Էրենֆեստի պարադոքս

Էրենֆեստի պարադոքս՝ մտացածին էքսպերիմենտ, սկավառակ դիտարկող լույսի արագության մոտ արագությունով պտտվող։ Ժամանակակից պատկերացումներով ցույց է տալիս դասական մեխանիկայի որոշ հասկացությունների անհամատեղելիությունը հարաբերականության հատուկ տեսության հետ, ինչպես նաև ժամանակի ու տարածության տարբեր ձևակերպումների հնարավորությունը պտտվող հաշվարկի համակարգերում։

Այս պարադոքսը 1909 թվականին առաջադրվել է Էրենֆեստի կողմից Այնշտայնի հատուկ հարաբերականության տեսության մշակումից հետո։

Պարադոքսի էությունը

Դիտարկենք շրջանագիծ (կամ գլան), որը պտտվում է իր առանցքի շուրջը։ Քանի որ շրջանագծի յուրաքանչյուր տարրի արագությունը ուղղված է շոշափողով, ապա շրջանագիծը կրում է լորենցյան կրճատում, այսինքն նրա չափերը արտաքին դիտորդի համար կարող է ավելի փոէր թվալ իր իրական չափերից։ Եթե շրջանագիծը ունի $R$ շառավիղ, ապա արտաքին դիտորդի համար նրա երկարությունը հավասար է $2\pi R$-ի։ Սակայն հաշվի առնելով լորենցյան կրճատումը, շրջանագծի սեփական երկարությունը կլինի ավելի մեծ՝ $l={\frac {2\pi R}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}={\frac {2\pi R}{\sqrt {1-\left(\displaystyle {\frac {\omega R}{c}}\right)^{2}}}},$, որտեղ $\omega$ — շրջանային հաճախությունն է, $c$ — լույսի արագությունը։ Այսպիսով, ի սկզբանե անշարժ պինդ շրջանագիծը պետք է պտույտից հետո պարադոքսալ կերպով կրճատի իր շառավիղը, որպեսզի պահպանի երկարությունը։ Էրենֆեստի դատողություններից ելնելով բացարձակ պինդ մարմինը կարող է առաջացնել պտտական շարժում, քանի որ շառավղի ուղղությամբ լորենցյան կրճատում չպետք է լինի։ Հետևաբար սկավառակը, գտնվելով հարթ հանգստի վիճակում, պտտման ժամանակ պետք է փոխի իր ձևը։

Լուսավոր շրջանագծերի երկարությունները կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա, սակայն նրանց շառավղերը գծային արագության հետ աճում են ավելի դանդաղ։Կանաչ ռիսկերը շառավղերն են, որոնք ստացվել են $2\pi$-ի վրա բաժանելով։

Պտույտը հարաբերականության տեսության մեջ

Միչլուսային պտույտի տարածաժամանակային երկրաչափություն

Սկավառակի ծայրին ժամանակի դանդաղեցում

Էրենֆեստի դատողությունները ցույց տվեցին ի սկզբանե հանգիստ վիճակից բացարձակ պինդ մարմնի պտտման անհնարինությունը։ Այն, այնուամենայնիվ, չի բացառում հավասարաչափ պտտվող սկավառակի գոյությունը։ Սակայն նրանց տարածական երկրաչափությունը պետք է տարբեվի էվկլիդեսյան երկրաչափությունից։ Այսպիսի սկավառակի տարածաժամանակային նկարագրությունը հնարավոր է Բորնի կոորդինատի միջոցով, սակայն ժամանակի ընթացքը այնտեղ տարբերվում է գալիլեևյանից։ Ժամանակի արագությունը կախված կլինի կենտրոնից ունեցած հեռավորությունից, իսկ լույսի արագությունը պտույտի ուղղությունից առաջ և հետո Բորնի կոորդինատներում կլինեն տարբեր(տես․ նաև Սանյակի էֆեկտ)։ Սկավառակի հետ կապված օրթոգոնալ տարածաժամանակային կոորդինատների համակարգի կառուցումը կդառնա անհնար։ Այնուամենայնիվ, հնարավոր կդառնա կոռեկտորեն որոշել հեռավորությունըը ռրիմանովյան չափումներով պտտվող սկավառակի վրա։

