Մոնտի Հոլի պարադոքս

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Ավտոմոբիլի որոնման ժամանակ խաղացողն ընտրում է թիվ 1 դուռը։ Այդ ժամանակ հաղորդավարը բացում է 3-րդ դուռը, որի հետևը գտնվում է այծը։ Հաղորդավարն առաջարկում է խաղացողին փոխել իր ընտրությունը երկրորդ դռնով։ Արժի՞ որ նա գնա այդ քայլին։
Հավանականությունների բաշխում։ Նրանք, որոնք փոխել են դուռը (ներքի ձախ անկյուն), երկուս ստացել են մեքենա և մեկը՝ այծ։ Իսկ նրանք, որոնք չեն փոխել (ներքևի աջ անկյուն)՝ հակառակը։

Մոնտի Հոլի պարադոքս, հավանականությունների տեսության հայտնի առաջադրանքներից մեկը, որի լուծումն, առաջին հայացքից, հակասում է առողջ բանականությանը։ Այս առաջադրանքը, բառի նեղ իմաստով, պարադոքս չէ, քանի որ իր մեջ չի պարունակում հակասություն։ Այն կոչվում է պարադոքս այն պատճառով, որ առաջադրանքի լուծումը կարող է թվալ անսպասելի։ Ավելին, շատ մարդկանց համար դժվար է ընդունել ճիշտ որոշում նույնիսկ այն բանից հետո, երբ նրան բացատրվում է ճիշտ լուծումը[1]։

Առաջադրանքն առաջին անգամ հրապարակվել է[2][3] (պատասխանի հետ միասին) 1975 թվականին «The American Statistician» ամսագրում, Բերկլիի կալիֆորնյան համալսարանի պրոֆեսոր Սթիվ Սելվինի կողմից։ Այն դարձել է առավել հայտնի 1990 թվականին, երբ հրապարակվել է «Parade» ամսագրում[4]։

Ձևակերպում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջադրանքը ձևակերպվում է որպես խաղի նկարագրություն, որը հիմնված է ամերիկյան «Let’s Make a Deal» հեռուստախաղի վրա և անվանվել է ի պատիվ հեռուստախաղի հաղորդավարի։ Այս առաջադրանքի ամենատարածված տարբերակներից մեկը, որը 1990 թվականին հրապարակվել է «Parade Magazine»մ ամսագրում, ձևակերպվում է հետևյալ կերպ․

Aquote1.png Պատկերացրեք, որ խաղի մասնակից եք, որի ժամանակ պետք է ընտրել երեք դռներից մեկը։ Դռներից մեկի հետևում գտնվում է ավտոմեքենա, իսկ մյուս երկուսի հետևում՝ այծեր։ Դուք ընտրում եք դռներից մեկը, օրինակ, 1-ին դուռը, որից հետո հաղորդավարը, որը գիտի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան, իսկ որտեղ են գտնվում այծերը, բացում է մնացած երկու դռներից մեկը, օրինակ, 3-րդ դուռը, որի հետևում գտնվում է այծը։ Դրանից հետո հաղորդավարը հարցնում է ձեզ՝ չե՞ք ցանկանա արդյոք փոխել ձեր ընտրությունը և ընտրել երկրորդ դուռը։ Մեծանո՞ւմ են արդյոք ձեր շանսերը՝ հաղթելու ավտոմեքենա, եթե դուք ընդունեք հաղորդավարի առաջարկը և փոխեք ձեր որոշումը։ Aquote2.png


Հրապարակումից անմիջապես հետո պարզ դարձավ, որ առաջադրանքը ոչ ճիշտ է ձևակերպված։ Չեն նշվել բոլոր պայմանները։ Օրինակ, հաղորդավարը կարող է կիրառել «դժոխային Մոնտիի» ռազմավարությունը․ առաջարկել փոխել ընտրությունն այն ժամանակ և միայն այն դեպքում, երբ խաղացողն առաջին քայլով ընտրել է ավտոմեքենան։ Միանշանակ է, որ առաջին ընտրության փոփոխությունը կարող է տանել երաշխավորված պարտության իրավիճակի (տես ստորև)։

