Էներգիայի պահպանման օրենք

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Էներգիայի պահպանման օրենք, բնության հիմնարար օրենքներից։ Ըստ այդ օրենքի՝ մեկուսացված ֆիզիկական համակարգի համար կարելի է ներմուծել մի սկալյար ֆիզիկական մեծություն՝ էներգիա, որը համակարգի պարամետրերի ֆունկցիա է և պահպանվում է ժամանակի ընթացքում։ Սահմանվել է փորձնականորեն։ Քանի որ էներգիայի պահպանման օրենքը վերաբերում է ոչ թե որոշակի մեծությունների և երևույթների, այլ արտացոլում է ընդհանրական, ամենուր և միշտ կիրառելի օրինաչափություն, ապա այն կարելի է անվանել ոչ թե էներգիայի պահպանման օրենք, այլ՝ սկզբունք։

Հիմնարար տեսանկյունից՝ ըստ Նյոթերի թեորեմի, էներգիայի պահպանման օրենքը ժամանակի համասեռության հետևանք է, այսինքն՝ համակարգի դիտարկման պահին ֆիզիկայի օրենքների անկախության հետևանք ժամանակից։ Այս իմաստով էներգիայի պահպանման օրենքն ունիվերսալ է, այսինքն՝ բնորոշ է ամենատարբեր ֆիզիկական բնույթով համակարգերին։ Ընդ որում այս պահպանման օրենքի իրականացումը յուրաքանչյուր որոշակի համակարգում հիմնավորվում է այդ համակարգի ենթարկվածությամբ իրեն բնորոշ դինամիկայի օրենքներին, որոնք տարբեր համակարգերի համար տարբեր են։

Պատմական պատճառներով ֆիզիկայի տարբեր բաժիններում էներգիայի պահպանման օրենքը ձևակերպվել է մյուսներից անկախ, ինչի հետ կապված ներմուծվել են էներգիայի տարբեր տեսակներ։ Ասում են, որ հնարավոր է մի տիպի էներգիայի անցում մյուսին, սակայն համակարգի լրիվ էներգիան, որը հավասար է տարբեր տիպի էներգիաների գումարին, պահպանվում է։ Քանի որ էներգիայի տեսակավորումը տարբեր տիպերի պայմանական է, այդ տեսակավորումը ոչ միշտ կարելի է անել միարժեքորեն։

Էներգիայի ամեն տիպի համար պահպանման օրենքը կարող է ունենալ ունիվերսալ ձևակերպումից տարբերվող տեսք։ Օրինակ, դասական մեխանիկայում ձևակերպվել է մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը, թերմոդինամիկայում՝ թերմոդինամիկայի առաջին սկզբունքը, էլեկտրադինամիկայում՝ Պոյնտինգի թեորեմը։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից էներգիայի պահպանման օրենքը համարժեք է պնդմանը, որ տվյալ ֆիզիկական համակարգի դինամիկան բնութագրող դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգն ունի շարժման առաջին ինտեգրալ, որը կապված է ժամանակի հանդեպ շեղման նկատմամբ հավասարումների սիմետրիկության հետ։

Օրենքի հիմնարար իմաստը[խմբագրել]

Էներգիայի պահպանման օրենքի հիմնարար իմաստը բացահայտվում է Նյոթերի թեորեմով։ Ըստ այդ թեորեմի, յուրաքանչյուր պահպանման օրենք միարժեքորեն համապատասխանում է ֆիզիկական համակարգը նկարագրող հավասարումների այս կամ այն սիմետրիային։ Մասնավորապես, էներգիայի պահպանման օրենքը համարժեք է ժամանակի համասեռությանը, այսինքն՝ համակարգը նկարագրող բոլոր օրենքների անկախությունը համակարգի դիտարկման պահից։

Այս պնդումի արտածումը կարելի է ստանալ, օրինակ, լագրանժյան ֆորմալիզմի հիման վրա[1][2]։ Եթե ժամանակը համասեռ է, ապա համակարգը նկարագրող Լագրանժի ֆունկցիան բացահայտ կախված չէ ժամանակից, այդ պատճառով լրիվ ածանցյալն ըստ ժամանակի ունի հետևյալ տեսքը՝

\frac{{\rm d}L}{{\rm d}t} = \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i։

Այստեղ L(q_i, \dot q_i)-ն Լագրանժի ֆունկցիան է, q_i, \dot q_i, \ddot q_i-ը՝ ընդհանրացված կոորդինատները և համապատասխանաբար դրանց առաջին և երկրորդ ածանցյալներն ըստ ժամանակի։ Կիրառելով Լագրանժի հավասարումները՝ փոխարինենք \frac{\partial L}{\partial q_i} ածանցյալները \frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} արտահայտությամբ.

\frac{{\rm d}L}{{\rm d}t} = \sum_i\dot q_i\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i = \sum_i\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i\right)։

Վերջին արտահայտությունն արտագրենք

\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i - L\right) = 0

տեսքով։ Փակագծերի գումարն ըստ սահմանման կոչվում է համակարգի էներգիա, և քանի որ նրա լրիվ ածանցյալն ըստ ժամանակի զրո է, հետևաբար այն շարժման ինտեգրալ է (այսինքն՝ պահպանվում է)։

Էներգիայի պահպանման օրենքի մասնավոր ձևեր[խմբագրել]

Դասական մեխանիկա[խմբագրել]

Ձևակերպում[խմբագրել]

Նյուտոնյան մեխանիկայում ձևակերպվում է էներգիայի պահպանման օրենքի մասնավոր դեպքը՝ Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը, որը հետևյալն է՝[3]

Եթե մարմինների վրա ազդում են միայն կոնսերվատիվ ուժեր, ապա այդ մարմինների փակ համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան մնում է անփոփոխ։

Այլ կերպ ասած, եթե համակարգի վրա դիսիպատիվ ուժեր չեն ազդում (օրինակ՝ շփման ուժը), մեխանիկական էներգիան չի առաջանում ոչնչից և չի կարող անհետանալ։

