Շրյոդինգերի հավասարում

Շրյոդինգերի հավասարում, ֆիզիկական համակարգի քվանտային վիճակը նկարագրող ըստ ժամանակի առաջին և ըստ կոորդինատների երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարում։ 1925 թ․ վերջին ձևակերպել և 1926 թ․ հրապարակել է ավստրիացի ֆիզիկոս Էրվին Շրյոդինգերը^[1]։ Ոչ ռելայտիվիստական քվանտային մեխանիկայի հավասարումն է։

Դասական մեխանիկայում շարժման հավասարումը Նյուտոնի երկրորդ օրենքն է ( $F=ma$ ), որն օգտագործվում է մաթեմատիկորեն կանխատեսելու համակարգի վարքը ժամանակի ընթացքում, եթե հայտնի են համակարգի սկզբնական պայմանները։ Քվանտային մեխանիկայում Նյուտոնի օրենքի համարժեքը Շրյոդինգերի հավասարումն է քվանտային համակարգերի համար (ատոմներ, մոլեկուլներ, ներատոմային մասնիկներ՝ ազատ, կապված կամ տեղայնացված վիճակներում)։ Այն պարզ հանրահաշվական հավասարում չէ, այլ ընդհանուր մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարում, որը նկարագրում է համակարգի ալիքային ֆունկցիայի (երբեմն կոչվում է նաև վիճակի ֆունկցիա) ժամանակային էվոլյուցիան^[2]։ Ալիքային ֆունկցիան քվանտային մեխանիկայի հիմնարար հասկացությունն է։ Քվանտային մեխանիկայի ստանդարտ ներկայացման մեջ ալիքային ֆունկցիան ամենաամբողջական նկարագրությունն է, որը կարելի է տալ ֆիզիկական համակարգի համար։

Շրյոդինգերի հավասարումը հաճախ ներկայացվում է որպես առանձին պոստուլատ, սակայն որոշ հեղինակներ^[3] պնդում են, որ այն կարելի է արտածել սիմետրիայի սկզբունքներից։ Շրյոդինգերի հավասարումը քվանտային մեխանիկայում կանխատեսումներ անելու միակ միջոցը չէ․ կարող են կիրառվել նաև այլ ձևակերպումներ, ինչպես օրինակ Վերներ Հայզենբերգի մատրիցային մեխանիկան, Ռիչարդ Ֆեյնմանի հետագծերի ինտեգրալային ձևակերպումը, Կլայն‐Ֆոկ‐Գորդոնի և Դիրակի հավասարումները։

Հավասարումը

Ժամանակից կախված դեպքը

Շրյոդինգերի հավասարման տեսքը կախված է ֆիզիկական իրավիճակից։ Ամենաընդհանուր դեպքը ժամանակից կախված Շրյոդինգերի հավասարումն է, որը տալիս է համակարգի նկարագրությունը ժամանակի ընթացքում^[4]։

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$ ,

որտեղ $i$ -ն կեղծ միավոր է, $ħ$ -ը Պլանկի հաստատունն է՝ բաժանած $2π$ -ի վրա (կոչվում է նաև Պլանկի կրճատված հաստատուն), ^∂⁄_∂t նշանը ցույց է տալիս մասնակի ածանցյալ ըստ $t$ ժամանակի, $Ψ$ -ն քվանտային համակարգի ալիքային ֆունկցիան է, $Ĥ$ -ը՝ համիլտոնյան օպերատորը (որը բնութագրում է ցանկացած տրված ալիքային ֆունկցիայի լրիվ էներգիան և տարբեր տեսք է ընդունում՝ կախված պայմաններից)։

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {r}},t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)\right]\Psi ({\vec {r}},t)$ ,

Ոչ ռելյատիվիստական Շրյոդինգերի հավասարմանը բավարարող ալիքային ֆունկցիան, $V = 0$ : Այլ կերպ ասած, այն համապատասխանում է դատարկ տարածության մեջ շարժվող ազատ մասնիկին։ Այստեղ պատկերվածը ալիքային ֆունկցիայի իրական մասն է։

որտեղ $m$ -ը մասնիկի զանգվածն է, $V$ -ն՝ պոտենցիալ էներգիան, $\nabla 2$ -ն՝ լապլասյանը, $Ψ$ -ն՝ ալիքային ֆունկցիան ։ Սա նշանակում է, որ «լրիվ էներգիան հավասար է կինետիկ էներգիա գումարած պոտենցիալ էներգիա»՝ ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)$ , սակայն դրանք չունեն իրենց սովորական հայտնի գրելաձևը։

Շրյոդինգերի հավասարումը էլեկտրամագնիսական դաշտում գտնվող e լիցք ունեցող մասնիկի համար (բայց ոչ սպին ունեցող՝ այդ դեպքի համար տես Պաուլիի հավասարումը).

