Համիլտոնյան (քվանտային մեխանիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Համիլտոնյան (նշանակվում է կամ H), համակարգի լրիվ էներգիայի օպերատորը քվանտային մեխանիկայում։ Կոչվել է իռլանդացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Համիլտոնի անունով։

Համիլտոնյանի սպեկտրը հնարավոր արժեքների բազմությունն է համակարգի լրիվ էներգիայի փոփոխության դեպքում։ Սպեկտրը կարող է լինել դիսկրետ կամ անընդհատ։ Կարող է նաև այնպիսի դեպք լինել (օրինակ՝ կուլոնյան պոտենցիալը), երբ սպեկտրը բաղկացած է ընդհատ և անընդհատ մասերից։

Քանի որ էներգիան իրական մեծություն է, համիլտոնյանը ինքնահամալուծ օպերատոր է։

Շրյոդինգերի հավասարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Շրյոդինգերի հավասարում

Համիլտոնյանը հարուցում է քվանտային վիճակների ժամանակավոր փոփոխություն։ Եթե -ն համակարգի վիճակն է t պահին, ապա

:

Այս հավասարումը կոչվում է Շրյոդինգերի հավասարում (այն նույն տեսքն ունի, ինչ Համիլտոն-Յակոբիի հավասարումը դասական մեխանիկայում)։ Իմանալով վիճակը ժամանակի սկզբնական պահին (t = 0), մենք կարող ենք լուծել Շրյոդինգերի հավասարումը և ստանալ վիճակի վեկտորը ժամանակի ցանկացած հաջորդ պահի համար։ Մասնավորապես, եթե H-ը կախված չէ ժամանակից, ապա

Էքսպոնենտի օպերատորը Շրյոդինգերի հավասարման աջ մասում որոշվում է ըստ H-ի աստիճանային շարքով։

Ըստ հոմոմորֆ հատկությունների,

օպերատորն ունիտար է։ Դա փակ քվանտային համակարգի ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորն է (կամ պրոպագատորը)։

Եթե համիլտոնյանը կախված չէ ժամանակից, {U(t)}-ն միապարամետրական խումբ է կազմում, որտեղից հետևում է принцип детального равновесия.

Համիլտոնյանի արտահայտությունը կոորդինատային պատկերացումով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ազատ մասնիկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե մասնիկը պոտենցիալ էներգիա չունի, ապա համիլտոնյանը ամենապարզն է։ Մեկ չափողականության դեպքում

Եռաչափ դեպքում

Պոտենցիալ փոս[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

V = V0 հաստատուն պոտենցիալով (ժամանակից և կոորդինատներից անկախ) մասնիկի համար մեկ չափողականության դեպքում համիլտոնյանը՝

Եռաչափ դեպքում

։

Պարզագույն հարմոնիկ տատանակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պարզ հարմոնիկ տատանակի համար միաչափ դեպքում պոտենցիալը կախված է կոորդինատից (բայց ոչ ժամանակից) որպես

որտեղ տատանակի անկյունային հաճախությունը, k առաձգականության գործակիցը և m զանգվածը բավարարում են

առնչությանը, այդ պատճառով համիլտոնյանի տեսքը հետևյալն է՝

։

Եռաչափ դեպքում համիլտոնյանը ընդունում է

տեսքը, որտեղ r եռաչափ շառավիղ-վեկտորի մեծությունը որոշվում է որպես

։

Լրիվ համիլտոնյանը միաչափ համիլտոնյանների գումարն է՝

։

Դաշտի քվանտային տեսություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դաշտի դասական տեսությունում ընդհանրացված կոորդինատների դերը կատարում են դաշտի ֆունկցիաները տարածաժամանակի յուրաքանչյուր կետում, իսկ դաշտի քվանտային տեսությունում դրանք վերածվում են օպերատորների։ Փոխազդող դաշտերի համակարգի համար համիլտոնյանն իրենից ներկայացնում է ազատ դաշտերի էներգիաների և փոխազդեցության էներգիաների օպերատորների գումար։ Ի տարբերություն լագրանժյանյի, համիլտոնյանը չի տալիս համակարգի բացահայտ ռելյատիվիստական-ինվարիանտ նկարագրություն․ էներգիան տարբեր իներցիալ համակարգերում տարբեր է, չնայած ռելյատիվիստական համակարգերի համար կարելի է ապացուցել այդ ինվարիանտությունը։

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]