Կարտոֆիլի պարադոքս

Կարտոֆիլի պարադոքսի պատկերում. կապույտ քառակուսիները ներկայացնում են ջրի 99 մասը, իսկ նարնջագույնը ներկայացնում է չոր նյութի 1 մասը (ձախ նկար): Չոր նյութի և ջրի հարաբերակցությունը 1:49 հասցնելու համար ջրի քանակը կրճատվում է մինչև 49, որպեսզի պահպանվի չոր նյութի նույն քանակությունը (միջին ցուցանիշ): Սա համարժեք է չոր մասի կոնցենտրացիայի կրկնապատկմանը (աջ կողմում գտնվող նկարը)

Կարտոֆիլի պարադոքս, մաթեմատիկական հաշվարկի օրինակ, որի արդյունքը հակասում է ինտուիցիային։ Այս պարադոքսը ներառում է կարտոֆիլի չորացումը աննշան թվացող քանակով, սակայն զանգվածի փոփոխության հաշվարկից հետո պարզվում է, որ այն ավելի մեծ է, քան ինտուիտիվորեն սպասվում էր։

Նկարագրություն

Պարադոքսը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

«Կա 100 կգ կարտոֆիլ, որի քաշի 99 տոկոսը ջուր է։ Կարտոֆիլը չորանում է մինչև 98 տոկոս ջրի պարունակությունը։ Որքա՞ն է այժմ կարտոֆիլի զանգվածը»։

Դեյվիդ Դարլինգի The Universal Book of Mathematics-ը խնդիրը սահմանում է հետևյալ կերպ.

«Ֆրեդը տուն է բերում 100 ֆունտ կարտոֆիլ, որը (լինելով կատարյալ մաթեմատիկական կարտոֆիլ) 99 տոկոսով ջուր է։ Նա թողնում է դրանք դրսում, որպեսզի չորանան ամբողջ գիշեր, ինչից հետո դրանցում ջրի պարունակությունը դառնում է 98 տոկոս։ Որքա՞ն նրանց նոր քաշը։ Անսպասելի պատասխան՝ 50 ֆունտ»

Քուայնի պարադոքսների դասակարգման մեջ կարտոֆիլի պարադոքսը դասակարգվում է որպես «արժանահավատ»։

Պարզ բացատրություններ

Իրականում սպիտակ կարտոֆիլը պարունակում է մոտ 79 % ջուր: 99 % ջուր պարունակում է, օրինակ, ագար-ագարը:

Մեթոդ 1

Բացատրություններից մեկն սկսվում է նրանից, որ սկզբնական շրջանում չոր նյութի զանգվածը 1 կգ է, որը կազմում է 100 կգ-ի 1 %-ը։ Հետո հարց է տրվում՝ 1 կգ-ը քանի՞ կգ-ի 2 %-ն է։ Որպեսզի այս համամասնությունը կրկնակի մեծ դառնա, ընդհանուր զանգվածը պետք է լինի երկու անգամ քիչ։

Մեթոդ 2

100 կգ կարտոֆիլ, 99 % ջուր (ըստ զանգվածի), նշանակում է 99 կգ ջուր և 1 կգ պինդ նյութ։ Այս հարաբերակցությունը 1:99 է:

Եթե ջրի քանակը կրճատվում է մինչև 98 %, չոր նյութը կազմում է քաշի 2 %-ը: 2:98 հարաբերակցությունը կրճատվում է 1:49-ի: Քանի որ չոր նյութը դեռ կշռում է 1 կգ, ջուրը պետք է կշռի 49 կգ, այսինքն՝ ընդհանուր զանգվածը պետք է կլինի 50 կգ։

Հանրահաշվի միջոցով բացատրություններ

Մեթոդ 1

Ջրի գոլորշիացումից հետո մնացած ընդհանուր $x$ զանգվածը պարունակում է 1 կգ մաքուր կարտոֆիլ և $(98/100)x$ ջուր։ Սա արտահայտվում է հետևյալ հավասարման մեջ.

${\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}x\end{aligned}}$

որի լուծումը տալիս է $x$ = 50 կգ։

Մեթոդ 2

Թարմ կարտոֆիլի ջրի զանգվածը կազմում է $0{,}99\cdot 100$:

Եթե $x$-ը կարտոֆիլի չորացման ժամանակ կորցրած ջրի զանգվածն է, ապա $0{,}98(100-x)$-ը չորացրած կարտոֆիլի ջրի քաշն է։ Ահա.

$0{,}99\cdot 100-0{,}98(100-x)=x$

Փակագծերի բացում և պարզեցում.

${\begin{aligned}99-(98-0{,}98x)&=x\\99-98+0{,}98x&=x\\1+0{,}98x&=x\end{aligned}}$

Յուրաքանչյուր կողմում հանելով x բազմապատկիչ.

${\begin{aligned}1+0{,}98x-0{,}98x&=x-0{,}98x\\1&=0{,}02x\end{aligned}}$

Եվ լուծումը.

${\frac {1}{0{,}02}}={\frac {0{,}02x}{0{,}02}}$

Ստացվում է կորցրած ջրի զանգվածը.

$50=x$

Եվ չորացրած կարտոֆիլի զանգվածը.

$100-x=100-50=50$

Հետևանք

Պատասխանը պահպանվում է չոր նյութի մասնաբաժնի ցանկացած կրկնապատկման դեպքում։ Օրինակ, եթե կարտոֆիլն ի սկզբանե պարունակում է 99,999 % ջուր, ապա այդ տոկոսը մինչև 99,998 % նվազեցնելը ևս պահանջում է զանգվածի կրկնակի կրճատում։

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W. «Potato Paradox» (անգլերեն). mathworld.wolfram.com. Վերցված է 2018 թ․ օգոստոսի 14-ին.