Շրյոդինգերի պատկերացում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Էրվին Շրյոդինգերը (1887 – 1961)
1933 թվականին Շրյոդինգերը Պոլ Դիրակի հետ համատեղ ֆիզիկայի Նոբելյան մրցանակ ստացավ քվանտային մեխանիկայում իր ներդրումների համար

Շրյոդինգերի պատկերացում[1], Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում[2][3]։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ քվանտային դիտարկելին (անգլ․ observable) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։

Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է վիճակի վեկտոր t0պահին վիճակի վեկտորին t պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է , և ունենք

Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի

տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։

Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ H, այսինքն՝ ։

Հիմքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է ψ(x, t) կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (բրե֊քիտ նշանակումներ, անգլ․՝ bra-ket notation), ։ Այս նշանակումը հիլբերտյան տարածության տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ ։

Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը պետք է տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ , ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի վիճակի վեկտորով, իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։

Էվոլյուցիայի օպերատոր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

U(t, t0) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա t0 պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ t պահին․

Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ունիտարություն

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝

։

Ուստի,

։
  • Նույնականություն

Եթե t = t0, ապա U֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ

  • Փակում

Էվոլյուցիան t0֊ից t կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ t0֊ից t1 միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ t1֊ից վերջնական t վիճակին։ Այսպիսով՝

։

Դիֆերենցիալ հավասարումը ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի համար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի t0 ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ t0 = 0 և այն գրել որպես U(tՇրյոդինգերի հավասարումը՝

որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի U օպերատորը՝ գրելու համար , կունենանք

։

Քանի որ հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը t = 0֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի

հավասարմանը։ Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի[Ն 1]

։

Քանի որ H֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝

։

Այսպիսով,

։

Նշենք, որ ֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է E սեփական արժեքով, կստանանք

։

Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։

Բոլոր պատկերացումների համեմատական աղյուսակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էվոլյուցիա Պատկերացում
ըստ Հայզենբերգի Փոխազդեցութան Շրյոդինգերի
«Քիտ» վիճակ հաստատուն
Դիտարկելի (անգլ․ observable) հաստատուն
խտության մատրից հաստատուն

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Այստեղ օգտագործել ենք այն փաստը, որ t = 0, U(t)֊ն պետք է կրճատվի նույնական օպերատորի
  1. «Schrödinger representation»։ Encyclopedia of Mathematics։ Վերցված է 3 September 2013 
  2. Parker C.B. (1994)։ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.)։ McGraw Hill։ էջեր 786, 1261։ ISBN 0-07-051400-3 
  3. Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht (2010)։ Quantum mechanics։ Schuam's outline series (2nd ed.)։ McGraw Hill։ էջ 70։ ISBN 9-780071-623582 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Cohen-Tannoudji Claude, Bernard Diu, Frank Laloe (1977)։ Quantum Mechanics (Volume One)։ Paris: Wiley։ էջեր 312–314։ ISBN 0-471-16433-X 
  • Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
  • Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
  • L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977)։ Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory։ Vol. 3 (3rd ed.)։ Pergamon Press։ ISBN 978-0-08-020940-1  Online copy
  • R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
  • J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .