Ռիշարի պարադոքս

Ռիշարի պարադոքս, տրամաբանության մեջ բնական լեզուների ու բազմությունների տեսության սեմանտիկ անտինոմիա։ Պարադոքսն առաջին անգամ նկարագրել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժյուլ Ռիշարը 1905 թվականին։ Սովորաբար պարադոքսն օգտագործում են մաթեմատիկան ու մետամաթեմատիկան խնամքով իրարից տարբերակելու կարևորությունն ընդգծելու համար։

Իր «Պրինիցիպիա Մաթեմատիկայի և կից համակարգերում պաշտոնապես անորոշելի դատողությունների մասին I» աշխատության ներածության մեջ Կուրտ Գյոդելը մեջ է բերում Ռիշարի անտինոմիան որպես իր սինտակտիկ ոչ-լրիվության արդյունքի սեմանտիկ անալոգ։ Պարադոքսը նաև պատճառ է հանդիսացել կանխատեսական մաթեմատիկայի զարգացման համար։

Նկարագրություն

Պարադոքսի առաջին սահմանումը՝ տրված 1905 թվականին, սերտորեն կապված է իրական թվերի բազմության անհաշվելի լինելու վերաբերյալ Կանտորի անկյունագծային փաստարկին։

Պարադոքսը սկսում է այն դիտարկմամբ, որ բնական լեզվի որոշ արտահայտություններ իրական թվերը սահմանում են առանց երկակիության, մինչդեռ այլ արտահայտություններ՝ ոչ։ Օրինակ․ «այն իրական թիվը, որի ամբողջ մասը 17 է, իսկ տասնորդական մասի յուրաքանչյուր $n$-րդ նիշ $0$ է, եթե $n$-ը զույգ է և $1$, եթե $n$-ը կենտ է» արտահայտությունը սահմանում է $17.1010101...={\dfrac {1693}{99}}$ իրական թիվը, մինչդեռ «Անգլիայի մայրաքաղաք» կամ «նվազագույն դրական ամբողջ թիվ, որը չի կարելի սահմանել առավելագույնը հարյուր տառ օգտագործելով» արտահայտությունները իրական թիվ չեն սահմանում (տե՛ս Բերիի պարադոքսը)։ Հետևաբար գոյություն ունի իրական թվերն առանց երկակիության սահմանող անգլերեն արտահայտությունների անսահման ցանկ (այնպիսի ցանկ, որն ինքնին անսահման է, բայց յուրաքանչյուր անդամ-արտահայտություն վերջավոր երկարություն ունի)։

Նախ դասավորենք արտահայտություններն ըստ իրենց երկարության, հետո՝ այբբենական կարգով։ Այսպիսով, նրանց կարգը նորմալ է և կանխատեսելի․ տրված չափանիշներին հետևելով ցանկացած մարդ նույն հաջորդականությունը կստանա։ Այս ցուցակից կարող ենք ստանալ համապատասխանող իրական թվերի անսահման ցուցակ․ $r_{1},r_{2}\dots$։ Այժմ տա՛նք նոր իրական թվի՝ $r$-ի սահմանումը․ «$r$-ի ամբողջ մասը $0$ է, $n$-րդ տասնորդական նիշը $1$ է, եթե $r_{n}$-ի $n$-րդ տասնորդական նիշը $1$ չէ, և $2$ է, եթե $r_{n}$-ի $n$-րդ տասնորդական նիշը $1$ է»։

Նախորդ պարբերության վերջին նախադասությունն առանց երկակիության իրական թիվ սահմանող անգլերեն արտահայտություն է։ Հետևաբար, $r$-ը պետք է ցուցակում լինի՝ $r_{n}$-երից մեկը։ Բայց $r$-ն այնպես է կառուցված, որ չի կարող որևէ $r_{n}$-ին հավասար լինել։ Սա պարադոքսիկ հակասություն է։

Տարատեսակներ

Ռիշարյան թվեր

Պարադոքսի տարատեսակներից մեկը, օրիգինալի ինքնահղման հատկությունը պահպանելով, իրական թվերի փոխարեն ամբողջ թվեր է օգտագործում։

