Բելլի պարադոքս

Բելլի պարադոքս, հարաբերականության հատուկ տեսության ռելյատիվիստիկ պարադոքսներից մեկը՝ կապված տարածաժամանակային հարաբերականության տեսության մեջ «բացարձակ պինդ մարմին» հասկացության որոշման անհնարինության հետ։ Բելլի պարադոքսը ծագում է մտավոր փորձի քննարկման ժամանակ, որը պարունակում է իր մեջ նույն ուղղությամբ արագացված երկու տիեզերանավեր և մինչև վերջ ձգված լար, որը միացնում է նրանց (մի տիեզերանավը խիստ որոշակիորեն շարժվում է մյուսի առջևից, այսինքն՝ արագացումն ուղղված է լարի երկայնքով)։ Եթե տիեզերանավերը սկսեն համաչափ կերպով արագացվել, ապա նավերին ուղեկցող հաշվարկի համակարգում նրանց միջև հեռավորությունը կսկսի աճել, և լարը կկտրվի։ Մյուս կողմից, այն հաշվանքի համակարգում, որտեղ տիեզերանավերը սկզբում դադարի վիճակում էին, նրանց միջև հեռավորությունը չի փոխվի, հետևաբար լարը չի կտրվի։ Որ՞ տեսակետն է ճիշտ։ Համաձայն հարաբերականության տեսության՝ ճիշտ է առաջին տեսակետը, ըստ որի՝ լարը կտրվում է։ Պարադոքսն առաջին անգամ հիշատակվում է Էդմոնդ Դևանի և Մ. Բերանի աշխատության մեջ 1959 թվականին, որոնք մտավոր փորձի արդյունքները քննարկում էին որպես մարմնի ռելյատիվիստիկ կրճատման իրականության հաստատում։ Համաչափ արագացվող տիեզերանավերն իրար կապող լարի խզման էֆեկտի մանրամասն բացատրությունը տրվել է խորհրդային ֆիզիկոս Դ.Վ. Սկոբելցենի կողմից նրա «Երկվորյակների պարադոքսը հարաբերականության տեսության մեջ» գրքում, որը գրվել է 1959 թվականին։

Բելլի մտավոր էքսպերիմենտը

Բելլի տեսակետում երկու տիեզերանավերը, որոնք որոշակի իներցիալ հաշվարկի համակարգի (ԻՀՀ) նկատմամբ սկզբում դադարի վիճակում էին, կապված են իրար մինչև վերջ ձգված լարով։ ԻՀՀ-ի ժամացույցին համապատասխանող Ժամանակի զրոյական պահին երկու տիեզերանավերն էլ սկսում են արագացվել $g$ հաստատուն սեփական արագացումով, որը չափվում է նավակողին տեղադրված արագացուցիչներով։ Հարցը այն է, թե կկտրվի արդյոք լարը, այսինքն՝ կմեծանա արդյոք նրանց միջև հեռավորությունը։ Դևանի և Բերանի, ինչպես նաև Բելլի կարծիքների համեմատությամբ, դադարի հաշվարկման համակարգում նրանց հեռավորությունները կմնան անփոփոխ, սակայն լարի երկարությունը կկրի ռեյլատիվիստական կրճատում, այնպես որ ժամանակի ինչ-որ պահի լարը կկտրվի։ Պրոբլեմի այսպիսի լուծման համար առաջադրվեցին հակադրություններ, որոնք հետագայում, իրենց հերթին, ենթարկվեցին քննադատության։ Օրինակ, Փոլ Նորոկին (անգլ.՝ Paul Nawrocki) ենթադրեց, որ լարը չի կտրվի, իսկ Էդմոնդ Դևանը այդ նույն ժամանակ (անգլ.՝ Edmond Dewan) իր պատասխան աշխատանքում պաշտպանում էր նախկին տեսակետը։ Բելլը գրում է, որ հանդիպել է մի հայտնի փորձարարի զսպված թերահավատության՝ ի պատասխան պարադոքսի իր շարադրանքի։ Որպեսզի վեճը լուծվի, անցկացվել է ՑԵՌՆի տեսական բաժնի ոչ պաշտոնական ժողով։ Բելլը հաստատում էր, որ ամբողջ բաժնի կարծիքով թելը չպիտի կտրվի։ Հետո ավելացնում է․ «Իհարկե շատերը, սկզբից ունենալով սխալ պատասխան, հասան իրական գաղափարին հետագա դատողությունների շնորհիվ»։ Ավելի ուշ՝ 2004 թվականին, Մացուդան և Կինոստան գրեցին, որ ճապոնական ամսագրում իրենց կողմից հրատարակված նյութը, որը պարունակում էր պարադոքսի ավելի ընդլայնված տարբերակը, ենթարկվել է սուր քննադատության։ Հեղինակները այդ քննաատությունների մասին ոչինչ չեն ասում և միայն նշում են, որ դրանք գրված էին ճապոներեն։

Վերլուծություն

Հետագա վերլուծության ժամանակ տիեզերանավերը կհամարենք որպես նյութական կետեր և կդիտարկենք միայն լարի երկարությունը։ Վերլուծվում է այն դեպքը, երբ տիեզերանավերը որոշակի $T$ ժամանակամիջոց հետո անջատում են շարժիչները։ Բոլոր իներցիալ հաշվարկման համակարգերում կկիրառվեն գալիլեյան կոորդինատները։

Տիեզերանավերի մեջտեղի լարի խզումը նրանց արագացված շարժումից հետո

Դևանի ու Բերանի, ինչպես նաև Բելլի շարադրման համապատասխան՝ մեկնարկային հրապարակների հետ կապված հաշվանքի համակարգում, որը կանվանենք $S$ ՀՀ, որոնց նկատմամբ մինչ շարժիչների աշխատանքը հրթիռները գտնվում էին դադարի վիճակում, հրթիռների միջև $A$ և $B$ $L$ հեռավորությունը, «որոշման համաձայն», պետք է մնա հաստատուն։ Դա կարելի է պարզաբանել հետևյալ կերպ։ Իրենց սկզբնական դիրքերից հրթիռների տեղաշարժը ՀՀ $S$-ում $X$ առանցքի երկայնքով որպես ժամանակից կախված ֆունկցիա կգրվի հետևյալ կերպ՝ $f(t)$: Այս ֆունկցիան կախված է հրթիռի քարշի ուժից, բայց կարևոր է, որ այն նույնն է երկուսի համար էլ։ Այդ պատճառով յուրաքանչյուր հրթիռի դիրքը՝ որպես ժամանակից կախված ֆունկցիա, կունենա այս տեսքը՝ $x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),$ որտեղ

$f(t)$ $t<0$-ի դեպքում հավասար է 0 և անընդհատ է $t$ բոլոր արժեքների դեպքում;

$x_{A}$-ն $A$ հրթիռի ($x$-կոորդինատի) դիրքն է ;

$x_{B}$-ն $B$ հրթիռի ($x$-կոորդինատի) դիրքն է ;

$a_{0}$-ն հրթիռի դիրքն է $A$ երբ $t=0$;

$b_{0}$-ն հրթիռի դիրքն է $B$ երբ $t=0$:

$x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0}\,$ հետևում է, որ այն հանդիսանում է ժամանակից անկախ հաստատուն մեծություն։ Բոլոր տիպի սինքրոն շարժումների համար այս արգումենը ճշմարիտ է։ Այսպիսով՝ $f(t)$ տեսքի մանրամասն իմացությունը, հետագա վերլուծության համար, կարևոր չէ։ Նշենք, սակայն, որ $f(t)$-ի ձևը, սեփական հաստատուն արագացման համար, լավ հայտնի է(տես՝ հիպերբոլական շարժում)։

