Մոնտի Հոլի պարադոքս

Մոնտի Հոլի պարադոքս, հավանականությունների տեսության հայտնի առաջադրանքներից մեկը, որի լուծումն, առաջին հայացքից, հակասում է առողջ բանականությանը։ Այս առաջադրանքը, բառի նեղ իմաստով, պարադոքս չէ, քանի որ իր մեջ չի պարունակում հակասություն։ Այն կոչվում է պարադոքս այն պատճառով, որ առաջադրանքի լուծումը կարող է թվալ անսպասելի։ Ավելին, շատ մարդկանց համար դժվար է ընդունել ճիշտ որոշում նույնիսկ այն բանից հետո, երբ նրան բացատրվում է ճիշտ լուծումը^[1]։

Առաջադրանքն առաջին անգամ հրապարակվել է^[2]^[3] (պատասխանի հետ միասին) 1975 թվականին «The American Statistician» ամսագրում, Բերկլիի կալիֆորնյան համալսարանի պրոֆեսոր Սթիվ Սելվինի կողմից։ Այն դարձել է առավել հայտնի 1990 թվականին, երբ հրապարակվել է «Parade» ամսագրում^[4]։

Ձևակերպում

Առաջադրանքը ձևակերպվում է որպես խաղի նկարագրություն, որը հիմնված է ամերիկյան «Let’s Make a Deal» հեռուստախաղի վրա և անվանվել է ի պատիվ հեռուստախաղի հաղորդավարի։ Այս առաջադրանքի ամենատարածված տարբերակներից մեկը, որը 1990 թվականին հրապարակվել է «Parade Magazine»մ ամսագրում, ձևակերպվում է հետևյալ կերպ․

Պատկերացրեք, որ խաղի մասնակից եք, որի ժամանակ պետք է ընտրել երեք դռներից մեկը։ Դռներից մեկի հետևում գտնվում է ավտոմեքենա, իսկ մյուս երկուսի հետևում՝ այծեր։ Դուք ընտրում եք դռներից մեկը, օրինակ, 1-ին դուռը, որից հետո հաղորդավարը, որը գիտի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան, իսկ որտեղ են գտնվում այծերը, բացում է մնացած երկու դռներից մեկը, օրինակ, 3-րդ դուռը, որի հետևում գտնվում է այծը։ Դրանից հետո հաղորդավարը հարցնում է ձեզ՝ չե՞ք ցանկանա արդյոք փոխել ձեր ընտրությունը և ընտրել երկրորդ դուռը։ Մեծանո՞ւմ են արդյոք ձեր շանսերը՝ հաղթելու ավտոմեքենա, եթե դուք ընդունեք հաղորդավարի առաջարկը և փոխեք ձեր որոշումը։

Հրապարակումից անմիջապես հետո պարզ դարձավ, որ առաջադրանքը ոչ ճիշտ է ձևակերպված։ Չեն նշվել բոլոր պայմանները։ Օրինակ, հաղորդավարը կարող է կիրառել «դժոխային Մոնտիի» ռազմավարությունը․ առաջարկել փոխել ընտրությունն այն ժամանակ և միայն այն դեպքում, երբ խաղացողն առաջին քայլով ընտրել է ավտոմեքենան։ Միանշանակ է, որ առաջին ընտրության փոփոխությունը կարող է տանել երաշխավորված պարտության իրավիճակի (տես ստորև)։

Հավելյալ պայմաններով ամենահայտնի առաջադրանքը համարվում է հետևյալը^[5]։ Խաղի մասնակցին նախապես հայտնի են հետևյալ պայմանները․

ավտոմեքենան համահավասար կարող է գտնվել երեք դռներից յուրաքանչյուրի հետևում,
հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է գտնվում ավտոմեքենան,
հաղորդավարը ցանկացած պարագայում պետք է բացի այն դռներից մեկը, որտեղ գտնվում է այծը (սակայն, ոչ այն, որն ընտրել է մասնակիցը) և առաջարկի փոխել իր ընտրությունը,
եթե հաղորդավարն ունի ընտրություն, թե որ երկու դռներից մեկը բացի, նա ընտրում է երկուսից ցանկացածը` միևնույն հավանականությամբ։

Ստորև ներկայացված տեքստում Մոնտի Հոլի առաջադրանքը քննարկվում է հենց այս ձևակերպմամբ։

Վերլուծություն

Դուռ 1	Դուռ 2	Դուռ 3	Արդյունքը, եթե մասնակիցը փոխել է ընտրությունը	Արդյունքը, եթե մասնակիցը չի փոխել ընտրությունը
Ավտոմեքենա	Այծ	Այծ	Այծ	Ավտոմեքենա
Այծ	Ավտոմեքենա	Այծ	Ավտոմեքենա	Այծ
Այծ	Այծ	Ավտոմեքենա	Ավտոմեքենա	Այծ