Օրինակներ[խմբագրել]

Այս պնդումի դասական օրինակը զսպանակային կամ մաթեմատիկական ճոճանակն է, որի մարումը կարելի է անտեսել։ Զսպանակային ճոճանակի դեպքում տատանումների պրոցեսում դեֆորմացված զսկանակի պոտենցիալ էներգիան (որի մաքսիմումը բեռի ծայրային կետերում է) վերածվում է բեռի կինետիկ էներգիայի (որի մաքսիմումը հավասարակշռության դիրքով բեռի անցնելու ժամանակ է) և ընդհակառակը[4]։ Մաթեմատիկական ճոճանակի դեպքում[5] բեռի պոտենցիալ էներգիայի վարքը նույն կերպ է՝ ծանրության ուժի դաշտում։

Արտածումը Նյուտոնի հավասարումներից[խմբագրել]

Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը կարելի է արտածել Նյուտոնի երկրորդ օրենքից[6], եթե հաշվի առնենք, որ կոնսերվատիվ համակարգում մարմնի վրա ազդող ուժերը պոտենցիալային են, և հետևաբար, կարող են ներկայացվել

\vec F = -\nabla U\left(\vec r\right)

տեսքով, որտեղ U\left(\vec r\right)նյութական կետի պոտենցիալ էներգիան է (\vec r-ը տարածության կետի շառավիղ-վեկտորն է)։ Այս դեպքում Նյուտոնի երկրորդ օրենքը մեկ մասնիկի համար ունի

m\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = -\nabla U\left(\vec r\right)

Տեսքը, որտեղ m-ը մասնիկի զանգվածն է, \vec v-ը՝ նրա արագության վեկտորը։ Այս հավասարման երկու մասերը սկայլար բազմապատկելով մասնիկի արագությամբ և նկատի առնելով, որ \vec v=\mathrm d\vec r/\mathrm dt, կստանանք

m\vec v\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = -\nabla U\left(\vec r\right)\frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm dt}։

Պարզ ձևափոխություններ կատարելով՝ կունենանք

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[\frac{mv^2}{2}+U(\vec r)\right]=0։

Այստեղից անմիջականորեն բխում է, որ ըստ ժամանակի դիֆերենցվող մեծությունը պահպանվում է։ Այդ արտահայտությունը կոչվում է նյութական կետի մեխանիկական էներգիա։ Գումարման մեջ առաջին անդամը համապատասխանում է կինետիկ էներգիային, երկրորդը՝ պոտենցիալին։

Այս արտածումը կարելի է ընդհանրացնել նյութական կետերի համակարգի համար[3]։

Էներգիայի ընդհանրացված ինտեգրալ[խմբագրել]

Ժամանակից անկախ Լագրանժի ֆունկցիայով և \frac{d}{dt} \left (  \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \right ) -  \frac{\partial L}{\partial q_{m}} =0 պոտենցիալային ուժերով հոլոնոմ մեխանիկական համակարգի Լագրանժի հավասարումներն ունեն էներգիայի ընդհանրացված ինտեգրալ[2]՝

h = \sum_{m=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}}  \dot{q}_{m} - L։

Թերմոդինամիկա[խմբագրել]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Թերմոդինամիկայի առաջին օրենք

Թերմոդինամիկայում պատմականորեն էներգիայի պահպանման օրենքը ձևակերպվում է որպես թերմոդինամիկայի առաջին սկզբունք.

Թերմոդինամիկական համակարգի ներքին էներգիայի փոփոխությունը համակարգը մի վիճակից մյուսին անցնելիս հավասար է համակարգի վրա արտաքին ուժերի կատարած աշխատանքի և համակարգին հաղորդված ջերմաքանակի գումարին և կախված չէ եղանակից, որով իրականացվել է այդ անցումը։

Կամ[7]

Համակարգի ստացած ջերմաքանակը ծախսվում է նրա ներքին էներգիայի փոփոխության և արտաքին ուժերի դեմ աշխատանք կատարելու վրա։

Մաթեմատիկական ձևակերպումով այս բանաձևը կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ՝

~Q=\Delta U+A,

որտեղ Q-ն համակարգի ստացած ջերմաքանակն է, \Delta U-ն՝ համակարգի ներքին էներգիայի փոփոխությունը, A-ն՝ համակարգի կատարած աշխատանքը։

Էներգիայի պահպանման օրենքը մասնավորապես պնդում է, որ գոյություն չունի առաջին սեռի հավերժական շարժիչ, այսինքն՝ հնարավոր չէ այնպիսի պրոցես, որի միակ արդյունքը աշխատանքն է՝ առանց այլ մարմիններում որևէ փոփոխությունների[7]։

Հիդրոդինամիկա[խմբագրել]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Բեռնուլիի օրենք

Իդեալական հեղուկի հիդրոդինամիկայում էներգիայի պահպանման օրենքն ավանդաբար ձևակերպվում է Բեռնուլիի օրենքի տեսքով[8].

\frac{v^2}{2}+w+gz = {\rm const},

որտեղ \ v-ն հեղուկի հոսքի արագությունն է, \ w-ն՝ հեղուկի ջերմային ֆունկցիան, \ g-ն՝ ազատ անկման արագացումը, \ z-ը՝ կետի կոորդինատը ծանրության ուժի ուղղությամբ։ Եթե հեղուկի ներքին էներգիան չի փոխվում (հեղուկը չի սառչում և չի տաքանում), ապա Բեռնուլիի հավասարումը կարելի է գրել[9]

\frac{v^2}{2}+\int\frac{{\rm d}p}{\rho}+gz = {\rm const}

տեսքով, որտեղ \ p-ն հեղուկի ճնշումն է, \ \rho(p)-ն՝ խտությունը։ Անսեղմելի հեղուկի համար խտությունը հաստատուն մեծություն է, այդ պատճառով վերջին հավասարումը կարելի է ինտեգրել[9].

