Քվանտային մեխանիկայի ձևակերպումն ըստ հետագծերով ինտեգրալների

Քվանտային մեխանիկայի ըստ հետագծերով ինտեգրալների ձևակերպումը քվանտային տեսության նկարագրություն է, որը ընդհանրացնում է դասական մեխանիկայի գործողության սկզբունքը։ Այն համակարգի հետագծի միակ, եզակի դասական նկարագրությունը փոխարինում է հնարավոր հետագծերի անվերջ գումարով կամ ֆունկցիոնալ ինտեգրալով՝ հաշվարկելու համար քվանտային լայնույթը։

Ըստ հետագծերի ինտեգրալների ձևակերպման հիմնական գաղափարը սկզբնապես առաջարկել է Նորբերտ Վիները, որը ներկայացրել է Վիների ինտեգրալը դիֆուզիայի և բրոունյան շարժման խնդիրները լուծելու համար։ Այս գաղափարը քվանտային մեխանիկայի լագրանժյանի կիրառության համար ընդլայնեց Պոլ Դիրակը 1933 թվականի իր հոդվածում։ Ամբողջական մեթոդը մշակեց Ռիչարդ Ֆեյնմանը 1948 թվականին։ Ավելի վաղ որոշ նախնական տարբերակներ մշակվել էին Ջոն Արչիբալդ Ուիլերի հետ դոկտորական թեզի շրջանակներում։ Սկզբնական դրդապատճառը Ուիլեր֊Ֆեյնմանի ադսորբցիայի տեսության քվանտամեխանիկական ձևակերպման ստացումն էր լագրանժյանի կիրառությամբ (ոչ թե համիլտոնյանի)։

Այս ձևակերպումը վճռորոշ ազդեցություն ունեցավ տեսական ֆիզիկայի հետագա զարգացման համար, քանի որ այն սիմետրիկ է տարածության և ժամանակի միջև։ Ի տարբերություն նախկին եղանակների, ըստ հետագծերի ինտեգրալը թույլ է տալիս ֆիզիկոսներին հեշտությամբ փոխել միևնույն քվանտային համակարգի կոորդինատների կանոնիկ նկարագրությունները։

Ըստ հետածերի ինտեգրումը նաև կապում է քվանտային և ստոխաստիկ պրոցեսները, և սա հիմք է ապահովում 1970֊ականների դաշտի քվանտային տեսության և ֆլուկտուացվող դաշտի դաշտի վիճակագրական տեսության միավորման համար երկրորդ կարգի փուլային անցման շրջակայքում։ Շրյոդինգերի հավասարումը կեղծ դիֆուզիոն հաստատունով դիֆուզիոն հավասարում է, իսկ ըստ հետագծերի ինտեգրալը բոլոր հնարավոր պատահական երերումները գումարելու մեթոդի անալիտիկ շարունակությունն է։ Այս պատճառով ըստ հետագծերի ինտեգրալները կիրառվել են բրունյան շարժման մեջ և դիֆուզիայում՝ մինչև քվանտային մեխանիկայում ներկայացվելը։

A կետից t₀ պահին դեպի B կետը շարժվող (t₁ պահին) մասնիկի քվանտային լայնույթի մեջ ներդրում ունեցող երեք հետագծերը։

Գործողության քվանտային սկզբունք

Քվանտային մեխանիկայում, ինչպես դասական մեխանիկայում, համիլտոնյանը ժամանակային տրանսլյացիայի գեներատորն է։ Սա նշանակում է, որ մի փոքր ավելի ուշ ժամանակի վիճակը տարբերվում է ներկա ժամանակի վիճակից համիլտոնյան օպերատորի ազդեցության արդյունքում (բազմապատկած բացասական կեղծ միավորով՝ i֊ով)։ Որոշված էներգիայով վիճակների համար սա դը Բրոյլի առնչության ձևակերպումն է հաճախության և էներգիայի միջև, և ընդհանրացված առնչությունը համատեղելի է դրա և վերադրման սկզբունքի հետ։

Բայց համիլտոնյանը դասական մեխանիկայում արտածվում է լագրանժյանից, որը ավելի հիմնարար մեծություն է և առնչվում է հարաբերականության հատուկ տեսությանը։ Համիլտոնյանը հաշվարկման տարբեր համակարգերում տարբեր է և սիմետրիայի այս տեսակը ակնհայտ չէ քվանտային մեխանիկայի սկզբնական ձևակերպման մեջ։

Համիլտոնյանը կոորդինատի և իմպուլսի ֆունկցիա է միևնույն պահի համար, և այն որոշում է կոորդինատը և իմպուլսը ավելի ուշ պահերի համար։ Լագրանժյանը կոորդինատի ֆունկցիա է տվյալ պահին և հաջորդ պահերին։ Այս երկուսի միջև կապը տրվում է Լեժանդրի ձևափոխություններով, իսկ շարժման դասական հավասարումները բնութագրող պայմանը (Էյլեր֊Լագրանժի հավասարումներ) այն է, որ գործողությունն առավելագույնն է։

