Շրյոդինգերի պատկերացում
Քվանտային մեխանիկա |
---|
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Erwin_Schrodinger2.jpg/225px-Erwin_Schrodinger2.jpg)
1933 թվականին Շրյոդինգերը Պոլ Դիրակի հետ համատեղ ֆիզիկայի Նոբելյան մրցանակ ստացավ քվանտային մեխանիկայում իր ներդրումների համար
Շրյոդինգերի պատկերացում[1], Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում[2][3]։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ քվանտային դիտարկելին (անգլ․ observable) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։
Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է վիճակի վեկտոր t0պահին վիճակի վեկտորին t պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է , և ունենք
Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի
տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։
Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ H, այսինքն՝ ։
Հիմքը
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է ψ(x, t) կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (բրե֊քիտ նշանակումներ, անգլ․՝ bra-ket notation), ։ Այս նշանակումը հիլբերտյան տարածության տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ ։
Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը պետք է տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ , ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի վիճակի վեկտորով, իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։
Էվոլյուցիայի օպերատոր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Սահմանում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]U(t, t0) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա t0 պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ t պահին․
Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք
Հատկություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Ունիտարություն
Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝
- ։
Ուստի,
- ։
- Նույնականություն
Եթե t = t0, ապա U֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ
- Փակում
Էվոլյուցիան t0֊ից t կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ t0֊ից t1 միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ t1֊ից վերջնական t վիճակին։ Այսպիսով՝
- ։
Դիֆերենցիալ հավասարումը ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի համար
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի t0 ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ t0 = 0 և այն գրել որպես U(t)։ Շրյոդինգերի հավասարումը՝
որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի U օպերատորը՝ գրելու համար , կունենանք
- ։
Քանի որ հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը t = 0֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի
հավասարմանը։ Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի[Ն 1]
- ։
Քանի որ H֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝
- ։
Այսպիսով,
- ։
Նշենք, որ ֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է E սեփական արժեքով, կստանանք
- ։
Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։
Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես
Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես
որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։
Բոլոր պատկերացումների համեմատական աղյուսակ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Էվոլյուցիա | Պատկերացում | ||
ըստ | Հայզենբերգի | Փոխազդեցութան | Շրյոդինգերի |
«Քիտ» վիճակ | հաստատուն | ||
Դիտարկելի (անգլ․ observable) | հաստատուն | ||
խտության մատրից | հաստատուն |
Տես նաև
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Այստեղ օգտագործել ենք այն փաստը, որ t = 0, U(t)֊ն պետք է կրճատվի նույնական օպերատորի
- ↑ «Schrödinger representation». Encyclopedia of Mathematics. Վերցված է 2013 թ․ սեպտեմբերի 3-ին.
- ↑ Parker, C.B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). McGraw Hill. էջեր 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
- ↑ Y. Peleg; R. Pnini; E. Zaarur; E. Hecht (2010). Quantum mechanics. Schuam's outline series (2nd ed.). McGraw Hill. էջ 70. ISBN 9-780071-623582.
Արտաքին հղումներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. էջեր 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
- Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
- Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
- L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
{{cite book}}
:|volume=
has extra text (օգնություն) Online copy - R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
- J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .