Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքս

Խաղացողը վճարում է որոշակի գումար, և ապա նետում մետաղադրամ

Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքս (կամ Սանկտ Պետերբուրգյան վիճակախաղ), պարադոքս տնտեսագիտության մեջ, որը ցույց է տալիս խաղացողի տեսականորեն օպտիմալ վարքագծի և «առողջ բանականության» միջև եղած տարբերությունը։

Պարադոքսի ձևակերպում

Դիտարկվում է հետևյալ խնդիրը։ Մտնելով խաղի մեջ՝ խաղացողը վճարում է որոշակի գումար, և ապա նետում մետաղադրամ (հավանականությունը յուրաքանչյուր արդյունքի 50 % է) այնքան, մինչև արծիվ ընկնի։ Երբ արծիվ է ընկնում, խաղն ավարտվում է, իսկ խաղացողը ստանում է շահույթ, որը նախատեսված է հետևյալ կանոնների համաձայն։ Եթե արծիվը ընկում է առաջին նետումից, ապա խաղացողը ստանում $2^{0}$ դուկատ (հին արծաթե կամ ոսկե դրամ Եվրոպայում), երկրորդ նետումով՝ $2^{1}$ դուկատ և այլն ($n$ նետումով՝ $2^{n-1}$ դուկատ)։

Այլ կերպ ասած՝ շահույթները, որոնք աճում են նետումից նետում, հետևողականորեն անցնում են կրկնակի աստիճանի՝ 1, 2, 4, 8, 16, 32 և այլն։

Հարց. Ինչպիսի՞ ներածական վճարման դեպքում է խաղը դառնում արդար։

Դժվար չէ գտնել շահող խաղացողի մաթեմատիկական սպասումը, որը հավասար է անվերջության․

$M={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1}{16}}\cdot 8+\cdots =$

$={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =$

$=\infty \,.$

Պարադոքսն այն է, որ, չնայած այս արդար ներդրման հաշվարկված արժեքը հավասար է անսահմանության, այսինքն՝ ավելի բարձր է, քան ցանկացած հնարավոր շահույթ, իրական խաղացողները կարծում են, որ նույնիսկ 25 դուկատը չափազանց բարձր գին է խաղի մեջ մտնելու համար։

Պարադոքսի լուծումներ

Լուծում իրական աշխարհի սահմանափակումների միջոցով

Փորձենք պարադոքսի լուծումների համար գնահատականներ տալ՝ սահմանափակելով խաղերի քանակն ու ժամանակը։

Հավանականությունը, որ որոշակի խաղում նետումների քանակը կգերազանցի մի ինչ-որ $n$, հավասար է $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$։ Պետք է խաղացողը խաղա ոչ ավելին, քան $k$ խաղեր։ Այդ դեպքում հավանականությունը, որ նետումների քանակը գոնե մեկ խաղում կգերազանցի $n$-ը, հավասար է $1-\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)^{k}$։ Մեծ $n$ համար այն մոտավոր հավասար է ${\frac {k}{2^{n}}}$։

Ենթադրենք, որ եթե իրադարձությունը հավանականություն ունի փոքր լինել մի ինչ-որ $p$-ից, երբեք տեղի չի ունենա։ Այդ դեպքում նետումների «իրական» թիվը չի գերազանցի $\log _{2}(k/p)$-ը։ Նման ենթադրության դեպքում միջին շահույթը մեկ խաղի համար մոտավոր հավասար է․

$1\cdot {\frac {1}{2}}+2\cdot {\frac {1}{4}}+...+2^{n}\cdot {\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {n}{2}},$ որտեղ $n=\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

Այսինքն, միջին շահույթը հավասար է ${\frac {1}{2}}\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

Օրինակ, 1000 խաղի և p = 10⁻⁶-ի համար միջին շահույթը մոտ 15 ենք ստանում։

Լուծում օգտակար գործառույթի միջոցով

Լուծման մեկ այլ տարբերակ է փողի օգտակարության ֆունկցիայի միջոցովը։ Դիտարկելով սահմանային օգտակարության տեսության գործառույթը (հաճախ՝ լոգարիթմական)՝ մենք կրկին ապահովում ենք դրա մաթեմատիկական սպասումների ամբողջականությունը։