Պտտվող սկավառակի երկրաչափություն

Բորնի կոորդինատներից օգտվելով մենք կարող ենք որոշել երկու շատ մոտ սկավառակի կետերով։ Նրանց կարելիի է ներկայացնել, օրինակ, այն մետաղի հարևան մոլեկուկներով կամ ատոմներով, որից պատրաստված է սկավառակը։ Լոկալ հեռավորությունը կարող է կառուցվել հենց այնպես, ինչպես ենթադրել էր Էրենֆեստը՝ շրջանագծերի երկայնքով սեփական երկարությունը ճշգրտորեն գերազանցում է լորենցյան օրենքով կարճացումը, իսկ շառավղի ուղղությամբ կհամարվի անփոփոխ, այսինքն հավասար շառավղերի տարբերությանը։ հաշվարկները ցույց են տալիս, որ պտտվող սկավառակը, չնայած ենթադրվում է հարթության վրա, պետք է (սեփական երկրաչափության իմաստով) հանդիսանում է բացասական մակերևույթով թեքություն։ Եթե դիտարկվող պտտվող մարմինը համարենք, որ ունի հաստություն, ապա նրա երկայնքով(այսինքն պտտման առանցքի ուղղությամբ), ինչպես և շառավղային ուղղությամբ, իրական և թվացյալ հեռավորությունների միջև տարբերություն չի նկատվում։ $(\varphi ,\;r,\;z)$ կոորդինատներով, այս կերպ, տարածության բոլոր երեք չափումների հաշվարկը կունենա այս տեսքը՝ ${\frac {c^{2}\,r^{2}}{c^{2}-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,d\varphi ^{2}+dr^{2}+dz^{2}.$

ՀԸՏ և Էրենֆեստի պարադոքսը

«Պարադոքսի» լուծումը ժամանակակից ձևով ներգրավում է այնպիսի մաթեմատիկական ապարատ ինչպես կորագիծ և գեոդեզական կոորդինատները, որոնք բնութագրական են ՀԸՏ-նը։ Այնուամենայնիվ, չնայած ՀԸՏ հասկացությունը լիովին կիրառելի է այս դեպքի համար, պետք է հաշվի առնել, որ Էրենֆեստի պարադոքսը դիտարկվում է հարթ, ոչծռված Մինկովսկու տարածության մեջ։ Սկավառակի պտույտը գրավիտացիոն դաշտում իրենից կներկայացնի այլևս ուրիշ խնդիր։

Ֆիզիկական իմաստը

Պինդ մարմնի միչլուսային պտույտը պրակտիկայում հազիվ թե նկատվի, քանի որ կենտրոնախույս ուժը պետք է բերի(միայն սեփական ամրությամբ, ոչ մի ուժերով չպահվող սկավառակի) նյութի հարթության մեխանիկական լարվածությանը բազմապատկած $c^{2}$-ով, որին չի կարող դիմանալ ոչ մի նյութ։ Իսկ եթե կենտրոնախույս ուժը կոմպենսացնենք գրվիտացիոն դաշտով (ինչպես լինում է, օրինակ, պուլսարների մեջ), ապա մենք դուրս կգանք ՀՀՏ շրջանակներից, և մարմնի երկրաչափությունը, հավանաբար, կփոխվի այլ կերպով, և ոչ թե վերը նկարագրած ձևով։ Պտտվող սկավառակի ոլորմամբ չափավոր արագության հասնելը նրա ձևը փոխվում է ավելի արագ քան առաձգական դեֆորմացիան, քան թե ՀՀՏ էֆեկտներն են։ Էրենֆեստի ռեյլատիվիստական էֆեկտը միայն աննշանորեն ուժեղացնում է երկայնական (պտտման ուղղությամբ) սկավառակի նյութի ձգումը։