Ամբողջ թվերի թվաբանական հատկությունների սահմանում ունեցող լեզու դիտարկենք (օրինակ՝ անգլերենը)։ Օրինակ, «առաջին բնական թիվ» արտահայտությունը սահմանում է առաջին բնական թիվ լինելու հատկությունը (այս հատկությունն ունի $1$-ը), իսկ «միայն երկու բաժանարար ունեցող թիվ» արտահայտությունը սահմանում է պարզ թիվ լինելու հատկությունը։ Ակնհայտ է, որ որոշ հատկություններ բացահայտորեն՝ առանց արդեն սահմանված ընդհանուր հիմքի, չեն կարող սահմանվել, քանի որ ցանկացած դեդուկտիվ համակարգ պետք է սկսի ինչ-որ աքսիոմներից։ Այս փաստարկի համար, սակայն, ենթադրում ենք, որ «ամբողջ թիվը երկու ամբողջ թվերի գումարն է» և նման հիմունքային արտահայտությունններ արդեն հասկանալի են։

Չնայած նման սահմանումների բազմությունն անսահման է, պարզ է, որ յուրաքանչյուր մեկ սահմանում վերջավոր քանակությամբ բառերից է կազմված, և այդպիսով նաև վերջավոր քանակությամբ նշաններից՝ տառերից։ Քանի որ սա ճշմարիտ է, մենք կարող ենք դասավորել արտահայտությունները նախ ըստ երկարության, ապա՝ այբբենական կարգով։ Սա բազմության մեջ միանշանակորեն սահմանված, կանխատեսելի կարգ է տալիս։ Այժմ մենք կարող ենք սահմանումների $S$ բազմությունից բնական թվերի բազմություն $f:S\rightarrow \mathbb {N}$ ֆունկցիա սահմանել․ ամենաքիչ տառերի քանակությամբ և ամենափոքր այբբենական կարգով սահմանումը կհամապատասխանի $1$-ին, հաջորդ սահմանումը՝ $2$-ին, և այդպես շարունակ։ Նկատենք․ քանի որ յուրաքանչյուր սահմանում կապված է մեկ եզակի ամբողջ թվի հետ, հնարավոր է, որ սահմանման նկարագրությանը համապատասխանող ամբողջ թիվը երբեմն նաև կհամընկնի $f$-ի արդյունքում սահմանմանը բաժին ընկած բնական թվին։

Օրինակ, եթե «ինքն իրենից և մեկից բացի ուրիշ բաժանարար չունեցող» սահմանումը 43-րդն է, պնդումը ճիշտ կլինի $43$-ի համար, քանի որ $43$-ը պարզ թիվ է։ Սակայն, եթե «միայն երեքի վրա բաժանելի» հատկության սահմանումը հատկությունների բազմությունների մեջ 58-րդն է, ապա $58$-ը չի ունենանա այս համընկման հատկությունը։ Այստեղ կարող ենք սահմանել Ռիշարյան հատկություն ունեցող թիվը։

$n$-ը Ռիշարյան թիվ է, եթե $n$-ը չունի $n$-րդ արտահայտությամբ նկարագրվող հատկությունը։ Ավելի պաշտոնապես․ «$n$-ը Ռիշարյան է» համարժեք է ասելուն, որ «$n$-ը չունի այն արտահայտությամբ նկարագրված հատկությունը, որը սահմանումների կարգված բազմության մեջ $n$-րդն է»։ Վերին օրինակում $58$-ը Ռիշարյան է, իսկ $43$-ը՝ ոչ։

Այժմ, քանի որ Ռիշարյան լինելու հատկությունն ինքին ամբողջ թվի թվաբանական հատկություն է, այն պատկանում է բոլոր թվաբանական հատկությունների սահմանումների ցանկին և կարգված բազմությանը։ Այսպիսով, Ռիշարյան լինելու հատկությունը $f$ ֆունկցիայով ինչ-որ թիվ կտա։ Այլ կերպ ասած․ Ռիշարյան հատկությունը կարգված ցուցակում ինչ-որ $x$ համար ունի։ Հարց է առաջանում․ արդյո՞ք $x$-ը Ռիշարյան է։