Հավելյալ պայմաններով ամենահայտնի առաջադրանքը համարվում է հետևյալը[5]։ Խաղի մասնակցին նախապես հայտնի են հետևյալ պայմանները․

  • ավտոմեքենան համահավասար կարող է գտնվել երեք դռներից յուրաքանչյուրի հետևում,
  • հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է գտնվում ավտոմեքենան,
  • հաղորդավարը ցանկացած պարագայում պետք է բացի այն դռներից մեկը, որտեղ գտնվում է այծը (սակայն, ոչ այն, որն ընտրել է մասնակիցը) և առաջարկի փոխել իր ընտրությունը,
  • եթե հաղորդավարն ունի ընտրություն, թե որ երկու դռներից մեկը բացի, նա ընտրում է երկուսից ցանկացածը` միևնույն հավանականությամբ:

Ստորև ներկայացված տեքստում Մոնտի Հոլի առաջադրանքը քննարկվում է հենց այս ձևակերպմամբ:

Վերլուծություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դուռ 1 Դուռ 2 Դուռ 3 Արդյունքը, եթե մասնակիցը փոխել է ընտրությունը Արդյունքը, եթե մասնակիցը չի փոխել ընտրությունը
Ավտոմեքենա Այծ Այծ Այծ Ավտոմեքենա
Այծ Ավտոմեքենա Այծ Ավտոմեքենա Այծ
Այծ Այծ Ավտոմեքենա Ավտոմեքենա Այծ

Հաղթելու ռազմավարության համար կարևոր է հետևյալը. եթե դուք, հաղորդավարի գործողություններից հետո, փոխում եք դռան ընտրությունը, ապա դուք հաղթում եք, եթե սկզբնապես ընտրել էիք սխալ դուռը: Սրա հավանականությունը կազմում է 23, քանի որ ի սկզբանե սխալ դուռ ընտրելու հնարավորությունը կազմում է երկու (հնարավոր երեք դռների մեջ):

Սակայն հաճախ այս առաջադրանքի լուծման ժամանակ խաղացողները մտածում են հետևյալ կերպ. հաղորդավարը միշտ էլ հեռացնում է սխալ դռներից մեկը, և այդ դեպքում ավտոմեքենայի գտնվելը երկու հնարավոր դռներից մեկի հետևում դառնում է հավասար ½, անկախ առաջնային ընտրությունից: Սակայն այս փաստը ճիշտ չէ: Չնայած որ ընտրության հնարավորությունը իրոք մնում է երկու դռների միջև, այդ հնարավորությունները (ներառյալ նաև նախապատմությունը), հավասար հավանական չեն: Դա այդպես է, քանի որ ի սկզբանե բոլոր դռներն ունեցել են հավասար շանսեր` դառնալու հաղթող, սակայն ավելի ուշ ունեցել են տարբեր հավանականություններ` լինելու բացառված:

Մարդկանց մեծամասնության համար այս եզրահանգումը հակասում է իրավիճակի ինտուիտիվ ընկալմանը և ի շնորհիվ տրամաբանական եզրահանգման և պատասխանի միջև առկա անհամապատասխանության, որին հանգում է ինտուիտիվ մտածելակերպը, առաջադրանքը հենց այդպես էլ կոչվում է «Մոնտի Հոլի պարադոքս»:

Դռների հետ կապված իրավիճակը դառնում է էլ ավելի ակնառու, եթե պատկերացնենք, որ դռների թիվը ոչ թե 3 է, այլ ասենք, 1000 և մասնակցի ընտրությունից հետո հաղորդավարը հեռացնում է 998 ավելորդ դռները և թողնում երկու դուռ. այն, որը ընտրել է մասնակիցը և ևս մեկը: Ավելի ակնհայտ է դառնում այն, որ ավտոմեքենայի երկու դռներից մեկի հետևում գտնվելու հավանականությունը տարբեր է և հավասար չէ ½-ի: Եթե մենք փոխենք դռները, ապա պարտվում ենք միայն այն դեպքում, երբ ի սկզբանե ընտրել էինք մրցանակային դուռը, որի հավանականությունը կազմում է 1:1000-ի: Հաղթում ենք մենք նաև այն պարագայում, եթե մեր նախնական ընտրությունը չի եղել ճիշտ, իսկ դրա հավանականությունը կազմում է 999:1000-ի: Երեք դռների պարագայում տրամաբանությունը պահպանվում է, սակայն հաղթանակի հավանականությունը, ընտրության փոփոխության պարագայում, կազմում է 23, այլ ոչ` 9991000:

Դիտարկման մեկ այլ տարբերակ է երկտար պայմանների փոփոխությունը: Պատկերացնենք, որ մասնակցի կողմից նախնական ընտրության (թող այն միշտ լինի N 1 դուռը) և դրան հաջորդող հաղորդավարի կողմից այծով դռներից մեկի բացման փոխարեն (այսինքն, թող այդ ընտրությունը միշտ լինի 2-րդ և 3-րդ դռների միջև), մասնակիցը պետք է առաջին փորձից գուշակի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան: Սակայն նրան նախապես տեղեկացվում է, որ առաջին դռան հետևում ավտոմեքենան կարող է գտնվել 33 % հարաբերակցությամբ, իսկ մյուս երկու դռների պարագայում նշվում է, որ կոնկրետ այս մի դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան (0 %): Համապատասխանաբար, մյուս դռանը բաժին է ընկնում 67 % հավանականություն և նրա ընտրության ռազմավարությունը դառնում է առաջնային:

Հաղորդավարի այլ վարքագիծ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մոնտի Հոլի պարադոքսի դասական տարբերակը վկայում է, որ հաղորդավարը պետք է պարտադիր առաջարկի մասնակցին փոխել դռներն, անկախ այն հանգամանքից, թե ընտրել է նա ավտոմեքենան, թե` ոչ: Սակայն հաղորդավարը կարող է ցուցաբերել նաև ավելի բարդ վարքագիծ: Այս աղյուսակում հակիրճ նկարագրված են վարքագծի հնարավոր տարբերակները: Եթե չի ասվել հակառակը, մրցանակները հավասար հավանականությամբ գտնվում են դռների հետևում և հաղորդավարը գիտի, թե որ դռան հետևում է ավտոմեքենան: Իսկ եթե կա ընտրություն, հաղորդավարը հավասար հավանականությամբ ընտրում է այծերից մեկին:

Հաղորդավարի հնարավոր վարքագիծ
Հաղորդավարի վարքագիծ Արդյունք
«Դժոխային Մոնտի»` հաղորդավարն առաջարկում է փոխել ընտրությունը, եթե ընտրված դուռը ճիշտ է[4]: Ընտրության փոփոխության արդյունքում խաղացողը միշտ պարտվում է, քանի որ ընտրում է այծին:
«Հրեշտակային Մոնտի»` հաղորդավարն առաջարկում է փոխել ընտրությունը, եթե ընտրված դուռը ճիշտ չէ[6]: Ընտրության փոփոխության արդյունքում խաղացողը հաղթում է ավտոմեքենա:
«Անտեղյակ Մոնտի» կամ «Մոնտի Բուհ` հաղորդավարը պատահականորեն ընկնում է, բացվում է դուռը և պարզվում, որ դռան հետևում ավտոմեքենան չէ: Այլ խոսքերով, հաղորդավարն ինքն էլ չգիտի, թե ինչեր են դռների հետևում: Դուռը բացվում է պատահականորեն և միայն, բարեբախտաբար, դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան[7][8][9]: Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` դեպքերի ½ պարագայում:
Հենց այդ սկզբունքով է ստեղծված ամերիկյան «Deal or No Deal» հեռուստաշոուն. ճիշտ է պատահական դուռը բացում է հենց խաղացողը: Եվ եթե դրա հետևում ավտոմեքենան չէ, ապա հաղորդավարն առաջարկում է փոխել:
Հաղորդավարն ընտրում է այծերից մեկը և բացում այդ դուռը, եթե խաղացողն ընտրել է այլ դուռ: Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` դեպքերի ½ պարագայում:
Հաղորդավարը միշտ բացում է այծերից մեկի դուռը: Եթե մասնակիցն ընտրել է ավտոմեքենան, ձախ այծը բացվում է p հավանականությամբ, իսկ աջը` q=1−p հավանականությամբ[8][9][10]: Եթե հաղորդավարը բացել է ձախ դուռը, ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` հավանականությամբ, իսկ եթե աջը` հավանականությամբ: Սակայն փորձարկվողը ոչ մի կերպ չի կարող ազդել այն հավանականության վրա, որ կբացվի աջ դուռը. անկախ իր ընտրությունից, այն տեղի կունենա հավանականությամբ:
Նույնը` p=q=½ (դասական դեպք): Փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` 23 հավանականությամբ:
Նույնը` p=1, q=0 («Անուժ Մոնտի»` հոգնած հաղորդավարը կանգնած է ձախ դռան մոտ և բացում է այն այծի դուռը, որն իրեն ամենամոտն է:): Եթե հաղորդավարը բացեր իրենից աջ գտնվող դուռը, ապա փոփոխությունը կտար երաշխավորված հաղթանակ: Իսկ եթե ձախը, ապա հավանականությունը կկազմեր ½:
Հաղորդավարը միշտ բացում է այցեծրից մեկի դուռը, եթե մասնակիցն ընտրել է ավտոմեքենան և ½ հավանականությամբ` հակառակ դեպքում[11]: Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` ½ հավանականությամբ:
Ընդհանուր դեպք. խաղը կրկնվում է մի քանի անգամ: Այս կամ այն դռան հետևում ավտոմեքենայի թաքցման հավանականությունը, ինչպես նաև այս կամ այն դռան բացումը կամայական է, սակայն հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է ավտոմեքենան և միշտ առաջարկում է փոփոխություն` բացելով այծերից մեկին[12][13]: Նեշի հավասարում. հաղորդավարին ամենաձեռնտուն Մոնտի Հոլի հենց դասական տարբերակն է (հաղթանակի հավանականությունը` 23): Մեքենան գտնվում է դռներից յուրաքանչյուրի հետևում` հավանականությամբ: Եթե կա ընտրություն, ապա պատահականորեն բացվում է այծերից որևէ մեկի դուռը:
Նույնը, սակայն հաղորդավարը կարող է չբացել և ոչ մի դուռ: Նեշի հավասարում. հաղորդավարին ձեռք չի տալիս բացել դռներից մեկը, որի արդյունքում հաղթանակի հավանականությունը մնում է :

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Воронцов, И.Д., Райцин, А.М. ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА(ռուս.) // ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. — 2015. — № 2. — С. 7.
  2. Selvin, Steve A problem in probability (letter to the editor)(անգլ.) // The American Statistician : journal. — Т. 29. — № 1. — С. 67.
  3. Selvin, Steve On the Monty Hall problem (letter to the editor)(անգլ.) // American Statistician : journal. — Т. 29. — № 3. — С. 134.
  4. 4,0 4,1 Tierney, John (July 21, 1991), «Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?», The New York Times, https://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260, վերցված է 2008-01-18 
  5. The Monty Hall Problem, Reconsidered. Martin Gardner in the Twenty-First Century
  6. Granberg, Donald (1996). «To Switch or Not to Switch». Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin’s Press. ISBN 0-312-30463-3, (restricted online copy, p. 169, at Google Books).
  7. Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma, " Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711—729.
  8. 8,0 8,1 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl(անգլ.) // Կաղապար:Нп3 : magazine. — 2005a. — С. September issue, 5—7. Online reprint, 2008.
  9. 9,0 9,1 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities. Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7.
  10. Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let’s make a deal: The player’s dilemma, " American Statistician 45: 284—287.
  11. Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). «The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making», University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved June 10, 2010.
  12. Gill, Richard (2010) Monty Hall problem. pp. 858—863, International Encyclopaedia of Statistical Science, Springer, 2010. Eprint [1]
  13. Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it’s a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58-71, February 2011. Eprint [2]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
  • Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.» Журнал The Mathematical Intelligencer, 2011
  • Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
  • Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]