Հաղթելու ռազմավարության համար կարևոր է հետևյալը. եթե դուք, հաղորդավարի գործողություններից հետո, փոխում եք դռան ընտրությունը, ապա դուք հաղթում եք, եթե սկզբնապես ընտրել էիք սխալ դուռը։ Սրա հավանականությունը կազմում է ²⁄₃, քանի որ ի սկզբանե սխալ դուռ ընտրելու հնարավորությունը կազմում է երկու (հնարավոր երեք դռների մեջ)։

Սակայն հաճախ այս առաջադրանքի լուծման ժամանակ խաղացողները մտածում են հետևյալ կերպ. հաղորդավարը միշտ էլ հեռացնում է սխալ դռներից մեկը, և այդ դեպքում ավտոմեքենայի գտնվելը երկու հնարավոր դռներից մեկի հետևում դառնում է հավասար ½, անկախ առաջնային ընտրությունից։ Սակայն այս փաստը ճիշտ չէ։ Չնայած որ ընտրության հնարավորությունը իրոք մնում է երկու դռների միջև, այդ հնարավորությունները (ներառյալ նաև նախապատմությունը), հավասար հավանական չեն։ Դա այդպես է, քանի որ ի սկզբանե բոլոր դռներն ունեցել են հավասար շանսեր` դառնալու հաղթող, սակայն ավելի ուշ ունեցել են տարբեր հավանականություններ` լինելու բացառված։

Մարդկանց մեծամասնության համար այս եզրահանգումը հակասում է իրավիճակի ինտուիտիվ ընկալմանը և ի շնորհիվ տրամաբանական եզրահանգման և պատասխանի միջև առկա անհամապատասխանության, որին հանգում է ինտուիտիվ մտածելակերպը, առաջադրանքը հենց այդպես էլ կոչվում է «Մոնտի Հոլի պարադոքս»։

Դռների հետ կապված իրավիճակը դառնում է էլ ավելի ակնառու, եթե պատկերացնենք, որ դռների թիվը ոչ թե 3 է, այլ ասենք, 1000 և մասնակցի ընտրությունից հետո հաղորդավարը հեռացնում է 998 ավելորդ դռները և թողնում երկու դուռ. այն, որը ընտրել է մասնակիցը և ևս մեկը։ Ավելի ակնհայտ է դառնում այն, որ ավտոմեքենայի երկու դռներից մեկի հետևում գտնվելու հավանականությունը տարբեր է և հավասար չէ ½-ի։ Եթե մենք փոխենք դռները, ապա պարտվում ենք միայն այն դեպքում, երբ ի սկզբանե ընտրել էինք մրցանակային դուռը, որի հավանականությունը կազմում է 1:1000-ի։ Հաղթում ենք մենք նաև այն պարագայում, եթե մեր նախնական ընտրությունը չի եղել ճիշտ, իսկ դրա հավանականությունը կազմում է 999:1000-ի։ Երեք դռների պարագայում տրամաբանությունը պահպանվում է, սակայն հաղթանակի հավանականությունը, ընտրության փոփոխության պարագայում, կազմում է ²⁄₃, այլ ոչ` ⁹⁹⁹⁄₁₀₀₀:

Դիտարկման մեկ այլ տարբերակ է երկտար պայմանների փոփոխությունը։ Պատկերացնենք, որ մասնակցի կողմից նախնական ընտրության (թող այն միշտ լինի N 1 դուռը) և դրան հաջորդող հաղորդավարի կողմից այծով դռներից մեկի բացման փոխարեն (այսինքն, թող այդ ընտրությունը միշտ լինի 2-րդ և 3-րդ դռների միջև), մասնակիցը պետք է առաջին փորձից գուշակի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան։ Սակայն նրան նախապես տեղեկացվում է, որ առաջին դռան հետևում ավտոմեքենան կարող է գտնվել 33 % հարաբերակցությամբ, իսկ մյուս երկու դռների պարագայում նշվում է, որ կոնկրետ այս մի դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան (0 %)։ Համապատասխանաբար, մյուս դռանը բաժին է ընկնում 67 % հավանականություն և նրա ընտրության ռազմավարությունը դառնում է առաջնային։