Ենթադրենք $x$-ը Ռիշարյան է։ Սա հնարավոր է միայն եթե $x$-ը չունի $x$-րդ թվաբանական հատկությունը՝ Ռիշարյան լինելու հատկությունը։ Սա հակասում է մեր ենթադրությանը, ուրեմն $x$-ը Ռիշարյան լինել չի կարող։ Սակայն, եթե ենթադրենք, որ $x$-ը Ռիշարյան չէ, ապա (ըստ Ռիշարյան հատկության սահմանման) այն պետք է ունենա $x$-րդ՝ Ռիշարյան լինելու հատկությունը։ Սա նույնպես հակասում է ենթադրությանը։ Այսպիսով, «$x$-ը Ռիշարյան թիվ է» պնդումը չի կարող ճշմարիտ կամ սխալ լինել, ինչը պարադոքս է։

Լուծում

Ռիշարի պարադոքսի արդյունքն անկայուն հակասության է հանգեցնում։ Հետազոտե՛նք այն սխալ գտնելու համար։

Նոր $r$ իրական թվի առաջարկվող սահմանումը ակնհայտորեն նշանների՝ տառերի վերջավոր հաջորդականություն է ենթադրում, և այդպիսով առաջին հայացքից թվում է, որ այդ հաջորդականությունն իրական թվի սահմանում է։ Սակայն այս պնդումը հենվում է հենց անգլերենում սահմանելիության հատկության վրա։ Եթե հնարավոր լիներ պարզել, թե ո՛ր անգլերեն արտահայտություններն են իրական թիվ սահմանում, և որոնք՝ ոչ, պարադոքսը կստացվեր։ Այսպիսով Ռիշարի պարադոքսի լուծումն այն է, որ հնարավոր չէ միանշանակորեն որոշել թե ո՛ր անգլերեն արտահայտություններն են իրական թվի սահմանումներ։ Ասել է թե․ հնարավոր չէ վերջավոր քանակությամբ բառեր օգտագործելով նկարագրել, թե, տրված կամայական անգլերեն արտահայտության համար, ինչպես որոշել այն իրական թվի սահմանում է, թե՞՝ ոչ։ Սա զարմանալի չէ. նման նկարագրության առկայությունը նաև կնշանակեր, որ մենք կարող ենք, օրինակ, լուծել կանգառի խնդիրը, կամ կատարել բոլոր այն ոչ-ալգորիթմիկ հաշվարկները, որոնք կարող ենք անգլերեն նկարագրել։

Նման երևույթ հանդիպում է նաև այնպիսի պաշտոնականացված տեսություններում, որոնք կարող են իրենց սեփական սինտաքսին հղումներ անել, ինչպիսին է, օրինակ, Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների տեսությունը։ Ենթադրենք, որ $\phi (x)$ բանաձևն իրական թիվ է սահմանում․ այնպես, որ գոյություն ունի միայն մեկ իրական թիվ $r$, որի համար $\phi (r)$-ը ճշմարիտ է։ Այդ դեպքում, ըստ Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների տեսության, հնարավոր չէ սահմանել բոլոր իրական թվեր սահմանող բանաձևերի (Գյոդելյան թվերի) բազմությունը։ Քանի որ, եթե նման բազմության սահմանումը հնարավոր լիներ, հնարավոր կլիներ նաև անկյունագծային փաստարկն օգտագործելով իրական թվի նոր սահմանում կառուցել՝ վերևում տրված Ռիշարի պարադոքսի ուրվագծին հետևելով։ Նկատենք, որ իրական թվերը սահմանող բանաձևերի բազմությունը կարող է գոյություն ունենալ, որպես ինչ-որ բազմություն $F$։ Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների տեսության սահմանափակումն այն է, որ $F$-ը սահմանող այնպիսի բանաձև գոյություն չունի, որ ուրիշ բազմություններին հղում չկատարի (տես Տարսկիի անսահմանելիության թեորեմը)։

Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների տեսության օրինակն ընդգծում է պաշտոնականացված համակարգի մետամաթետիկայի պաշտոնականացված համակարգի պնդումներից տարբերակելու կարևորությունը։ Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների տեսության $\phi$ բանաձևի $D(\phi )$ հատկությունն ինքնին Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների տեսությամբ արտահայտելի չէ, բայց պետք է համարվի Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների տեսությունը պաշտոնականցնող մետատեսության մաս։ Այստեղ $D(\phi )$-ը վերաբերվում է եզակի իրական թիվ սահմանելու հատկությանը։ Այս տեսանկյունից Ռիշարի պարադոքսն առաջանում է հետևյալ սխալից․ մետատեսության կառույցին (օրիգինալ համակարգում իրական թվեր սահմանող բոլոր արտահայտությունների թվարկմանը) վերաբերվում են այնպես, ասես այն կիրառելի է նախնական համակարգում։