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {r}},t)=\left[{\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-{e}\mathbf {A} ({\vec {r}},t))^{2}+e\varphi ({\vec {r}},t)\right]\Psi$ ,

որտեղ ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$ ‐ն՝ իմպուլսի օպերատորն է, իսկ $\mathbf {A}$ ‐ն և $\varphi$ ‐ն՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի, համապատասխանաբար, վեկտորական և սկալյար պոտենցիալներն են (միավորների SI համակարգում)։

Շրյոդինգերի հավասարում տերմինը կարող է վերաբերվել ինչպես ընդհանուր հավասարմանը (վերևում գրվածներից առաջինը), այնպես էլ հատուկ ոչ ռելյատիվիստական տարբերակին (գրվածներից երկրորդը և դրա վարիացիաները)։ Ընդհանուր հավասարումը կիրառվում է քվանտային մեխանիկայում ամենուրեք, Դիրակի հավասարումից մինչև դաշտի քվանտային տեսություն, համիլտոնյանի տարատեսակ մատրիցական և բարդ արտահայտություններով։ Հատուկ ոչ ռելյատիվիստական տարբերակը իրականության պարզեցված մոտավորությունն է, որը բավականաչափ ճշգրիտ է բազմաթիվ դեպքերում, սակայն ոչ ճշգրիտ՝ այլ դեպքերում (տես ռելյատիվիստական քվանտային մեխանիկա և ռելյատիվիստական դաշտի քվանտային տեսություն)։

Շրյոդինգերի հավասարումը կիրառելու համար գրվում է համակարգի համիլտոնյան օպերատորը՝ հաշվի առնելով համակարգը կազմող մասնիկների կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաները, ապա դա դրվում է Շրյոդինգերի հավասարման մեջ։ Արդյունքում ստացված մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումը լուծվում է ալիքային ֆունկցիայի համար, որը ինֆորմացիա է պարունակում համակարգի մասին։

Ժամանակից անկախ դեպքը

Այս երեք տողերից յուրաքանչյուրը ալիքային ֆունկցիան է, որը բավարարում է ժամանակից կախված Շրյոդինգերի հավասարմանը համրոնիկ տատանակի համար։ Ձախում. Ալիքային ֆունկցիայի իրական (կապույտ) և կեղծ (կարմիր) մասերը։ Աջում. Այս ալիքային ֆունկցիայով մասնիկը գտնելու հավանականության բաշխումը տրված կոորդինատների համար։ Վերևի երկու տողերը կայուն վիճակների օրինակներ են, որոնք համապատասխանում են կանգուն ալիքներին։ Ներքևում պատկերվածը կայուն վիճակի օրինակ չէ։

Ժամանակից անկախ Շրյոդինգերի հավասարումը կանխատեսում է, որ ալիքային ֆունկցիաները կարող են ձևավորել կանգուն ալիքներ, որոնք կոչվում են կայուն վիճակներ (նաև՝ օրբիտալներ, ինչպես ատոմական օրբիտալներն են կամ մոլեկուլային օրբիտալները)։ Այս վիճակները կարևոր են ինքնին, և եթե կայուն վիճակները դասակարգված են և ընկալված, ապա հեշտ է լուծել ժամանակից անկախ Շրյոդինգերի հավասարումը ցանկացած վիճակի համար։ Ժամանակից անկախ Շրյոդինգերի հավասարումը կայուն վիճակները նկարագրող հավասարում է (երբ համիլտոնյանն ինքը կախված չէ ժամանակից, իսկ ընդհանուր դեպքում ալիքային ֆունկցիան ունի ժամանակային կախվածություն)

$E\Psi ={\hat {H}}\Psi$ ։

Հավասարման էությունը բառերով կարելի է ասել.

Երբ համիլտոնյան օպերատորը կիրառված է որոշակի

Ψ

ալիքային ֆունկցիայի վրա, և արդյունքն ուղիղ համեմատական է նույն

Ψ

ալիքային ֆունկցիային, ապա

Ψ

-ն կայուն վիճակ է, և

E

համեմատականության գործակիցը

Ψ

վիճակի էներգիան է։

Գծային հանրահաշվի տերմիններով այս հավասարումը սեփական վեկտորական հավասարում է։

Ինչպես նախկինում, այս դեպքում ևս ամենահայտնի ձևակերպումը ոչ ռելյատիվիստական Շրյոդինգերի հավասարումն է էլեկտրական դաշտում շարժվող մեկ մասնիկի համար (բայց ոչ մագնիսական դաշտում).

$E\Psi ({\vec {r}})=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})\right]\Psi ({\vec {r}})$ ։

Նշանակությունը

Շրյոդինգերի հավասարումը և դրա լուծումները հեղաշրջիչ էին ֆիզիկայի մտածողության մեջ։ Այն իր տեսակի մեջ առաջինն էր, և լուծումները բերեցին հետևանքների, որոնք անսովոր էին և անսպասելի՝ այդ ժամանակների համար։

Լրիվ, կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաներ

Հավասարման ամբողջական ձևն անսովոր կամ անսպասելի չէ, այն կիրառում է էներգիայի պահպանման սկզբունքը։ Ոչ ռելյատիվիստական Շրյոդինգերի հավասարման տերմինները կարող են ներկայացվել որպես համակարգի լրիվ էներգիա, որը հավասար է համակարգի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների գումարին։ Այդ իմաստով դա նույնն է, ինչ դասական մեխանիկայում։

Քվանտացում

Շրյոդինգերի հավասարումը կանխատեսում է, որ եթե չափվում են համակարգի որոշակի հատկություններ, արդյունքը կարող է քվանտանալ, ինչը նշանակում է, որ միայն որոշակի դիսկրետ արժեքներ են հնարավոր։ Օրինակ՝ էներգիայի քվանտացումը. Էլեկտրոնի էներգիան ատոմում միշտ քվանտացված էներգիական մակարդակներից մեկն է։ Այս փաստը հայտնաբերվել է ատոմական սպեկտրասկոպիայի միջոցով։ Մի այլ օրինակ է անկյունային մոմենտի օպերատորի քվանտացումը։ Սա ավելի վաղ արված ենթադրություն էր Բորի ատոմի մոդելի համար, սակայն այն կանխատեսվում է Շրյոդինգերի հավասարումով։

Շրյոդինգերի հավասարման մի այլ արդյունք է, որ ոչ բոլոր չափումներն են քվանտացված արդյուքներ տալիս քվանտային մեխանիկայում։ Օրինակ՝ կոորդինատը, իմպուլսը, ժամանակը և (որոշ դեպքերում) էներգիան կարող են արժեքներ ընդունել անընդհատ տիրույթում^[5]։

Չափումները և անորոշությունը

Դասական մեխանիկայում մասնիկը ցանկացած պահի ունի ճշգրիտ կոորդինատ և ճշգրիտ իմպուլս։ Դրանց արժեքները փոխվում են դետերմինիստիկորեն, քանի որ մասնիկը շարժվում է Նյուտոնի օրենքների համաձայն։ Քվանտային մեխանիկայում մասնիկը ճշգրտորեն որոշված հատկություններ չունի, և երբ դրանք չափվում են, արդյունքը տրվում է հավանականությունների բաշխումով։ Շրյոդինգերի հավասարումը կանխատեսում է, թե ինչպիսին է այդ բաշխումը, սակայն չի կարող կանխատեսել ցանկացած չափումի ճշգրիտ արդյունքը հիմնարար կերպով։

Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքը նկարագրում է չափումների անորոշությունը քվանտային մեխանիկայում։ Ըստ դրա՝ որքան ճշգրտորեն է հայտնի մասնիկի կոորդինատը, այնքան պակաս ճշգրտությամբ է հնարավոր իմանալ իմպուլսը, և ընդհակառակը։

Շրյոդինգերի հավասարումը նկարագրում է մասնիկի ալիքային ֆունկցիայի (դետերմինիստական) էվոլյուցիան։ Սակայն, նույնիսկ եթե ալիքային ֆունկցիան ճշգրիտ հայտնի է, ալիքային ֆունկցիայի որոշակի չափման արդյունքը անորոշ է։

Քվանտային թունելավորում

Թունելային էֆեկտը արգելքի միջով։ Ձախ կողմից եկող մասնիկը բավարար էներգիա չունի արգելքը հաղթահարելու համար։ Այնուամենայնիվ այն երբեմն անցնում է մյուս կողմը։

