենք մի փորձ, որը կարող է ունենալ մի քանի արդյունք: Բոլոր հնարավոր արդյունքների հավաքածուն կոչվում է փորձի պարզագույն իրադարձությունների տարածություն: Պարզագույն իրադարձությունների տարածության ամբողջությունը ձևավորվում է՝ հաշվի առնելով հնարավոր արդյունքների բոլոր տարբեր հավաքածուները: Օրինակ՝ զառի նետումը ենթադրում է վեց հնարավոր արդյունք: Հնարավոր արդյունքների մի հավաքածուն ներկայացվում է կենտ թվերի միջոցով: Հետևաբար, {1,3,5} ենթաբազմությունը համարվում է զառի նետման պարզագույն իրադարձությունների տարածության ամբողջության տարր: Այս դեպքում {1,3,5}-ը զառի նետման հետևանքով կենտ թվեր ընկնելու պատահարն է: Եթե տվյալ կենտ թվերը զառի նետման հետևանքով իրոք ընկնեն, ապա կարող ենք ասել, որ պատահարը տեղի է ունեցել:
Հավանականությունը յուրաքանչյուր պատահարի գնահատումն է զրոյից մեկի սահմաններում, պայմանով, որ տվյալ պատահարի հավանականությունը, որն իր մեջ ներառում է բոլոր հնարավոր արդյունքները (մեր օրինակում {1,2,3,4,5,6}) ընդունվի որպես մեկ: Հաշվելով հավանականությունը՝ արժեքները պետք է բավարարեն այն պահանջները, որ փոխադարձաբար անհամատեղելի պատահարների հավաքածուներին նայելիս (ոչ սովորական արդյունքներով պատահարներ, օրինակ՝ {1,6}, {3}, և {2,4} պատահարները փոխադարձաբար անհամատեղելի են)՝ պատահարներից առնվազն մեկի տեղի ունենալու հավանականությունը ներկայացված լինի բոլոր առանձին պատահարների հավանականությունների գումարով[27]:
A պատահարի հավանականությունը ներկայացվում է որպես , կամ [28]: Հավանականության այս մաթեմատիկական սահմանումը կարող է պարզագույն պատահարների և նույնիսկ անհամատեղելի պատահարների տարածությունն անվերջ մեծացնել՝ օգտագործելով չափման հասկացությունը:
A պատահարի հակադիր պատահարը [ոչ A] պատահարն է (երբ A-ն տեղի չի ունենում), որը հաճախ նշվում է որպես կամ : Դրա հավանականությունը ներկայացվում է P(ոչ A) = 1 − P(A) տեսքով[29]: Օրինակ՝ վեցակողմ զառի նետման դեպքում վեց չընկնելու հավանականությունը հավասար է 1 - (վեց ընկնելու հավանականություն): Տես լրիվ հավանականությունը ավելի մանրամասն բացատրության համար:
Եթե փորձի մեկ անգամ կատարման արդյունքում A և B պատահարները միաժամանակ տեղի ունենան, այդ երևույթը կկոչվի A և B պատահարների հավանականությունների հատում և կներկայացվի տեսքով:
Անկախ պատահարներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե երկու A և B պատահարներն անկախ են, ապա նրանց հավանականությունների հատումը կլինի
օրինակ՝ երկու մետաղադրամ նետելիս՝ երկուսի մոտ էլ գիր ընկնելու հավանականությունը կլինի[30]:
Փոխադարձաբար անհամատեղելի պատահարներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե փորձի արդյունքում A և B պատահարները երբեք միասին հանդես չեն գալիս, դրանք կոչվում են փոխադարձաբար անհամատեղելի պատահարներ:
Եթե երկու պատահարներ փոխադարձաբար անհամատեղելի են, ապա երկուսի տեղի ունենլու հավանականությունը ներկայացվում է տեսքով:
Եթե երկու պատահարներ փոխադարձաբար անհամատեղելի են, ապա դրանցից մեկի տեղի ունենալու հավանականությունը ներկայացվում է տեսքով:
Օրինակ՝ վեցակողմ զառի 1 կամ 2 ընկնելու հավանականությունը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝
Փոխադարձաբար համատեղելի պատահարներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե պատահարները փոխադարձաբար անհամատեղելի չեն, ապա
Օրինակ՝ խաղաքարտերից պատահական կերպով մեկը վերցնելիս՝ սիրտ կամ կերպար պարունակող քարտ (կամ երկուսը միասին) վերցնելու հավանականությունը (J,Q,K) կլինի , որովհետև եղած 52 քարտերից 13-ը սիրտ են, 12-ը պարունակում են կերպար, իսկ 3-ը՝ երկուսը միասին: Վեջին 3 քարտերը վերցնելու հավանականություններն իրենց մեջ ներառում են բոլոր 13 սրտերը և 12 կերպարները, որոնք սակայն պետք է հաշվվեն մեկ անգամ:
Պայմանական պատահարներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Պայմանական հավանականությունը A պատահարի հավանականությունն է B պատահարի տեղի ունենալուց կախված: Պայմանական հավանականությունը ներկայացվում է տեսքով և արտաբերվում է «A պատահարի հավանականություն B պայմանի դեպքում»: Այն ներկայացվում է հետևյալ կերպ[31]՝
Եթե , ապա որպես այդպիսին չի սահմանվում: Սակայն, հնարավոր է սահմանել պայմանական հավանականություն որոշ անհնարին պատահարների դեպքում՝ օգտագործելով պատահարների (որոնք, օրինակ, բխում են շարունակական պատահական փոփոխականներից) σ-algebra հնարավոր արժեքների բազմությունը:
Օրինակ՝ 2 կարմիր և 2 կապույտ գնդակների պայուսակում (ընդամենը՝ 4 գնդակ), կարմիր գնդակ հանելու հավանականությունը կլինի , սակայն երկրորդ գնդակը հանելիս՝ կարմիր կամ կապույտ գնդակ հանելու հավանականությունը կախված է նրանից, թե նախորդ անգամ ինչ գնդակ է հանվել: Օրինակ՝ եթե առաջին փորձի արդյունքում հանվում է կարմիր գնդակ, ապա երկրորդ անգամ կարմիր գնդակ հանելու հավանականությունը դառնում է , քանի որ մնացել են միայն 1 կարմիր և 2 կապույտ գնդակներ:
Հակադիր հավանականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հավանականության տեսության և դրա կիրառության մեջ Բայեսի կանոնը վերաբերվում է և հետագա և նախնական պատահարների անհամատեղելիությանը պատահարի պայմանի դեպքում: և պատահարների անհամատեղելիությունը ներկայացվում է երկու պատահարների հավանականությունների հարաբերությամբ: Կամայական պատահարի դեպքում կանոնը վերաձևակերպվում է որպես հետագա և նախնական հավանականությունների համարժեքություն՝ , որտեղ համարժեքության նշանը ցույց է տալիս, որ ձախակողմյա հատվածը համարժեք է (այլ կերպ ասած՝ հավասար) աջակողմյա հատվածին տրված պատահարի պայմանի դեպքում: Այսպես կրկին հետ ենք վերադառնում Լապլասին (1774) և Կուռնոյին (1843): Տես Ֆինբերգ (2005): Տես հակադիր հավանականությունը և Բայեսի կանոնը:
Հավանականությունների հաշվարկման համառոտ ներկայացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Պատահար | Հավանականություն |
---|---|
A | |
ոչ A | |
A կամ B | |
A և B | |
A-ն B պայմանի դեպքում |