Այնպես որ, եթե ենթադրենք, որ խաղացողի համար կարևոր է ավելացնել ոչ թե որոշակի գումար, այլ մի ինչ-որ քանակ, ապա դա կգնահատի շահույթը ըստ լոգարիթմական ֆունկցիայի օգտակարության, առավելագույն արժեքը՝ $\ln {\frac {X}{X_{0}}}$, որտեղ $X$՝ շահույթ, $X_{0}$՝ մուտքի վճարը, իսկ Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսի դասական հայտարարության մեջ պարադոքսի ծառայությունների մաթեմատիկական սպասումը կդառնա վերջնական․

$M\ln {\frac {X}{X_{0}}}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\ln {\frac {2^{i-1}}{X_{0}}}\right)2^{-i}=2\ln 2-\ln X_{0}=\ln 4-\ln X_{0}.$

Այստեղից հեշտ է ստանալ խաղի իրական արժեքը՝ $X_{0}=4$։

Այս լուծումը կարելի է կատարելագործել՝ հաշվի առնելով շահույթի օգտակարությունը՝ խաղացողի արդեն իսկ առկա կապիտալի ավելացումը $w$-ի (1000 դուկատ աճը մեծացնում է մուրացկանի օգտակարության գործառույթը ավելի մեծ չափով, քան միլիարդատիրոջ օգտակարության գործառույթը), սակայն պատասխանը միայն մի փոքր է փոխվում։ Ավելին, հնարավոր է փոխել վճարային համակարգն այնպես, որ այս որոշումն անընդունելի լինի․ յուրաքանչյուր «անսահմանափակ» օգտակար գործառույթի համար գոյություն ունի արծվի կորստի համար վճարների հերթականության $n$-м քայլեր, որ սպասվող օգտակար ծրագիրը կրկին հավասար կլինի անսահմանությանը։

Կշռադատված հավանականություններ

Նիկոլայ Բերնուլին պարադոքսի լուծման համար մեկ այլ գաղափար է առաջարկել։ Նա ուշադրություն հրավիրեց այն բանին, որ մարդիկ անտեսում են անհավանական իրադարձությունները (Դե Մոնմոր, 1713)։ Քանի որ Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսում միայն քիչ հավանական իրադարձություններն են բերում բարձր շահույթներ, որոնք հանգեցնում են մաթեմատիկական շահույթի անսահման արժեքի, ապա դա կարող է օգնել լուծել պարադոքսը։

Կշռված հավանականությունների գաղափարը վերստին հայտնվել է շատ ավելի ուշ՝ Դենիել Կահնեմանի և Ամոս Տվերսկու հեռանկարների տեսության վրա աշխատելու ընթացքում։ Սակայն նրանց փորձարկումները ցույց են տվել, որ մարդիկ, ընդհակառակը, հակված են չափազանցնելու առանձին քիչ հավանական իրադարձությունների ծանրությունը։ Հնարավոր է, որ հենց այդ պատճառով Նիկոլայ Բերնուլիի առաջարկած որոշումը ոմանց կողմից չի դիտվում որպես լիովին բավարար։

Հեռանկարային ընդհանուր (կուտակային) տեսությունը ակնկալվող օգտակարության տեսության տարածված ընդհանրացումներից մեկն է, որը կարող է բազմաթիվ վարքագծային օրինաչափությունների բացատրություններ առաջարկել (Թվերսկի, Կանեման, 1992)։ Այնուամենայնիվ, անհավանական իրադարձությունների ծանրության չափազանցությունը, որը ներկայացվել է հեռանկարների համախմբված տեսության մեջ, կարող է վերականգնել սանկտ-պետերբուրգյան պարադոքսը։ Հեռանկարների համախմբված տեսությունը պարադոքսը լուծում է միայն այն դեպքերի համար, երբ օգտակարության ֆունկցիայի ցուցանիշը պակաս է կշռադատված հավանականության ֆունկցիայի ցուցանիշից (Բլավացկին, 2005)։ Ինտուիտիվորեն, պարադոքսը լուծելու համար օգտակարության գործառույթը չպետք է լինի պարզապես գոգավոր, բայց այն պետք է լինի հակիրճ՝ կապված կշռված հավանականության գործառույթի հետ։