\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz = {\rm const}։

Էլեկտրադինամիկա[խմբագրել]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Պոյնտինգի թեորեմ

Էլեկտրադինամիկայում էներգիայի պահպանման օրենքը պատմականորեն ձևակերպվել է Պոյնտինգի թեորեմի տեսքով[10][11] (երբեմն կոչվում է նաև Ումով-Պոյնտինգի թեորեմ[12])։ Այն իրար է կապում էլեկտրամագնիսական էներգիայի հոսքի խտությունը, էլեկտրամագնիսական էներգիայի խտությունը և ջոուլյան կորուստների խտությունը։ Ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝

Որոշակի ժամանակահատվածում որոշակի ծավալով պարփակված էլեկտրամագնիսական էներգիայի փոփոխությունը հավասար է այդ ծավալը սահմանափակող մակերևույթով էլեկտրամագնիսական էներգիայի հոսքին և այդ ծավալում անջատված ջերմային էներգիայի քանակին՝ հակառակ նշանով։

Մաթեմատիկորեն սա գրվում է

\frac{d}{dt}\int\limits_V w_{em}dV=-\oint\limits_{\partial V}\vec S d\vec\sigma - \int\limits_V\vec j\cdot\vec EdV,

որտեղ V-ն ծավալն է, \partial V-ն՝ այդ ծավալով սահմանափակված մակերևույթը,

w_{em} = \frac{1}{8\pi}\left(\vec E\cdot\vec D+\vec B\cdot\vec H\right)-ը՝ էլեկտրամագնիսական էներգիայի խտությունը,
\vec S = \frac{c}{4\pi}\left[\vec E\times\vec H\right]-ն՝ Պոյնտինգի վեկտորը,

\vec j-ն՝ հոսանքի խտությունը, \vec E-ն՝ էլեկտրական դաշտի լարվածությունը, \vec D-ն՝ էլեկտրական դաշտի ինդուկցիան, \vec H-ը՝ մագնիսական դաշտի լարվածությունը, \vec B-ն՝ մագնիսական դաշտի ինդուկցիան։

Այս օրենքը մաթեմատիկորեն կարելի է գրել նաև դիֆերենցիալ տեսքով՝

\frac{\partial w_{em}}{\partial t} = -\mathrm{div}\vec S - \vec j\cdot\vec E։

Արտահայտությունները գրված են գաուսյան միավորների համակարգում։

Ոչ գծային օպտիկա[խմբագրել]

Ոչ գծային օպտիկայում դիտարկվում է օպտիկական (և առհասարակ էլեկտրամագնիսական) ճառագայթման տարածումը միջավայրում՝ հաշվի առնելով այդ ճառագայթման բազմաքվանտային փոխազդեցությունը միջավայրի նյութի հետ։ Մասնավորապես, հետազոտությունների լայն շրջանակ վերաբերում է եռա- և քառալիքային փոխազդեցությանը, որոնց դեպքում տեղի է ունենում փոխազդեցություն համապատասխանաբար երեք և չորս ճառագայթման քվանտի հետ։ Քանի որ փոխազդեցության յուրաքանչյուր առանձին գործողություն ենթարկվում է էներգիայի և իմպուլսի պահպանման օրենքներին, հնարավորություն կա բավականաչափ ընդհանուր առնչություններ ձևակերպելու փոխազդող ալիքների մակրոսկոպիկ պարամետրերի միջև։ Այդ առնչությունները կոչվում են Մենլի-Ռոուի առնչություններ։

Որպես օրինակ դիտարկենք լույսի հաճախությունների գումարման երևույթը. ոչ գծային միջավայրում \omega_3 հաճախությամբ ճառագայթման գեներացումը, որը հավասար է երկու այլ ալիքների \omega_1 և \omega_2 հաճախությունների գումարին։ Այս պրոցեսը եռալիքային պրոցեսի մասնավոր դեպք է. նյութի հետ սկզբնական ալիքների երկու քվանտնեի փոխազդեցության ժամանակ նրանք կլանվում են՝ ճառագայթելով երրորդ քվանտը։ Էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն, երկու սկզբնական քվանտների էներգիաների գումարը պետք է հավասար լինի նոր քվանտի էներգիային՝

\hbar\omega_1 + \hbar\omega_2 = \hbar\omega_3։

Այս հավասարությունից անմիջականորեն բխում է Մենլի-Ռոուի առնչություններից մեկը՝

\omega_1 + \omega_2 = \omega_3,

որն էլ արտահայտում է այն փաստը, որ գեներացված ճառագայթման հաճախությունը հավասար է երկու սկզբնական ալիքների հաճախությունների գումարին։

Ռելյատիվիստական մեխանիկա[խմբագրել]

Ռելյատիվիստական մեխանիկայում ներմուծվում է էներգիա-իմպուլսի 4-վեկտորի հասկացությունը (կամ պարզապես քառաչափ իմպուլս)[13]։ Այն թույլ է տալիս էներգիայի և կանոնիկ իմպուլսի պահպանման օրենքները գրել միասնական ձևով, ինչը միաժամանակ լորենց-կովարիանտ է, այսինքն՝ չի փոխվում մի իներցիալ հաշվարկման համակարգից մյուսին անցնելիս։ Օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտում լիցքավորված նյութական կետի շարժման ժամանակ պահպանման օրենքի կովարիանտ ձևն ունի

~\frac{dP_\mu}{d\tau} = 0

տեսքը, որտեղ P_\mu=p_\mu+\frac{q}{c}A_\mu-ն մասնիկի կանոնիկ քառաչափ իմպուլսն է, p_\mu=\left(E/c, p_x, p_y, p_z\right)-ն՝ մասնիկի քառաչափ իմպուլսը, E=mc^2\sqrt{1+p^2}-ն՝ էներգիան, A_\mu=\left(\varphi, -A_x, -A_y, -A_z\right)-ն՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի պոտենցիալի քառաչափ վեկտորը, ~q-ն և ~m-ը՝ մասնիկի լիցքը և զանգվածը, ~\tau-ն՝ մասնիկի սեփական ժամանակը։

Կարևոր է նաև այն փաստը, որ նույնիսկ էներգիա-իմպուլսի պահպանման օրենքը տեղի չունենալու դեպքում (օրինակ, բաց համակարգում) պահպանվում է այդ 4-վեկտորի մոդուլը՝ մասնիկի հանգստի էներգիայի իմաստն ունեցող չափական բազմապատկչի ճշտությամբ[13].

~P_\mu P^\mu = m^2c^2։

Քվանտային մեխանիկա[խմբագրել]

Քվանտային մեխանիկայում նույնպես հնարավոր է ձևակերպել էներգիայի պահպանման օրենքը մեկուսացված համակարգի համար։ Այսպես, Շրյոդինգերի պատկերացումով արտաքին փոփոխական դաշտերի բացակայության դեպքում համակարգի համիլտոնյանը կախված չէ ժամանակից և կարելի է ցույց տալ[14], որ Շրյոդինգերի հավասարման լուծում հանդիսացող ալիքային ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել

\psi(x, t) = \sum_nc_n\psi_n(x)\exp\left(-i\frac{E_nt}{\hbar}\right)

տեսքով, որտեղ \ \psi(x, t)-ն համակարգի ալիքային ֆունկցիան է, \ x-ն՝ փոփոխականների համախումբը, որոնցից կախված է համակարգի վիճակը տվյալ քվանտային պատկերացման դեպքում, \ \psi_n(x, t), E_n-ն՝ համիլտոնյան օպերատորի սեփական ֆունկցիան և սեփական արժեքը, \hbar-ը՝ Պլանկի հաստատունը, \ c_n-ն՝ համակարգի վիճակը բնութագրող հաստատուն կոմպլեքս գործակիցներ։ Ըստ սահմանման, քվանտային համակարգի միջին էներգիա է կոչվում

E = \int\psi^*(x,t)\hat H(x)\psi(x,t)dx

ինտեգրալը, որտեղ \hat H-ը համակարգի համիլտոնյանն է։ Դժվար չէ տեսնել, որ այս ինտեգրալը կախված չէ ժամանակից.

E = \int\sum_n c_n^*\psi_n(x)^*\exp\left(i\frac{E_nt}{\hbar}\right)\hat H(x)\sum_m c_m\psi_m(x)\exp\left(-i\frac{E_mt}{\hbar}\right)dx = \sum_n\int c_n^*\psi_n^*(x)\hat H(x)c_n\psi_n(x)dx = \sum_n\left|c_n \right|^2E_n,

որտեղ նաև կիրառված է համիլտոնյանի սեփական ֆունկցիաների օրթոնորմավորման հատկությունը[15]։ Այսպիսով, փակ համակարգի էներգիան պահպանվում է։

Սակայն պետք է նշել, որ դասական մեխանիկայի հետ համեմատած, էներգիայի պահպանման քվանտային օրենքն ունի էական տարբերություն։ Օրենքի փորձարարական ստուգման համար անհրաժեշտ է անցկացնել չափումներ, որոնք իրենցից ներկայացնում են հետազոտվող համակարգի փոխազդեցությունը մի որոշ սարքի հետ։ Չափման պրոցեսի ընթացքում համակարգն արդեն մեկուսացված չէ, և նրա էներգիան կարող է չպահպանվել (տեղի է ունենում էներգիայի փոխանակություն սարքի հետ)։ Քվանտային մեխանիկայում չափումների պրոցեսում համակարգի գրգռման չափի համար գոյություն ունի հիմնարար սահմանափակում։ Սա հանգում է այսպես կոչված Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքին, որը մաթեմատիկական ձևակերպումով կարելի է արտահայտել որպես

\Delta E\Delta t\ge\frac{\hbar}{2},

որտեղ \Delta E-ն էներգիայի չափվող արժեքի միջին քառակուսային շեղումն է մի շարք չափումների միջին արժեքից, \Delta t-ն չափումներից յուրաքանչյուրի ընթացքում համակարգի փոխազդեցության տևողությունն է սարքի հետ։

Չափումների ճշտության այդ հիմնարար սահմանափակումով պայմանավորված՝ քվանտային մեխանիկայում խոսում են միջին էներգիայի պահպանման օրենքի մասին (մի շարք չափումների արդյունքում ստացված էներգիայի միջին արժեքի իմաստով)։

Հարաբերականության ընդհանուր տեսություն[խմբագրել]

Լինելով հարաբերականության հատուկ տեսության ընդհանրացումը, հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը կիրառում է քառաչափ իմպուլսի ընդհանրացված հասկացությունը՝ էներգիայի և իմպուլսի թենզորը։ Պահպանման օրենքը ձևակերպվում է համակարգի էներգիայի և իմպուլսի թենզորի համար և մաթեմատիկական տեսքով գրվում է որպես[16]

~T^\mu_{\nu;\mu}=0,

որտեղ կետ-ստորակետը նշանակում է կովարիանտ ածանցյալ։

Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում, խստորեն ասած, էներգիայի պահպանման օրենքը միայն լոկալ է գործում։ Դրա պատճառն այն է, որ այդ օրենքը ժամանակի համասեռության հետևանք է, մինչդեռ հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում ժամանակն անհամասեռ է և փոփոխվում է՝ կախված տարածաժամանակում մարմինների և դաշտերի առկայությունից։ Պետք է նշել, որ գրավիտացիոն դաշտի էներգիա--իմպուլսի պատշաճ սահմանված պսևդոթենզորի դեպքում կարելի է հասնել գրավիտացիոն փոխազդող մարմինների և դաշտերի լրիվ էներգիայի պահպանմանը[17]։ Սակայն ներկայումս գրավիտացիոն դաշտի էներգիան ներմուծելու ընդունված եղանակ չկա, քանի որ առաջարկված տարբերակները տարբեր թերություններ ունեն։ Օրինակ, գրավիտացիոն դաշտի էներգիան սկզբունքորեն չի կարող սահմանվել որպես թենզոր կոորդինատների ընդհանուր ձևափոխության նկատմամբ[18]։

Բացահայտման պատմություն[խմբագրել]

Մինչև 19-րդ դար[խմբագրել]

Էներգիայի պահպանման օրենքի բացահայտման փիլիսոփայական նախադրյալները դրել էին դեռ դասական փիլիսոփաները։ Ռենե Դեկարտն իր «Փիլիսոփայության սկզբունքներում» (1644) տվել է պարզ, չնայած ոչ քանակական, ձևակերպում[19].

Aquote1.png Երբ մի մարմինը բախվում է մյուսի հետ, նա կարող է հաղորդել ընդամենը այնքան շարժում, որքան որ ինքը կորցրել է, և վերցնել այնքան, որքան մեծացել է իր սեփական շարժումը։ Aquote2.png


Սակայն Դեկարտը շարժման քանակ ասելով հասկանում էր զանգվածի և արագության բացարձակ արժեքի արտադրյալը, այսինքն՝ իմպուլսի մոդուլը։

Լայբնիցն իր «Դեկարտի հիշարժան սխալի ապացույցը» (1686 թ.) և «Դինամիկայի ուրվագիծ» (1695 թ.) տրակտատներում ներմուծում է «կենդանի ուժ» (Vis viva) հասկացությունը, որը նա սահմանում է որպես մարմնի զանգվածի և արագության քառակուսու արտադրյալ (ժամանակակից նշանակումներով՝ կինետիկ էներգիայի կրկնապատիկը)։ Բացի այդ, Լայբնիցը հավատում էր ամբողջ «կենդանի ուժի» պահպանմանը։ Շփման պատճառով դանդաղեցումը բացատրելու համար նա առաջարկեց, որ «կենդանի ուժի» կորած մասը հաղորդվում է ատոմներին.

Aquote1.png Այն, ինչ կլանվում է նվազագույն ատոմներով, անկասկած, տիեզերքի համար չի կորչում, չնայած կորչում է բախվող մարմինների ընդհանուր ուժի համար։»[20] Aquote2.png

Սակայն Լայբնիցն իր կռահումների ոչ մի փորձարարական ապացույց չի բերում։ Նա դեռ չի մտածում այն մասին, որ ատոմների վերցրած այդ նույն էներգիան հենց ջերմությունն է։

Դեկարտի նման մի տեսակետ է արտահայտել Միխայիլ Լոմոնոսովը 18-րդ դարում[21]։ Էյլերին ուղղված նամակում (5 հուլիսի, 1748 թվական) նա ձևակերպում է «համընդհանուր բնական օրենք»՝ կրկնելով դա իր «Դատողություն մարմինների պինդ և հեղուկ լինելու մասին» (1760) դիսերտացիայում[22][23]:

Aquote1.png

Բնության մեջ տեղի ունեցող բոլոր փոփոխություններն բնույթն այնպիսին է, որ որքան վերցրվում է մի մարմնից, այնքան միացվում է մյուսին, այնպես որ եթե մի տեղ նյութը նվազում է, մի ուրիշ տեղ նույնքան ավելանում է... Այս համընդհանուր բնական օրենքը տարածվում է և հենց շարժման կանոնների վրա, քանի որ իր ուժով մեկ ուրիշ մարմին շարժող մարմինը որքան որ կորցնում է, այնքան էլ հաղորդում է մյուսին, որը նրանից շարժում է ստանում։[24].

Aquote2.png


19-րդ դար[խմբագրել]

Էներգիայի պահպանման օրենքը հաստատող առաջին փորձերից մեկը 1807 թվականին Ժոզեֆ Գեյ-Լյուսակի անցկացրած փորձն էր։ Փորձելով ապացուցել, որ գազի ջերմունակությունը կախված է նրա ծավալից, Լյուսակն ուսումնասիրեց գազից ընդարձակումը դատարկության մեջ և նկատեց, որ այդ ընթացքում գազի ջերմաստիճանը չի փոխվում։ Սակայն նրան չհաջողվեց բացատրել այդ փաստը [21]։

19-րդ դարի սկզբին մի շարք փորձերով ցույց տրվեց, որ էլեկտրական հոսանքը կարող է ունենալ քիմիական, ջերմային, մագնիսական և էլեկտրադինամիկական ազդեցություններ։ Այս բազմազանությունը Մայքլ Ֆարադեյին մղեց կարիծք հայտնելու, որ մատերիայի ուժերի դրսևորման տարբեր ձևերն ունեն ընդհանուր ծագում, այսինքն՝ կարող են վերածվել մեկը մյուսի[25]։ Այս տեսակետով, ըստ էության, կանխասվում է էներգիայի պահպանման օրենքը։

Սադի Կառնո[խմբագրել]

Սադի Կառնոն՝ աշխատանքի և ջերմության միջև քանակական կապ հաստատած առաջին գիտնականը

Կատարված աշխատանքի և անջատված ջերմության միջև քանակական կապ հաստատելու առաջին հետազոտությունները կատարել է Սադի Կառնոն[25]։ 1824 թվականին նա հրատարակեց «Մտորումներ կրակի շարժիչ ուժի և այդ ուժը զարգացնելու ընդունակ մեքենաների մասին» վերնագրով ոչ մեծ գրքույկը (ֆր.՝ Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres а développer cette puissance[26]), որը սկզբում անհայտ մնաց։ Հրատարակությունից 10 տարի անց այն պատահաբար նկատեց Կլայպերոնը, որը Կառնոյի շարադրանքին արդիական անալիտիկ և գրաֆիկական ձևավորում տվեց և նույն վերնագրով վերահրատարակեց «Journal de l'Ecole Polytechnique» ամսագրում։ Ավելի ուշ այն վերահրատարակեց նաև «Annalen der Physik und Chemie»-ն։ Կառնոյի վաղաժամ մահից հետո (խոլերայից) նրա եղբայրը հրատարակեց օրագրերը։ Դրանցում, մասնավորապես, Կառնոն գրում է[27].