Պատահականության և հավանականության կապը քվանտային մեխանիկայում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Դետերմինիստական աշխարհում, որը հիմնված է նյուտոնյան հասկացության վրա, հավանականություն ընդհանրապես չպետք է լիներ, եթե բոլոր պայմանները լինեին հայտնի (Լապլասի Սատանա), (բայց կան դեպքեր, երբ նախնական պայմանների զգայունությունը գերազանցում է այն չափելու մեր կարողությանը): Խաղանիվի (ռուլետկա,) օրինակով եթե ձեռքի ուժը և այդ ուժի պարբերությունը հայտնի է, ապա թիվը, որի վրա գնդակը կանգ կառնի, հայտնի կլինի (չնայած, ինչպես ցույց է տալիս Թոմաս Բասի «Նյուտոնյան խաղատուն» գիրքը, որպես փորձ սա ճիշտ կլինի միայն այն խաղանիվի դեպքում, որը ճշգրտորեն հարթեցված չէ): Սա նաև ենթադրում է անիվի հետ կապված իներցիայի և շփման ուժի գիտելիքներ, ինչպես նաև իմացություն գնդակի քաշի, հարթության, գնդաձևության, պտտելու ժամանակ տատանումների և այլնի մասին: Հավանականության սահմանումը, հետևաբար, կարող է ավելի օգտակար լինել ռուլետկայի պարբերական պտույտների ելքերի որոշման դեպքում, քան նյուտոնյան մեխանիկան: Ֆիզիկոսները նույն իրավիճակին են հանգում գազերի կինետիկ տեսության դեպքում, որտեղ համակարգը չնայած սկզբունքորեն որոշիչ լինելուն այնքան բարդ է (մոլեկուլների քանակով, որտեղ մեկ մոլի մոլային զանգվածը, ըստ Ավոգադրոյի հաստատունի, կազմում է ×1023), որ կիրառելի է միայն դրա հատկությունների վիճակագրական սահմանումները: 6.02
Հավանականության տեսությունն անհրաժեշտ է բացատրելու համար քվանտային երևույթը[32]: 20-րդ դարասկզբում ֆիզիկոսների հեղափոխական բացահայտումը ֆիզիկական գործընթացների պատահական բնույթն էր, որն ի հայտ էր գալիս ենթաատոմային մակարդակներում և կառավարվում էր քվանտային մեխանիկայի օրենքներով: Ալիքաձև ֆունկցիան զարգանում է որոշակիորեն, բայց ըստ Կոպենհագենի մեկնաբանման՝ արդյունքը պարզաբանվում էր ալիքաձև ֆունկցիայի անկման միջոցով դիտարկման ավարտին: Սակայն դետերմինիզմի կորուստը հանուն ինստրումենտալիզմի այդպես էլ չապացուցվեց: Ալբերտ Այնշտայնը Մաքս Բոռնին ուղղված նամակում գրել է՝ «Ես համոզված եմ, որ Աստված զառ չի խաղում»[33]: Ինչպես Այնշտայնը, Էրվին Շրյոդինգերը, ով բացահայտեց ալիքաձև ֆունկցիան, հավատում էր, որ քվանտային մեխանիկան դետերմինացված իրականության վիճակագրական մոտավորությունն է[34]: Չափման վիճակագրական մեխանիկայի ժամանակակից մեկնաբանություններում քվանտային դեկոգերենցիան անդրադառնում է հավանական փորձնական արդյունքների գնահատմանը:
Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- ↑ "Probability". Webster's Revised Unabridged Dictionary. G & C Merriam, 1913
- ↑ Strictly speaking, a probability of 0 indicates that an event almost never takes place, whereas a probability of 1 indicates than an event almost certainly takes place. This is an important distinction when the sample space is infinite. For example, for the continuous uniform distribution on the real interval [5, 10], there are an infinite number of possible outcomes, and the probability of any given outcome being observed — for instance, exactly 7 — is 0. This means that when we make an observation, it will almost surely not be exactly 7. However, it does not mean that exactly 7 is impossible. Ultimately some specific outcome (with probability 0) will be observed, and one possibility for that specific outcome is exactly 7.
- ↑ "Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 1: Distribution Theory", Alan Stuart and Keith Ord, 6th Ed, (2009), 978-0-534-24312-8
- ↑ William Feller, "An Introduction to Probability Theory and Its Applications", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley, 0-471-25708-7
- ↑ Probability Theory The Britannica website
- ↑ Hacking Ian (1965)։ The Logic of Statistical Inference։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-05165-1[Հղում աղբյուրներին]
- ↑ Finetti Bruno de (1970)։ «Logical foundations and measurement of subjective probability»։ Acta Psychologica 34: 129–145։ doi:10.1016/0001-6918(70)90012-0
- ↑ Hájek Alan (2002-10-21)։ «Interpretations of Probability»։ The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)։ Վերցված է ապրիլի 22, 2013
- ↑ Hogg Robert V., Craig Allen, McKean Joseph W. (2004)։ Introduction to Mathematical Statistics (6th ed.)։ Upper Saddle River: Pearson։ ISBN 978-0-13-008507-8[Հղում աղբյուրներին]
- ↑ Jaynes E.T. (2003)։ «Section 5.3 Converging and diverging views»։ in Bretthorst G. Larry։ Probability Theory: The Logic of Science (English) (1 ed.)։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-59271-0
- ↑ 11,0 11,1 Hacking, I. (2006) The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge University Press, 978-0-521-68557-3[Հղում աղբյուրներին]
- ↑ Freund, John. (1973) Introduction to Probability. Dickenson 978-0-8221-0078-2 (p. 1)
- ↑ Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). pp. 54–55 . 0-521-39459-7
- ↑ Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press. (pp. 22, 113, 127)
- ↑ Some laws and problems in classical probability and how Cardano anticipated them Gorrochum, P. Chance magazine 2012
- ↑ Abrams, William, A Brief History of Probability, Second Moment, http://www.secondmoment.org/articles/probability.php, վերցված է 2008-05-23
- ↑ Ivancevic Vladimir G., Ivancevic Tijana T. (2008)։ Quantum leap : from Dirac and Feynman, across the universe, to human body and mind։ Singapore ; Hackensack, NJ: World Scientific։ էջ 16։ ISBN 978-981-281-927-7
- ↑ Franklin James (2001)։ The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal։ Johns Hopkins University Press։ ISBN 978-0-8018-6569-5
- ↑ 19,0 19,1 Wilson EB (1923) "First and second laws of error". Journal of the American Statistical Association, 18, 143
- ↑ Seneta Eugene William։ «"Adrien-Marie Legendre" (version 9)»։ StatProb: The Encyclopedia Sponsored by Statistics and Probability Societies։ Արխիվացված է օրիգինալից փետրվարի 3, 2016-ին։ Վերցված է հունվարի 27, 2016
- ↑ http://www.statslab.cam.ac.uk/~rrw1/markov/M.pdf
- ↑ Vitanyi Paul M.B. (1988)։ «Andrei Nikolaevich Kolmogorov»։ CWI Quarterly (1): 3–18։ Վերցված է հունվարի 27, 2016
- ↑ Singh, Laurie (2010) "Whither Efficient Markets? Efficient Market Theory and Behavioral Finance". The Finance Professionals' Post, 2010.
- ↑ Gao J.Z., Fong D., Liu X. (April 2011)։ «Mathematical analyses of casino rebate systems for VIP gambling»։ International Gambling Studies 11 (1): 93–106։ doi:10.1080/14459795.2011.552575
- ↑ «Data: Data Analysis, Probability and Statistics, and Graphing»։ archon.educ.kent.edu։ Վերցված է 2017-05-28
- ↑ Gorman, Michael (2011) "Management Insights". Management Science Կաղապար:Full citation needed
- ↑ Ross, Sheldon. A First course in Probability, 8th Edition. pp. 26–27.
- ↑ Olofsson (2005) p. 8.
- ↑ Olofsson (2005), p. 9
- ↑ Olofsson (2005) p. 35.
- ↑ Olofsson (2005) p. 29.
- ↑ Burgi, Mark (2010) "Interpretations of Negative Probabilities", p. 1. Կաղապար:ArXiv
- ↑ Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. Letter to Max Born, 4 December 1926, in: Einstein/Born Briefwechsel 1916–1955.
- ↑ Moore W.J. (1992)։ Schrödinger: Life and Thought։ Cambridge University Press։ էջ 479։ ISBN 978-0-521-43767-7
Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Kallenberg, O. (2005) Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York. 510 pp. 0-387-25115-4
- Kallenberg, O. (2002) Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp. 0-387-95313-2
- Olofsson, Peter (2005) Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. 504 pp 0-471-67969-0.
Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
![]() |
Հավանականություն Վիքիպահեստում |
---|
- Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)
- Կաղապար:In Our Time
- Probability and Statistics EBook
- Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
- People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)
- Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)
- Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
- A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
- [1] pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963) at UbuWeb
- Introduction to Probability – eBook, by Charles Grinstead, Laurie Snell Source Archived 2012-03-25 at the Wayback Machine. (GNU Free Documentation License)
- (անգլերեն) Կաղապար:It icon Bruno de Finetti, Probabilità e induzione, Bologna, CLUEB, 1993. 88-8091-176-7 (digital version)
- Richard P. Feynman's Lecture on probability.
|