Քվանտային մեխանիկայում դժվար է մեկնաբանել Լեժանդրի ձևափոխությունները, քանի որ շարժումը որոշակի հետագծով չէ։ Դասական մեխանիկայում դիսկրետացնելով ժամանակի մեջ, Լեժանդրի ձևափոխությունները դառնում են

$\epsilon H=p(t)(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon L\,$

և

$p={\partial L \over \partial {\dot {q}}}\,$

որտեղ մասնակի ածանցյալը ${\dot {q}}$ նկատմամբ ֆիքսված է պահում q(t + ε)֊ը։ Հակադարձ Լեժանդրի ձևափոխությունը

$\epsilon L=\epsilon p{\dot {q}}-\epsilon H\,$

որտեղ

${\dot {q}}={\partial H \over \partial p}\,$

և մասնակի ածանցյալն այժմ p֊ի նկատմամբ է ֆիքսված q֊ի դեպքում։

Քվանտային մեխանիկայում համակարգի վիճակը տարբեր վիճակների վերադրում է q֊ի կամ p֊ի տարբեր արժեքներով, և p և q մեծությունները կարող են ներկայացվել որպես ոչ կոմուտատիվ օպերատորներ։ p օպերատորը որոշված է միայն այն վիճակներում, որոնց դեպքում որոշված չէ q֊ն։ Այսպիսով պատկերացնենք ժամանակով անջատված երկու վիճակներ, որոնք գործում են լագրանժյանին համապատասխանող օպերատորի հետ.

$e^{i(p(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon H(p,q))}\,$

Եթե բանաձևում ներկայացված արտադրյալները վերաներկայացվում են որպես մատրիցների արտադրյալներ, առաջին գործակիցը ստացվում է

$e^{-ipq(t)}\,$

իսկ եթե սա նույնպես ներկայացվում է որպես մատրիցային բազմապատկում, ապա բոլոր վիճակներով գումարումն ինտեգրվում է բոլոր q(t)֊երով, և q(t)֊ն p(t) բազիսով փոխելու համար Ֆուրիեի ձևափոխություններ են անհրաժեշտ։ Սա՝ p բազիսը t պահին փոխելը, գործողություն է հիլբերտյան տարածության մեջ։

Այնուհետև

$e^{-i\epsilon H(p,q)}\,$

կամ անվերջ փոքր ժամանակի փոփոխությունն ապագայում;

Վերջապես վերջին գործակիցը ներկայացվում է

$e^{ipq(t+\epsilon )}\,$

ինչը նշանակում է բազիսը փոխել q֊ի ավելի ուշ ժամանակում։

Սա շատ չի տարբերվում սովորական ժամանակային զարգացումից․ H գործակիցը պարունակում է ամբողջ դինամիկ ինֆորմացիան․ այն վիճակն առաջ է տանում ժամանակի մեջ։ Առաջին և վերջին մասերը պարզապես Ֆուրիեի ձևափոխություններ են, որոնք մաքուր q բազիսը փոխում են միջանկյալ p բազիսի։

Համիլտոնյանը ֆունկցիա է p֊ից և q֊ից, այդ պատճառով այս մեծության էքսպենացումը և ամեն քայլին p բազիսը q֊ով փոխարինելը թույլ են տալիս H մատրիցային տարրն արտահայտել որպես պարզ ֆունկցիա յուրաքանչյուր ճանապարհի երկայնքով։ Այս ֆունկցիան դասական գործողության քվանտային նմանակն է։ Այս դիտարկումն առաջին անգամ արել է Դիրակը։

Ավելի ուշ Դիրակը ցույց տվեց, որ կարելի է էվոյլուցիայի օպերատորի քառակուսին վերցնել S-ներկայացումով՝

$e^{i\epsilon S}\,$

այսպիսով ստանալով էվոլյուցիայի օպերատորը t ժամանակից t + 2ε ժամանակում։ Եթե H-պատկերացումով ըստ միջանկյալ վիճակների գումարվող մեծությունը ոչ ակնհայտ մատրիցային տարր է, ապա S-ներկայացումով այն զուգորդվում է ճանապարհի հետ։ Այս օպերատորի ավելի մեծ աստիճանի սահմաններում այն վերակառուցում է լրիվ էվոլյուցիան երկու վիճակների միջև․ վաղ վիճակը, որին համապատասխանում են q(0) կոորդինատների ֆիքսված արժեքներ, և ավելի ուշ՝ ֆիքսված q(t)֊ով։ Արդյունքը գումարում է ըստ ճանապարհների փուլի հետ, որը քվանտային գործողություն է։ Նշված աշխատության մեջ Դիրակը ցույց է տալիս դասական սահմանը կառավարող փոքրագույն գործողության սկզբունքի խոր քվանտամեխանիկական պատճառները։

