Համիլտոնյան (քվանտային մեխանիկա)

Չշփոթել Համիլտոնի ֆունկցիայի հետ։

Համիլտոնյան (նշանակվում է ${\hat {H}}$ կամ H), համակարգի լրիվ էներգիայի օպերատորը քվանտային մեխանիկայում։ Կոչվել է իռլանդացի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Համիլտոնի անունով։

Համիլտոնյանի սպեկտրը հնարավոր արժեքների բազմությունն է համակարգի լրիվ էներգիայի փոփոխության դեպքում։ Սպեկտրը կարող է լինել դիսկրետ կամ անընդհատ։ Կարող է նաև այնպիսի դեպք լինել (օրինակ՝ կուլոնյան պոտենցիալը), երբ սպեկտրը բաղկացած է ընդհատ և անընդհատ մասերից։

Քանի որ էներգիան իրական մեծություն է, համիլտոնյանը ինքնահամալուծ օպերատոր է։

Շրյոդինգերի հավասարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Համիլտոնյանը հարուցում է քվանտային վիճակների ժամանակավոր փոփոխություն։ Եթե $\left|\psi (t)\right\rangle$ -ն համակարգի վիճակն է t պահին, ապա

H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial  \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle

:

Այս հավասարումը կոչվում է Շրյոդինգերի հավասարում (այն նույն տեսքն ունի, ինչ Համիլտոն-Յակոբիի հավասարումը դասական մեխանիկայում)։ Իմանալով վիճակը ժամանակի սկզբնական պահին (t = 0), մենք կարող ենք լուծել Շրյոդինգերի հավասարումը և ստանալ վիճակի վեկտորը ժամանակի ցանկացած հաջորդ պահի համար։ Մասնավորապես, եթե H-ը կախված չէ ժամանակից, ապա

\left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle

Էքսպոնենտի օպերատորը Շրյոդինգերի հավասարման աջ մասում որոշվում է ըստ H-ի աստիճանային շարքով։

Ըստ հոմոմորֆ հատկությունների,

U=e^{-iHt/\hbar }

օպերատորն ունիտար է։ Դա փակ քվանտային համակարգի ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորն է (կամ պրոպագատորը)։

Եթե համիլտոնյանը կախված չէ ժամանակից, {U(t)}-ն միապարամետրական խումբ է կազմում, որտեղից հետևում է принцип детального равновесия.

Համիլտոնյանի արտահայտությունը կոորդինատային պատկերացումով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ազատ մասնիկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե մասնիկը պոտենցիալ էներգիա չունի, ապա համիլտոնյանը ամենապարզն է։ Մեկ չափողականության դեպքում

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}

Եռաչափ դեպքում

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

Պոտենցիալ փոս[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

V = V₀ հաստատուն պոտենցիալով (ժամանակից և կոորդինատներից անկախ) մասնիկի համար մեկ չափողականության դեպքում համիլտոնյանը՝

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}

Եռաչափ դեպքում

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}

։

Պարզագույն հարմոնիկ տատանակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պարզ հարմոնիկ տատանակի համար միաչափ դեպքում պոտենցիալը կախված է կոորդինատից (բայց ոչ ժամանակից) որպես

V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},

որտեղ տատանակի անկյունային հաճախությունը, k առաձգականության գործակիցը և m զանգվածը բավարարում են

\omega ^{2}={\frac {k}{m}}

առնչությանը, այդ պատճառով համիլտոնյանի տեսքը հետևյալն է՝

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}

։

Եռաչափ դեպքում համիլտոնյանը ընդունում է

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}

տեսքը, որտեղ r եռաչափ շառավիղ-վեկտորի մեծությունը որոշվում է որպես

r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}

։

Լրիվ համիլտոնյանը միաչափ համիլտոնյանների գումարն է՝

{\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}

։

Դաշտի քվանտային տեսություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դաշտի դասական տեսությունում ընդհանրացված կոորդինատների դերը կատարում են դաշտի ֆունկցիաները տարածաժամանակի յուրաքանչյուր կետում, իսկ դաշտի քվանտային տեսությունում դրանք վերածվում են օպերատորների։ Փոխազդող դաշտերի համակարգի համար համիլտոնյանն իրենից ներկայացնում է ազատ դաշտերի էներգիաների և փոխազդեցության էներգիաների օպերատորների գումար։ Ի տարբերություն լագրանժյանյի, համիլտոնյանը չի տալիս համակարգի բացահայտ ռելյատիվիստական-ինվարիանտ նկարագրություն․ էներգիան տարբեր իներցիալ համակարգերում տարբեր է, չնայած ռելյատիվիստական համակարգերի համար կարելի է ապացուցել այդ ինվարիանտությունը։

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

The Feynman Lectures on Physics, Volume III
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9