Aquote1.png

Ջերմությունն այլ բան չէ, քան շարժիչ ուժ, կամ, ավելի ճիշտ, իր տեսքը փոփոխող շարժում։ Դա մարմնի մասնիկների շարժումն է։ Ամենուր, որտեղ տեղի է ունենում շարժիչ ուժի ոչնչանում, միաժամանակ առաջանում է այնպիսի քանակությամբ ջերմություն, որը ուղիղ համեմատական է անհետացած շարժիչ ուժի քանակին։ Հակառակը. ջերմության անհետանալու դեպքում միշտ առաջանում է շարժիչ ուժ։

Aquote2.png

Ճշտիվ հայտնի չէ, թե ինչ դատողություններով է Կառնոն հանգել իր եզրակացություններին, սակայն իրենց բնույթով դրանք համարժեք են ժամանակակից պատկերացումներին այն մասին, որ մարմնի վրա կատարած աշխատանքը վերածվում է նրա ներքին էներգիայի, այսինքն՝ ջերմության։ Օրագրերում Կառնոն նաև գրում է[28]:

Aquote1.png

Ջերմության տեսության մասին իմ որոշ պատկերացումների համաձայն, շարժիչ ուժի մեկ միավոր ստեղծելու համար պահանջվում է ջերմության 2,7 միավոր։

Aquote2.png

Սակայն Կառնոյին չհաջողվեց ավելի ճշգրիտ քանակական առնչություն գտնել կատարված աշխատանքի և անջատված ջերմության միջև։

Ջեյմս Ջոուլ[խմբագրել]

Ջերմության մեխանիկական համարժեքը չափելու Ջոուլի սարքավորումը։ Աջում տեղադրված բեռը հարկադրում է ջրում ընկղմված թիակներին պտտվել, ինչի արդյունքում ջուրը տաքանում է։

Օրենքի քանակական ապացույցը մի շարք դասական փորձերով տվել է Ջեյմս Ջոուլը։ Ջրով լցված անոթում նա տեղավորեց երկաթյա միջուկով սոլենոիդ, որը պտտվում է էլեկտրամագնիսի դաշտում։ Ջոուլը չափեց կոճում շփման հետևանքով անջատված ջերմության քանակը էլեկտրամագնիսի փակ և բաց փաթույթների դեպքում։ Համեմատելով այդ մեծությունները՝ նա եկավ եզրակացության, որ անջատվող ջերմության քանակը ուղիղ համեմատական է հոսանքի ուժի քառակուսուն և ստեղծվում է մեխանիկական ուժերով։ Հետագայում Ջոուլը կատարելագործեց սարքավորումը՝ ձեռքով պտտվող կոճը փոխարինելով ընկնող բեռի միջոցով պտտվող կոճով։ Դա թույլ տվեց անջատվող ջերմության մեծությունը կապել բեռի էներգիայի փոփոխության հետ[21][29]:

Aquote1.png

1 ֆունտ ջուրը 1 աստիճան Ֆարենհայտով տաքացնելու համար պահանջվող ջերմության քանակը հավասար է և կարող է փոխակերպվել մեխանիկական էներգիայի, որը կարող է 838 ֆունտը ուղղահայաց բարձրացնել 1 ֆուտով։

Aquote2.png

Այս արդյունքները շարադրվեցին 1843 թվականին նրա «Մագնիսաէլեկտրականության և ջերմության մեխանիկական երևույթի մասին» աշխատանքում[30]։

1847-1850 թվականների աշխատանքներում Ջոուլը տալիս է էլ ավելի ճշգրիտ ջերմության մեխանիկական համարժեք։

Ռոբերտ Մայեր[խմբագրել]

Ռոբերտ Մայերն առաջին անգամ հիպոթեզ առաջ քաշեց էներգիայի պահպանման օրենքի ունիվերսալության մասին։

Էներգիայի պահպանման օրենքի ընդհանրականությունը առաջինը գիտակցեց և ձևակերպես գերմանացի բժիշկ Ռոբերտ Մայերը[21]։ Մարդու օրգանիզմի կենսագործունեությունը հետազոտելիս նա հարց առաջադրեց. կփոխվի՞ կերակուրը մարսելու համար օրգանիզմի անջատած ջերմությունը, եթե այդ դեպքում այն աշխատանք կատարի։ Եթե ջերմության քանակը չփոխվեր, ապա միևնույն քանակությամբ կերակուրից աշխատանքը ջերմություն դարձնելու ճանապարհով (օրինակ՝ շփման միջոցով) հնարավոր կլիներ ստանալ ավելի շատ ջերմություն։ Իսկ եթե ջերմության քանակությունը փոխվում է, ապա, հետևաբար, աշխատանքը և ջերմությունը պետք է ինչ-որ կերպ կապված լինեն իրար և սննդի վերամշակման պրոցեսի հետ։ Նման դատողությունները Մայերին հանգեցրին որակական տեսքով էներգիայի պահպանման օրենքին[25].

Շարժումը, ջերմությունը և, ինչպես մտադրվել ենք ցույց տալ հետագայում, էլեկտրականությունը իրենցից ներկայացնում են երևույթներ, որոնք կարող են բերվել մի ուժի, որոնք փոփոխում են միմյանց և վերածվում են միմյանց որոշակի օրենքով։

Մայերին է պատկանում էներգիայի պահպանման օրենքի ընդհանրացումը երկնային մարմինների համար։ Նա պնդում է, որ Արեգակից Երկրին հաղորդվող ջերմությունը պետք է ուղեկցվի Արեգակի վրա քիմիական փոխակերպումներով կամ մեխանիկական աշխատանքով.

Բնության համընդհանուր օրենքը, որը թույլ չի տալիս որևէ բացառություն, ասում է, որ ջերմություն առաջանալու համար պետք է որոշակի ծախս։ Այդ ծախսը, որքան էլ բազմազան լինի այն, միշտ կարելի է բերել երկու գլխավոր կատեգորիաների, այն է՝ կամ քիմիական նյութի կամ մեխանիկական աշխատանքի։

Մայերն իր մտքերը շարադրել է 1841 թվականի «Ուժերի քանակական և որակական սահմանման մասին» աշխատանքում[31], որը սկզբում ուղարկում է այն ժամանակների առաջատար «Annalen der Physik und Chemie» ամսագրին։ Գլխավոր խմբագիր Յոհան Պոգենդորֆը մերժում է այն, որից հետո հոդվածը հրատարակվում է «Annalen der Chemie und Pharmacie», որտեղ մնում է չնկատված մինչև 1862 թվականը, երբ այն նկատում է Ռուդոլֆ Կլաուզիուսը։

Հերման Հերմհոլց[խմբագրել]

Հերման Հերմհոլցը առաջին անգամ պատկերացում ներմուծեց պոտենցիալ էներգիայի մասին։

Մայերի դատողությունները և Ջոուլի փորձերը ապացուցեցին մեխանիկական աշխատանքի և ջերմության համարժեքությունը՝ ցույց տալով, որ անջատված ջերմության քանակը հավասար է կատարված աշխատանքին և ընդհակառակը։ Սակայն էներգիայի պահպանման օրենքի ձևակերպումը ճիշտ տերմիններով առաջին անգամ տվել է Հերման Հելմհոլցը[25]։ Ի տարբերություն իր նախորդների, Հերմհոլցը էներգիայի պահպանման օրենքը կապում էր հավերժական շարժիչների գոյության անհնարինության հետ[32]։ Իր դատողություններում նա ելնում էր նյութի կառուցվածքի մեխանիստական պատկերացումներից՝ մատերիան ներկայացնելով որպես մեծաքանակ նյութական կետերի համախումբ, որոնք միմյանց հետ փոխազդում են կենտրոնական ուժերի միջոցով։ Ելնելով այդպիսի մոդելից՝ Հելմհոլցը ուժերի բոլոր տեսակները (որոնք ավելի ուշ կոչվեցին էներգիայի տեսակներ) հանգեցնում էր երկու մեծ տիպերի՝ շարժվող մարմինների կենդանի ուժերի (ժամանակակից ընկալումով՝ կինետիկ էներգիայի) և լարվածության ուժերի (պոտենցիալ էներգիայի)։ Այդ ուժերի պահպանման օրենքը նա ձևակերպեց հետևյալ տեսքով.[33]:

Aquote1.png

Բոլոր դեպքերում, երբ տեղի է ունենում շարժուն նյութական կետերի շարժում ձգողության և վանողության ուժերի ազդեցությամբ, որոնց մեծությունը կախված է միայն կետերի հեռավորությունից, լարվածության ուժի նվազումը միշտ հավասար է կենդանի ուժի աճին, և հակառակը, առաջինի աճը հանգեցնում է երկրորդի նվազմանը։ Այսպիսով, կենդանի ուժի և լարվածության ուժի գումարը միշտ հաստատուն է։

Aquote2.png

Այստեղ Հելմհոլցը կենդանի ուժ ասելով հասկանում է նյութական կետերի կինետիկ էներգիան, իսկ լարվածության ուժ ասելով՝ պոտենցիալ էներգիան։ Հելմհոլցն առաջարկում էր կատարված աշխատանքի չափ համարել mq² մեծության կեսը (որտեղ m-ը կետի զանգվածն է, q-ն՝ արագությունը), և ձևակերպված օրենքը արտահայտում էր հետևյալ մաթեմատիկական տեսքով՝[33]՝

- \sum\left[\int\limits_{r_{ab}}^{R_{ab}}\varphi_{ab}\mathrm dr_{ab}\right] = \sum\frac{m_aQ_a^2}{2} - \sum\frac{m_aq_a^2}{2},

որտեղ Q_a-ն և q_a-ն մարմնի արագություններն են համապատասխանաբար R_{ab} և r_{ab} դիրքերում, իսկ \varphi_{ab}-ն «r ուղղությամբ ազդող ուժի մեծությունն է» և «համարվում է դրական, եթե կա ձգողություն, և բացասական, եթե դիտվում է վանողություն...»[32]։ Այսպիսով, Հելմհոլցի գլխավոր նորամուծությունը պոտենցիալ ուժի և պոտենցիալ էներգիայի հասկացություններն էին, ինչը թույլ տվեց հետագայում ընդհանրացնել ֆիզիկայի բոլոր բաժինների էներգիայի պահպանման օրենքները։

«Էներգիա» բառի ներմուծումը[խմբագրել]

«Կենդանի ուժ» հասկացությունից «էներգիա» հասկացության անցումը տեղի ունեցավ 19-րդ դարի երկրորդ կեսի սկզբին և կապված էր այն բանի հետ, որ ուժ հասկացությունը արդեն զբաղեցրել էր նյուտոնյան մեխանիկան։ Էներգիայի հասկացությունն հենց այդ իմաստով դեռ 1807 թվականին ներմուծել էր Թոմաս Յունգը իր «Բնական փիլիսոփայության և մեխանիկական արվեստի դասախոսությունների դասընթաց» գրքում (անգլ.՝ «A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts»)[34][35]։ Էներգիայի առաջին խիստ սահմանումը տվել է Ուիլյամ Թոմսոնը 1852 թվականին «Ջերմության դինամիկական տեսություն մասին» աշխատանքում[25][36].