Հաղորդավարի այլ վարքագիծ

Մոնտի Հոլի պարադոքսի դասական տարբերակը վկայում է, որ հաղորդավարը պետք է պարտադիր առաջարկի մասնակցին փոխել դռներն, անկախ այն հանգամանքից, թե ընտրել է նա ավտոմեքենան, թե` ոչ։ Սակայն հաղորդավարը կարող է ցուցաբերել նաև ավելի բարդ վարքագիծ։ Այս աղյուսակում հակիրճ նկարագրված են վարքագծի հնարավոր տարբերակները։ Եթե չի ասվել հակառակը, մրցանակները հավասար հավանականությամբ գտնվում են դռների հետևում և հաղորդավարը գիտի, թե որ դռան հետևում է ավտոմեքենան։ Իսկ եթե կա ընտրություն, հաղորդավարը հավասար հավանականությամբ ընտրում է այծերից մեկին։

Հաղորդավարի հնարավոր վարքագիծ
Հաղորդավարի վարքագիծ	Արդյունք
«Դժոխային Մոնտի»` հաղորդավարն առաջարկում է փոխել ընտրությունը, եթե ընտրված դուռը ճիշտ է^[4]։	Ընտրության փոփոխության արդյունքում խաղացողը միշտ պարտվում է, քանի որ ընտրում է այծին։
«Հրեշտակային Մոնտի»` հաղորդավարն առաջարկում է փոխել ընտրությունը, եթե ընտրված դուռը ճիշտ չէ^[6]։	Ընտրության փոփոխության արդյունքում խաղացողը հաղթում է ավտոմեքենա։
«Անտեղյակ Մոնտի» կամ «Մոնտի Բուհ` հաղորդավարը պատահականորեն ընկնում է, բացվում է դուռը և պարզվում, որ դռան հետևում ավտոմեքենան չէ։ Այլ խոսքերով, հաղորդավարն ինքն էլ չգիտի, թե ինչեր են դռների հետևում։ Դուռը բացվում է պատահականորեն և միայն, բարեբախտաբար, դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան^[7]^[8]^[9]։	Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` դեպքերի ½ պարագայում։ Հենց այդ սկզբունքով է ստեղծված ամերիկյան «Deal or No Deal» հեռուստաշոուն. ճիշտ է պատահական դուռը բացում է հենց խաղացողը։ Եվ եթե դրա հետևում ավտոմեքենան չէ, ապա հաղորդավարն առաջարկում է փոխել։
Հաղորդավարն ընտրում է այծերից մեկը և բացում այդ դուռը, եթե խաղացողն ընտրել է այլ դուռ։	Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` դեպքերի ½ պարագայում։
Հաղորդավարը միշտ բացում է այծերից մեկի դուռը։ Եթե մասնակիցն ընտրել է ավտոմեքենան, ձախ այծը բացվում է p հավանականությամբ, իսկ աջը` q=1−p հավանականությամբ^[8]^[9]^[10]։	Եթե հաղորդավարը բացել է ձախ դուռը, ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` ${\frac {1}{1+p}}$ հավանականությամբ, իսկ եթե աջը` ${\frac {1}{1+q}}$ հավանականությամբ։ Սակայն փորձարկվողը ոչ մի կերպ չի կարող ազդել այն հավանականության վրա, որ կբացվի աջ դուռը. անկախ իր ընտրությունից, այն տեղի կունենա ${\frac {1+q}{3}}$ հավանականությամբ։
Նույնը` p=q=½ (դասական դեպք)։	Փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` ²⁄₃ հավանականությամբ։
Նույնը` p=1, q=0 («Անուժ Մոնտի»` հոգնած հաղորդավարը կանգնած է ձախ դռան մոտ և բացում է այն այծի դուռը, որն իրեն ամենամոտն է:)։	Եթե հաղորդավարը բացեր իրենից աջ գտնվող դուռը, ապա փոփոխությունը կտար երաշխավորված հաղթանակ։ Իսկ եթե ձախը, ապա հավանականությունը կկազմեր ½:
Հաղորդավարը միշտ բացում է այցեծրից մեկի դուռը, եթե մասնակիցն ընտրել է ավտոմեքենան և ½ հավանականությամբ` հակառակ դեպքում^[11]։	Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` ½ հավանականությամբ։
Ընդհանուր դեպք. խաղը կրկնվում է մի քանի անգամ։ Այս կամ այն դռան հետևում ավտոմեքենայի թաքցման հավանականությունը, ինչպես նաև այս կամ այն դռան բացումը կամայական է, սակայն հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է ավտոմեքենան և միշտ առաջարկում է փոփոխություն` բացելով այծերից մեկին^[12]^[13]։	Նեշի հավասարում. հաղորդավարին ամենաձեռնտուն Մոնտի Հոլի հենց դասական տարբերակն է (հաղթանակի հավանականությունը` ²⁄₃): Մեքենան գտնվում է դռներից յուրաքանչյուրի հետևում` ⅓ հավանականությամբ։ Եթե կա ընտրություն, ապա պատահականորեն բացվում է այծերից որևէ մեկի դուռը։
Նույնը, սակայն հաղորդավարը կարող է չբացել և ոչ մի դուռ։	Նեշի հավասարում. հաղորդավարին ձեռք չի տալիս բացել դռներից մեկը, որի արդյունքում հաղթանակի հավանականությունը մնում է ⅓:

Ծանոթագրություններ

↑ Воронцов, И.Д., Райцин, А.М. ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА(ռուս.) // ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. — 2015. — № 2. — С. 7.
↑ Selvin, Steve A problem in probability (letter to the editor)(անգլ.) // The American Statistician : journal. — Т. 29. — № 1. — С. 67.
↑ Selvin, Steve On the Monty Hall problem (letter to the editor)(անգլ.) // American Statistician : journal. — Т. 29. — № 3. — С. 134.
↑ ^4,0 ^4,1 Tierney, John (July 21, 1991), «Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?», The New York Times, Վերցված է 2008-01-18-ին
↑ The Monty Hall Problem, Reconsidered. Martin Gardner in the Twenty-First Century
↑ Granberg, Donald (1996). «To Switch or Not to Switch». Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin’s Press. ISBN 0-312-30463-3, (restricted online copy, p. 169, at Google Books).
↑ Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma, " Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711—729.
↑ ^8,0 ^8,1 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl(անգլ.) // Math Horizons^[en] : magazine. — 2005a. — С. September issue, 5—7. Online reprint, 2008.
↑ ^9,0 ^9,1 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities. Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7.
↑ Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let’s make a deal: The player’s dilemma, " American Statistician 45: 284—287.
↑ Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). «The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making», University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved June 10, 2010.
↑ Gill, Richard (2010) Monty Hall problem. pp. 858—863, International Encyclopaedia of Statistical Science, Springer, 2010. Eprint [1]
↑ Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it’s a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58-71, February 2011. Eprint [2]

Գրականություն

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.»(չաշխատող հղում) Журнал The Mathematical Intelligencer, 2011
Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Արտաքին հղումներ

Объясняющий видеоролик Արխիվացված 2019-08-24 Wayback Machine на сайте Smart Videos .ru Արխիվացված 2019-08-24 Wayback Machine
Weisstein, Eric W., "Парадокс Монти Холла", MathWorld.
Парадокс Монти Холла Արխիվացված 2010-04-08 Wayback Machine на сайте телешоу Let’s Make a deal Արխիվացված 2007-05-02 Wayback Machine
Ron Clarke Парадокс Монти Холла Արխիվացված 2020-09-19 Wayback Machine
Отрывок из книги С.Лукьяненко, в котором используется парадокс Монти Холла
Ещё одно решение по Байесу Արխիվացված 2016-03-04 Wayback Machine Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета
Реализация симулятора парадокса Монти Холла на разных языках (на сайте Rosetta Code)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Մոնտի Հոլի պարադոքս» հոդվածին։

[1] Воронцов, И.Д., Райцин, А.М. ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА(ռուս.) // ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. — 2015. — № 2. — С. 7.

[2] Selvin, Steve A problem in probability (letter to the editor)(անգլ.) // The American Statistician : journal. — Т. 29. — № 1. — С. 67.

[3] Selvin, Steve On the Monty Hall problem (letter to the editor)(անգլ.) // American Statistician : journal. — Т. 29. — № 3. — С. 134.

[nytimes91-4] 4,0 ^4,1 Tierney, John (July 21, 1991), «Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?», The New York Times, Վերցված է 2008-01-18-ին

[5] The Monty Hall Problem, Reconsidered. Martin Gardner in the Twenty-First Century

[6] Granberg, Donald (1996). «To Switch or Not to Switch». Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin’s Press. ISBN 0-312-30463-3, (restricted online copy, p. 169, at Google Books).

[7] Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma, " Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711—729.

[roz1-8] 8,0 ^8,1 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl(անգլ.) // Math Horizons^[en] : magazine. — 2005a. — С. September issue, 5—7. Online reprint, 2008.

[roz2-9] 9,0 ^9,1 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities. Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7.

[10] Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let’s make a deal: The player’s dilemma, " American Statistician 45: 284—287.

[11] Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). «The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making», University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved June 10, 2010.

[12] Gill, Richard (2010) Monty Hall problem. pp. 858—863, International Encyclopaedia of Statistical Science, Springer, 2010. Eprint [1]

[13] Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it’s a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58-71, February 2011. Eprint [2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]