A և B երկու դիտորդների տարածական գծերն են, որոնք սկսում են հաստատուն արագացումով շարժվել միևնույն ուղղությամբ։ A' և B' կետերում դիտորդները դադարեցնում են արագացումը։ Կետագիծը A դիտորդի «միաժամանակության գիծն է»։ Արդյոք A′B″ տարածական հատվածը ավելի երկա՞ր է, քան AB-ն

Դիտարկելով տարածաժամանակային դիագրամը (աջից), կարելի է նկատել, որ $A'$ և $B'$ պատահարներում հրթիռները դադարում են արագացվել, որոնք $S$ ՀՀ-ում միաժամանակ են։ Ակնհայտ է նաև, որ այս պատահարները միաժամանակյա չեն հրթիռներին կապված ՀՀ-ում։ Սա հանդիսանում է միաժամանակության հարաբերականության օրինակ։ Նախորդից հայտնի է, որ $A'B'$ հատվածի երկարությունը հավասար է $AB$-ի երկարությանը, որը իր հերթին, համընկնում է հրթիռների $L$ հեռավորությանը։ Ակնհայտ է նաև, որ $A$ և $B$ հրթիռների արագությունները $S$ ՀՀ-ում արագացված շարժման ավարտից հետո հավասար է $v$-ի։ Վերջապես, $A$ և $B$ հրթիռների սեփական հեռավորությունը, արագացված շաժման փուլից հետո հավասար կլինի նրան ուղեկցող ԻՀՀ-ում ունեցած հեռավորությանը և հավասար $A'B''$ գծի երկարությանը։ Այս գիծը հանդիսանում է $t'$ ուղեկցող հաշվանքի համակարգում ժամանակավոր կոորդինատի հաստատունի գիծը, որը կապված է $S$ ՀՀ-ի կոորդինատների հետ Լորենցի ձևափոխություններով։

$t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.A'B''$-ն իրենից ներկայացնում է գիծ, վերցված հրթիռների ՀՀ-ի հետ «միաժամանակ», այսինքն նրանց համար միայն տարածաչափական:Քանի որ ինտերվալը հանդիսանում է ինվարիանտ ՀՀ-ի ձևափոխություններին համեմատ, ապա կարելի է հաշվել ցանկացած հաշվարկման համակարգում, տվյալ դեպքում $S$ համակարգում։ Մաթեմատիկորեն $S$ ՀՀ-ի կոորդինատների միջոցով վերոհիշյալ քննարկումները կգրվեն այսպես՝

$t_{B'}=t_{A'}\,,$

$x_{B}-x_{A}=x_{B'}-x_{A'}=L\,,$

$x_{B''}-x_{B'}=v\left(t_{B''}-t_{B'}\right),$

$t_{B''}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{B''}=t_{A'}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{A'}\,,$

${\overline {A'B''}}={\sqrt {\left(x_{B''}-x_{A'}\right)^{2}-c^{2}\left(t_{B''}-t_{A'}\right)^{2}}}\,.$

Օգտագործելով օժանակ փոփոխականները

$H=t_{B''}-t_{B'}=t_{B''}-t_{A'}\,,$

$W=x_{B''}-x_{B'}\,,$

և նկատելով, որ

$W+L=x_{B''}-x_{B'}+x_{B'}-x_{A'}=x_{B''}-x_{A'}\,,$

հավասարումը կարելի է գրել

$W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad {\overline {A'B''}}={\sqrt {\left(W+L\right)^{2}-c^{2}H^{2}}}$

և լուծել

${\overline {A'B''}}={\frac {L}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.$

Հետևաբար, ուղեկցող համակարգում հրթիռների միջև հեռավորության նկարագրությունը աճում է $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ անգամ։ Քանի որ լարը չի կարող այդչափ ձգվել, այն կկտրվի։

Բելլը նշեց, որ մարմինների ռեյլատիվիստիկ կարճացումը, այնպես ինչպես և հրթիռների միջի հեռավորության փոքրացումը քննարկված մտավոր էքսպերիմենտում կարելի է բացատրել դինամիկորեն՝ օգտագործելով Մաքսվելի հավասարումները։ Միջմոլեկուլային էլեկտրամագնիսական դաշտերի աղավաղումը հանգեցնում է շարժվող մարմինների կրճատման կամ նրանց մեջ լարվածության առաջացման, եթե կրճատումը կանխարգելվի։ Բայց հրթիռների միջև այդ ուժերը բացակայում են։

Կոնտեքստ և նմանատիպ պրոբլեմներ

Բելլի պարադոքսը հազվադեպ հիշատակվում է հարաբերականության տեսության վերաբերյալ դասագրքերում, երբեմն էլ ինտերնետ դասընթացներում։

Ավելի հաճախ դասագրքերում և մենագրություններում հիշատակվում է Մաքս Բոռնի պինդ շարժման համարժեք խնդիրը։ Նույն արագացումով երկու հրթիռների միջև հեռավորության փոխարեն խնդիրն այնտեղ վերաբերում է երկրորդ հրթիռի այնպիսի արագացմանը, որի դեպքում նրանց միջև հեռավորությունը կպահպանվի հրթիռներին ուղեկցող հաշվարկման համակարգում։ Արագացումները պետք է տարբեր լինեն։ Որպեսզի սկզբում որոշակի ՀԻՀ-ում դադարի վիճակում գտնվող երկու հրթիռները պահպանեն իրենց հեռավորությունը, առջևում գտնվող հրթիռը պետք է ունենա ավելի փոքր արագացում։

Նմանատիպ խնդիր է նաև միևնույն արագացումով հրթիռներում ժամացույցերների սինքրոնացումը, որը 1907 թվականին պարզաբանվել է Այնշթայնի կողմից։ Դա նրան հանգեցրել է ժամանակի գրավիտացիոն դանդաղեցման գաղափարին։

Տես նաև

• Հիպերբոլական շարժում
• Ռիդլերի կոորդինատներ
• Էրենֆեստի պարադոքս
• Սուզանավի պարադոքս
• Աստիճանի պարադոքս
• Բորնի պնդություն

Աղբյուրներ

• Герштейн С. С., Логунов А. А. «Задача Дж. С.Белла» (препринт ИФВЭ 1996)
• Герштейн С. С., Логунов А. А. Задача Дж. Белла // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1998. — В. 5. — Т. 29. — С. 463-468.
• Michael Weiss, Bell’s Spaceship Paradox Արխիվացված 2010-06-24 Wayback Machine (1995), USENET Relativity FAQ(անգլ.)
• Austin Gleeson, Course Notes Chapter 13 Արխիվացված 2014-09-06 Wayback Machine See Section 4.3(անգլ.)
• JH Field, [1](անգլ.)
• Romain, J. E. (1963). «A Geometric approach to Relativistic paradoxes». Am. J. Phys. 31: 576–579.(անգլ.)
• Hsu, Jong-Ping; & Suzuki (2005). «Extended Lorentz Transformations for Accelerated Frames and the Solution of the «Two-Spaceship Paradox»». AAPPS Bulletin. October: ?.{{cite journal}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) eprint версия. Արխիվացված 2008-11-21 Wayback Machine(անգլ.)
• Redžić D.V.(2010) «Relativistic length agony continued»(անգլ.)
• Peregoudov, D V (2009), «Letters And Comments: Comment on 'Note on Dewan-Beran-Bell's spaceship problem'», European journal of physics : a journal of the European Physical Society, L3: Institute of Physics, 30.1, doi:10.1088/0143-0807/30/1/L02, ISSN 0143-0807, OCLC 311827234{{citation}}: CS1 սպաս․ location (link)(անգլ.)
• Foukzon J., Podosyonov S.A., Potapov A.A., (2009), «Relativistic length expansion in general accelerated system revisited».(անգլ.)
• Podosyonov S.A., Foukzon J. and Potapov A.A., (2010) «A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium»,
• Gravitation and Cosmology, 2010, Vol.16, No.4, pp. 307–312.ISSN 0202-2893, (անգլ.) http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/(չաշխատող հղում)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Բելլի պարադոքս» հոդվածին։