Դասական ֆիզիկայում, երբ շարժվող գունդը հանդիպում է մեծ արգելքի, շարժումը դադարում է և ապա հետ է պտտվում, քանի որ բավարար էներգիա չունի արգելքի մյուս կողմն անցնելու համար։ Մինչդեռ Շրյոդինգերի հավասարումը կանխատեսում է, որ կա փոքր հավանականություն, որ գունդը կանցնի արգելքի մյուս կողմը՝ նույնիսկ եթե էներգիան շատ քիչ է դրա համար։ Այս երևույթը կոչվում է թունելային անցում։ Այն առնչվում է անորոշության սկզբունքին. չնայած թվում է՝ գունդը արգելքի առջև է, կոորդինատներն անորոշ են, այնպես որ հնարավորություն կա մյուս կողմում հայտնվելու։

Մասնիկը որպես ալիք

Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը մասնակի դիֆերենցիալ հավասարման տեսակ է, որը կոչվում է ալիքային հավասարում։ Սակայն մասնիկը հաճախ կարող է ցուցաբերել ալիքային վարք։ Կրկնակի ճեղքով դիֆրակցիան հայտնի փորձ է, որը ցույց է տալիս ալիքների տարօրինակ վարքը, երբ դրանք կարող են դրսևորել մասնիկային հատկություններ։ Երկու ճեղքերից դուրս եկող վերադրվող ալիքները կարող են մարել միմյանց որոշ տեղամասերում, և կարող են ուժեղացնել այլ հատվածներում։ Բնականաբար մենք չենք մտածում, որ մեկ մասնիկը կարող է նման պատկեր առաջացնել, քանի որ այն պիտի որ անցնի միայն մեկ կամ մյուս ճեղքով, ոչ թե երկուսով միաժամանակ։ Սակայն, քանի որ Շրյոդինգերի հավասարումն ալիքային հավասարում է, մեկ մասնիկը, անցլելով կրկնակի ճեղքով, տալիս է նույն պատկերը (աջ կողմի նկարը)։ Այս ամբողջական պատկերը ստանալու համար փորձը պետք է կրկնել բազմիցս։ Պատկերի տեսքը հաստատում է, որ ամեն էլեկտրոն անցնում է միանգամից երկու ճեղքով^[6]^[7]։ Չնայած սա հակասում է առաղջ բանականությանը, սակայն Շրյոդինգերի հավասարման կանխատեսումը ճշգրիտ է և ստուգված. մասնավորապես էլեկտրոնների դիֆրակցիան և նեյտրոնների դիֆրակցիան լավ նկարագրված են և լայնորեն օգտագործվում են գիտության մեջ ու տեխնիկայում։

Բացի դիֆրակցիայից, մասնիկները նաև վերադրվում են և ինտերֆերենցիայի են ենթարկվում։

Ծանոթագրություններ

↑ Schrödinger, E. (1926). «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules» (PDF). Physical Review. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. Արխիվացված (PDF) օրիգինալից 2008 թ․ դեկտեմբերի 17-ին. Վերցված է 2014 թ․ հոկտեմբերի 25-ին.
↑ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7
↑ Ballentine, Leslie (1998), Quantum Mechanics: A Modern Development, World Scientific Publishing Co., ISBN 9810241054
↑ The Schrödinger equation - The Feynman Lectures on Physics
↑ Nouredine Zettili (2009 թ․ փետրվարի 17). Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-02678-6.
↑ O Donati G F Missiroli G Pozzi May 1973 An Experiment on Electron Interference American Journal of Physics 41 639–644
↑ Quantum Behavior - The Feynman Lectures on Physics

[sch-1] Schrödinger, E. (1926). «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules» (PDF). Physical Review. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. Արխիվացված (PDF) օրիգինալից 2008 թ․ դեկտեմբերի 17-ին. Վերցված է 2014 թ․ հոկտեմբերի 25-ին.

[Griffiths2004-2] Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-111892-7

[Ballentine-3] Ballentine, Leslie (1998), Quantum Mechanics: A Modern Development, World Scientific Publishing Co., ISBN 9810241054

[4] The Schrödinger equation - The Feynman Lectures on Physics

[Zettili2009-5] Nouredine Zettili (2009 թ․ փետրվարի 17). Quantum Mechanics: Concepts and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-02678-6.

[6] O Donati G F Missiroli G Pozzi May 1973 An Experiment on Electron Interference American Journal of Physics 41 639–644

[7] Quantum Behavior - The Feynman Lectures on Physics

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]