Aquote1.png

Որոշակի վիճակում գտնվող նյութական համակարգի էներգիա ասելով հասկանում են աշխատանքի մեխանիկական միավորներով չափված այն բոլոր գործողությունների գումարը, որոնք տեղի են ունենում համակարգից դուրս, երբ այն այդ վիճակից ցանկացած եղանակով անցնում է կամայական ընտրված զրոյական վիճակ։

Aquote2.png


Օրենքի փիլիսոփայական նշանակությունը[խմբագրել]

Էներգիայի պահպանման օրենքի բացահայտումը ազդեցություն ունեցավ ոչ միայն ֆիզիկական գիտությունների զարգացման վրա, այլև՝ 19-րդ դարի փիլիսոփայության։

Ռոբերտ Մայերի անվան հետ է կապվում այսպես կոչված բնագիտական էներգետիզմի ծագումը՝ մի աշխարհայացք, որը գոյություն ունեցող ամեն ինչ կապում է էներգիայի, նրա շարժման և փոխակերպման հետ։ Մասնավորապես, նյութը և ոգին այս պատկերացումով էներգիայի ձևեր են։ Էներգետիզմի այս ուղղության գլխավոր ներկայացուցիչը գերմանացի քիմիկոս Վիլհելմ Օստվալդն էր, որի փիլիսոփայության բարձրագույն իմպերատիվ դարձավ «Ոչ մի էներգիա իզուր մի՛ ծախսիր, օգտագործի՛ր այն» կարգախոսը։[37]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. Լև Լանդաու, Եվգենի Լիֆշից (1988) (ռուսերեն). ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. МЕХАНИКА (4-րդ տպ.). Մոսկվա: Наука. p. 25. ISBN 5-02-013850-9. http://pskgu.ru/ebooks/landau_01.html. 
  2. 2,0 2,1 Бутенин, 1971
  3. 3,0 3,1 Савельев И. В. Глава 3. Работа и энергия // Курс общей физики. Механика. — 4-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 89—99. — ISBN 5-17-002963-2
  4. Савельев И. В. Глава 9. Колебательное движение // Курс общей физики. Механика. — 4-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 228—229. — ISBN 5-17-002963-2
  5. Савельев И. В. Глава 9. Колебательное движение // Курс общей физики. Механика. — 4-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 234—235. — ISBN 5-17-002963-2
  6. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 123—147. — 520 с.
  7. 7,0 7,1 Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — С. 37—41.
  8. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — М., 1986. — С. 24—25. — («Теоретическая физика», том VI).
  9. 9,0 9,1 Г. Ламб Гидродинамика. — М., Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1947. — С. 36—38. — 928 с. — 8000 экз.
  10. . J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. — 2nd Ed. — John Wiley & Sons, Inc., 1975. — С. 189—190. — 848 с. — ISBN 047143132X
  11. И. Е. Тамм §92. Теорема Пойнтинга. Поток энергии // Основы теории электричества. — 10-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — С. 346—351. — 504 с. — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014244-1
  12. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 364. — 688 с.
  13. 13,0 13,1 Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 45—49. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  14. Д. И. Блохинцев. Основы квантовой механики. — 7-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2004. — С. 125—127. — 672 с. — 2000 экз. — ISBN 5-8114-0554-5
  15. Д. И. Блохинцев. Основы квантовой механики. — 7-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2004. — С. 94—97. — 672 с. — 2000 экз. — ISBN 5-8114-0554-5
  16. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 352. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  17. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 362—368. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  18. А. В. Петров. Законы сохранения в ОТО и их приложения. Конспект лекций.
  19. Кудрявцев П. С. Курс истории физики. — М.: Просвещение, 1974. — Т. I (глава VI). — С. 148.
  20. Гельфер Я. М. Законы сохранения. — М.: Наука, 1967. — 264 с.
  21. 21,0 21,1 21,2 21,3 100 великих научных открытий / Д. К. Самин. — М.: Вече, 2002. — С. 90—93. — 480 с. — 25 000 экз. — ISBN 5-7838-1085-1
  22. Михаил Васильевич Ломоносов. Избранные произведения в 2-х томах. М.: Наука. 1986
  23. Фигуровский Н. А. Очерк общей истории химии. От древнейших времен до начала XIX в. — М.: Наука, 1969
  24. Նամակի լատիներեն տեքստում խոսվում է շարժման պահպանման մասին. ռուսերեն թարգմանությունում խոսքն ուժի պահպանման մասին է։ Նամակում Լոմոնոսովն առաջին անգամ մեկ ձևակերպման մեջ է միավորում նյութի և շարժման պահպանման օրենքները և դա անվանում է «համընդհանուր բնական օրենք»։
  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 В. М. Дуков, История формулировки закона сохранения энергии
  26. Sadi Carnot. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres а développer cette puissance. — 1824. — 102 с.
  27. Sadi Carnot. Réflexions sur la puissance motrice du feu, et sur les machines propres à développer oette puissance. — Paris: Gauthier-Villar, Imprimeur-Libraire, 1878. — С. 94. — 102 с.
  28. Sadi Carnot. Réflexions sur la puissance motrice du feu, et sur les machines propres à développer oette puissance. — Paris: Gauthier-Villar, Imprimeur-Libraire, 1878. — С. 95. — 102 с.
  29. Donald S. L. Cardwell. James Joule: A Biography. — Manchester University Press, 1991. — С. 57. — 333 с. — ISBN 0-7190-3479-5
  30. James Prescott Joule. On the Calorific Effects of Magneto-Electricity, and on the Mechanical Value of Heat. — 1843. — 32 с.
  31. [ http://books.google.com/books?id=l4w8AAAAIAAJ&pg=RA2-PA233 von J. R. Mayer, Bemerkungen über die Kräfte der unbelebten Natur, Annalen der Chemie und, 1842]
  32. 32,0 32,1 Кудрявцев П. С. Курс истории физики. — М.: Просвещение, 1974. — Т. I (глава VI). — С. 148.
  33. 33,0 33,1 Hermann von Helmholtz. Über die Erhaltung der Kraft. — Berlin: Druck und Verlag von G. Reimer, 1847. — С. 17. — 72 с.
  34. Thomas Young. A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts: in two volumes. — London: Joseph Johnson, 1807. — Т. Vol. 1. — 796 с.
  35. Thomas Young. A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts: in two volumes. — London: Joseph Johnson, 1807. — Т. Vol. 2. — 738 с.
  36. William Thomson Kelvin. On the dynamical theory of heat. — 1852.
  37. Энергетизм // Философский энциклопедический словарь. — 2010.

Գրականություն[խմբագրել]