Ֆեյնմանի մեկնաբանություն

Դիրակի աշխատությունը թույլ չէր տալիս ճշգրիտ հաշվել ըստ հետագծերի ինտեգրումը, և նա ցույց չտվեց, որ հնարավոր է այս կանոնից վերականգնել Շրյոդինգերի հավասարումը կամ կանոնիկ կոմուտացիոն առնչությունները։ Դա իրականացրեց Ֆեյնմանը։

Ֆեյնմանը ցույց տվեց, որ Դիրակի քվանտային գործողությունը դեպքերի մեծ մասում պարզապես հավասար էր դասական գործողությանը՝ դիսկրետացրած համապատասխան կերպով։ Սա նշանակում է, որ դասական գործողությունը այն փուլն է, որը քվանտային էվոլյուցիայի արդյունքում ստացվում է երկու ֆիքսված կետերի միջև։ Նա առաջարկեց ամբողջ քվանտային մեխանիկան վերակառուցել ըստ հետևյալ պոստուլատների․

1. Իրադարձության հավանականությունը ստացվում է որպես կոմպլեքս թվի մոդուլի քառակուսի, որը կոչվում է լայնույթ։
2. Լայնույթը ստացվում է կոնֆիգուրացիոն տարածության մեջ բոլոր պատմությունների մերդրումների համատեղ գումարումից։
3. Պատմության ներդրումը լայնույթում ուղիղ համեմատական է $e^{iS/\hbar }$, որտեղ $\hbar$֊ը Պլանկի հաստատունն է, որը կարելի է միավորների համակարգի համապատասխան ընտրությամբ ընտրել հավասար մեկի, S֊ը տվյալ պատմության գործողությունն է,որը տրվում է լագրանժյաին ժամանակային ինտեգրալով համապատասխան ճանապարհի երկայնքով։

Տվյալ պրոցեսի համար լայնույթի լրիվ հավանականությունը գտնելու համար կարելի է լայնույթը գումարել կամ ինտեգրել համակարգի բոլոր հնարավո պատմությունների տարածությունում սկզբնական և վերջնական վիճակների միջև, ներառելով պատմությունները, որոնք ըստ դասական չափանիշների աբսուրդ են (օրինակ, մասնիկների արագությունները հետագծերում կարող են գերազանցել լույսի արագությանը)։ Մի տեղից մյուսը տրված ժամանակի ընթացքում շարժվող մեկ մասնիկ լայնույթի հաշվարկի մեջ անհրաժեշտ է ներառել այն պատմությունները, որոնցում մասնիկը զարմանահրաշ նախշեր է գծում, «թռնում է տիեզերք» և վերադառնում է և այլն։ Ըստ հետագծերի ինտեգրալը պատմությունների բոլոր այս լայնույթները համարում է հավասար մեծությամբ (մոդուլով), բայց փուլով (կոմպլեքս թվի լայնույթով) տարբեր։ Դասական պատմությունից էապես տարբերվող ներդրումները ճնշվում են միայն հակադիր փուլ ունեցող նման պատմությունների ներդրումների ինտերֆերենցիայով։

Ֆեյնմանը ցույց տվեց, որ դասական մեխանիկայի այս ձևակերպումը համարժեք է քվանտային մեխանիկային կանոնիկ մոտենալուն, երբ Համիլտոնյանը քառակուսային է ըստ իմպուլսի։ Ֆեյնմանյան սկզբունքներին համաձայն հաշվարկված լայնույթը նույնպես տվյալ գործողության համապատասխան համիլտոնյանի համար Շրյոդինգերի հավասարում է առաջացնում։

Գործողության դասական սկզբունքները իդեալական լինելու հետևանքով դժվարությունների են հանգեցնում․ սկզբնական պայմաններից ապագան կանխատեսելու փոխարեն դրանք կանխատեսում են տրված ապագային միտված ճանապարհը սկզբնական և վերջնական պայմանների կոմբինացիայի միջոցով, ասես թե համակարգը ինչ֊որ ձևով գիտի, թե ինչ վիճակի է գալու։ Ըստ հետագծերի ինտեգրալը բացատրում է գործողության դասական սկզբունքը քվանտային վերադրման տերմիններով։ Համակարգը պարտավոր չէ նախապես իմանալու, թե ուր է շարժվում․ ըստ հետագծերի ինտեգրալը պարզապես հաշվում է հավանականության լայնույթը ցանկացած տրված պրոցեսի համար, և հետագիծն ընթանում է ըստ բոլոր հնարավոր ուղղությունների։ Սակայն բավական երկար ժամանակ անց ինտերֆերենցիայի երևույթները երաշխավորում են, որ միայն գործողության ստացիոնար կետերի ներդրումներն էական հավանականությամբ արդյունք տալիս։ Իսկ գործողության կայուն կետերը համապատասխանում են դասական հետագծերին, այնպես որ համակարգը միջինում շարժվում է դասական ճանապարհով։