Լուծում կանխատեսականության ենթատեքստում

Ռիշարի պարադոքսին առնչվող մեկ այլ տեսակետ կանխատեսական մաթեմատիկայի հետ է առնչվում։ Այս տեսակետով իրական թվերը փուլերով են սահմանվում․ այնպես, որ յուրաքանչյուր փուլ հղում է կաատարում միայն նախորդ փուլերին և այլ արդեն սահմանված հասկացություններին։ Նոր իրական թվի գեներացման գործընթացում կանխատեսականության տեսանկյունից բոլոր իրական թվերի քանակացումը վավեր չէ, քանի որ այդպես կարող ենք սահմանումների մեջ շրջանաձևության խնդրի հանգել։ Զերմելո-Ֆրենկելյանի նման բազմությունների տեսությունները այսպիսի կանխատեսական կմախքի վրա չեն հենվում, և թույլ են տալիս ոչ-կանխատեսական սահմանումներ ունենալ և կիրառել։

1905 թվականին Ռիշարը իր պարադոքսին լուծում է առաջարկել՝ կանխատեսականության տեսանկյունից։ Ռիշարը պնդում է, որ $r$ իրական թվի կառուցման արտահայտությունը ոչ թե մեկ իրական թիվ է միանշանակորեն սահմանում, այլ՝ իրական թվերի անսահման բազմություն, որի անդամներից մեկը $r$-ն է, և որ սա պարադոքսալ կառույցի թերությունն է։ Այսպիսով․ Ռիշարը ասում է, որ իրական թիվ $r$-ը չի կարող լինել տրված $r_{n}$-երից մեկը, քանի որ այն չի համապատասխանում $r_{n}$-երի կառուցման սահմանումների հաջորդականության մեջ ընդգրկվելու չափանիշին։ Ժամանակակից մաթեմատիկոսները համաձայն են, որ $r$-ի սահմանումն անվավեր է, բայց այլ պատճառներով․ մասնավորապես, ժամանակակից մաթեմատիկոսները կարծում են, որ $r_{n}$ հաջորդականության միանշանակ կառուցելու ձև չկա, քանի որ անգլերեն արտահայտությամբ իրական թիվ սահմանելու լավ-սահմանված հասկացություն գոյություն չունի։

Ժառանգություն

Չնայած պարադոքսի Ռիշարի տված լուծումը մաթեմատիկոսների համակրանքին չի արժանացել, կանխատեսականությունը մաթեմատիկայի հիմունքների ուսումնասիրման կարևոր մաս է։ Կանխատեսականության առաջին սահմանումն ու մանրամասն ուսումնասիրությունն արել է Հերման Վեյլն իր «Das Kontinuum» գրքում, որտեղ ցույց է տվել, որ տարրական իրական անալիզի զգալի մաս կարելի է անել կանխատեսականության եղանակով՝ սկսելով բնական թվերից։ Ավելի վերջերս կանխատեսականությունն ուսումնասիրել է Սողոմոն Ֆեֆերմանը, ով օգտագործել է ապացույցների տեսությունը կանխատեսական և ոչ-կանխատեսական համակարգերի հարաբերություններն հետազոտելու համար։

Տես նաև

• Բերիի պարադոքս
• Տարսկիի անսահմանելիության թեորեմ
• Ռասելի պարադոքս

Արտաքին հղումներ

• Ֆրենքլ, Աբրահամ; Բար-Հիլել, Յեհոշուա & Լիվայ, Ազրիել (1973). Բազմությունների տեսության հիմունքներ. Դիրք վան Դալենի հետ համագործակցությամբ (Երկրորդ ed.). Ամստերդամ: Noord-Hollandsche. ISBN 0-7204-2270-1.

• «Ժամանակակից տրամաբանությունն ու պարադոքսներ», Ստանֆորդի Փիլիսոփայության Հանրագիտարան