Դրա համար կարելի է հակադարձել, որ հեռանկարների տեսության մեջ օգտակարության ֆունկցիայի ցուցանիշը ստացվել է ոչ ավելի, քան 400 ԱՄՆ դոլարի տվյալների հիման վրա (Թվերսկի, Կանեման, 1992)։ Միևնույն ժամանակ, Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսը առաջանում է, երբ չափերը գնահատվում են մինչև անսահմանություն։ Այսինքն, Կանեման-Թվերսկիի բանաձևերի օգտագործումը այս դեպքում ճիշտ չէ։

Մաթեմատիկական սպասումը՝ որպես հաշվարկման մեթոդ օգտագործելու մերժում

Տարբեր հեղինակներ, այդ թվում՝ Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերը և Ջոն Մեյնարդ Քեյնսը, հերքել են ոչ միայն մաթեմատիկական սպասման առավելագույնին հասցնելու մոտեցումը` որպես համապատասխան հաշվարկման մեթոդ, այլև նման դեպքերի համար մաթեմատիկական սպասման։ Մասնավորապես, Քեյնսը պնդել է, որ այլընտրանքային իրադարձության «հարաբերական ռիսկը» կարող է բավական բարձր լինել, որպեսզի հրաժարվի այս այլընտրանքային իրադարձության բոլոր տարբերակներից, նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրական իրադարձության սպասումը գերմեծն է։

Այլ կերպ ասած՝ եթե խաղատունն առաջարկում է խաղալ այս խաղը 25 դուկատով, խաղացողների ճնշող մեծամասնությունը կհրաժարվի՝ համարելով, որ ավելի հավանական է, որ հաղթելու է խաղի գումարների ավելի քիչ մասը, քան 25 դուկատը։

Պատասխան՝ օգտագործելով թեստեր

Թեստերի կիրառմամբ մաթեմատիկորեն ճիշտ մոտեցում է առաջարկվել 1937 թվականին Ուիլյամ Ֆելերի կողմից։ Խիստ նկարագրությունից խուսափելու պարագայում ինտուիտիվ բացատրությունը հետևյալն է։ Մեթոդն օգտագործում է տեխնիկան՝ «խաղալ այս խաղը բազմաթիվ մարդկանցով, և ապա հաշվարկել մաթեմատիկական սպասումը հաղթելու փորձությունները»։ Այս մեթոդիկայի համաձայն՝ եթե շահույթների գումարային սպասումների հաջորդականությունը տարբերվում է, ապա պահանջվում է անվերջ ժամանակի ենթադրություն խաղի համար, իսկ եթե խաղերի քանակը մեկ անձի կողմից սահմանափակված է որոշակի թվով, ապա մաթեմատիկական սպասումը շատ ավելի փոքր է, քան այս թիվն ու արժեքը։

Ծագման պատմություն

Պարադոքսն առաջին անգամ հրապարակվել է Դանիել Բեռնուլիի կողմից «Սանկտ Պետերբուրգի ակադեմիայի մեկնաբանություններում»։ Ավելի վաղ իրավիճակը նկարագրվել էր Դանիելի եղբորորդու՝ Նիկոլայ I Բերնուլիի կողմից, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Պիեռ Մոնմորի հետ նրա նամակագրության մեջ։

Երբեմն պարադոքսի հեղինակությունը վերագրվում է Լեոնարդ Էյլերին, իսկ անվանումը կապում են այն հանգամանքի հետ, որ Էյլերը երկար ժամանակ ապրել և աշխատել է Պետերբուրգում։

Տես նաև

• Պասկալի գրազը
• Սթիվ Ջոբս
• Տնտեսագիտություն
• ՀՊՏՀ

Գրականություն

• Кудрявцев А. А. Սանկտ Պետերբուրգի պարադոքսը և դրա նշանակությունը տնտեսական տեսության համար // Вестн. С.-Петерб. ун-та.. — 2013. — В. 3. — С. 41—55.