Շրյոդինգերի պատկերացում

Քվանտային մեխանիկա
$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$ Անորոշությունների սկզբունք
Հիմնարար հասկացություններ Դեկոհերենտություն Էռենֆեստի թեորեմ Չափումներ Հավանականության ամպլիտուդ Ոչ տեղայնություն Վերադրում Թունելավորում Լրացման սկզբունք Մասնիկ-ալիքային երկվություն Պաուլիի սկզբունք Քվանտային վիճակներ Քվանտային խճճվածություն Անորոշությունների սկզբունք Ալիքային ֆունկցիա
Գիտափորձեր Բելի անհավասարություն Դեյվիսոն-Ջերմերի Շտեռն-Գեռլախի Շրյոդինգերի կատու Կրկնակի ճեղքով Պոպերի փորձ Աֆշարի փորձ Էլեկտրոնների դիֆրակցիա
Ձևակերպումներ Հայզենբերգի պատկերացում Շրյոդինգերի պատկերացում Ըստ հետագծերով ինտեգրում Մատրիցային մեխանիկա
Հավասարումներ Դիրակի հավասարում Պաուլիի հավասարում Շրյոդինգերի հավասարում Կլայն-Գորդոնի հավասարում Ռիդբերգի բանաձև
Մեկնաբանություններ Մեկնաբանություններ Քվանտային տրամաբանություն Բազմաթիվ աշխարհներ Անհակասական պատմություններ Կոպենհագենյան Թաքնված պարամետրեր
Գիտնականներ Այնշտայն Բոզե Բոռն Բոր դը Բրոյլ Դիրակ Զոմմերֆելդ Էռենֆեստ Հայզենբերգ Շրյոդինգեր Պաուլի Պլանկ Ֆեյնման Զեեման Ցայլինգեր Բել Բոմ Էվերեթ Լանդաու Վին Կրամերս ֆոն Նեյման Վիգներ
Հիմքը Փակագծային նշանակումներ Դասական մեխանիկա Համիլտոնյան Ինտերֆերենցիա Հին քվանտային տեսություն

Էրվին Շրյոդինգերը (1887 – 1961)
1933 թվականին Շրյոդինգերը Պոլ Դիրակի հետ համատեղ ֆիզիկայի Նոբելյան մրցանակ ստացավ քվանտային մեխանիկայում իր ներդրումների համար

Շրյոդինգերի պատկերացում, Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ քվանտային դիտարկելին (անգլ․ observable) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։

Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է $|\psi (t_{0})\rangle$ վիճակի վեկտոր t₀պահին $|\psi (t)\rangle$ վիճակի վեկտորին t պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է $U(t,t_{0})$, և ունենք

$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$

Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի

$U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar },$

տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։

Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ H, այսինքն՝ $\partial _{t}H=0$։

Հիմքը

Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է ψ(x, t) կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (բրե֊քիտ նշանակումներ, անգլ․՝ bra-ket notation), $|\psi \rangle$։ Այս նշանակումը հիլբերտյան տարածության տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է $|\psi \rangle$ «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ $|\psi '\rangle$։

Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը պետք է տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել $|\psi \rangle$ վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ $\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle$, ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի $|\psi \rangle$ վիճակի վեկտորով, ${\hat {p}}$ իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։

Էվոլյուցիայի օպերատոր

Սահմանում

U(t, t₀) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա t₀ պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ t պահին․

$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$

Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք

$\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).$

Հատկություններ

• Ունիտարություն

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝

$\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$։

Ուստի,

$U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I$։

• Նույնականություն

Եթե t = t₀, ապա U֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ

$|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .$

• Փակում

Էվոլյուցիան t₀֊ից t կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ t₀֊ից t₁ միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ t₁֊ից վերջնական t վիճակին։ Այսպիսով՝

$U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})$։

Դիֆերենցիալ հավասարումը ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի համար

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի t₀ ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ t₀ = 0 և այն գրել որպես U(t)։ Շրյոդինգերի հավասարումը՝

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,$

որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի U օպերատորը՝ գրելու համար $|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle$, կունենանք

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle$։

Քանի որ $|\psi (0)\rangle$ հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը t = 0֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)$

հավասարմանը։ Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի

$U(t)=e^{-iHt/\hbar }$։

Քանի որ H֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝

$e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots$։

Այսպիսով,

$|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle$։

Նշենք, որ $|\psi (0)\rangle$֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է E սեփական արժեքով, կստանանք

$|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle$։

Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

$U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),$

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

$U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),$

որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։

Բոլոր պատկերացումների համեմատական աղյուսակ

Էվոլյուցիա	Պատկերացում
ըստ	Հայզենբերգի	Փոխազդեցութան	Շրյոդինգերի
«Քիտ» վիճակ	հաստատուն	$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}~t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$	$|\psi _{S}(t)\rangle =e^{-iH_{S}~t/\hbar }|\psi _{S}(0)\rangle$
Դիտարկելի (անգլ․ observable)	$A_{H}(t)=e^{iH_{S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{S}~t/\hbar }$	$A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }$	հաստատուն
խտության մատրից	հաստատուն	$\rho _{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }$	$\rho _{S}(t)=e^{-iH_{S}~t/\hbar }\rho _{S}(0)e^{iH_{S}~t/\hbar }$

Տես նաև

• Հայզենբերգի պատկերացում
• Փոխազդեցության պատկերացում

Արտաքին հղումներ

• Cohen-Tannoudji Claude, Bernard Diu, Frank Laloe (1977)։ Quantum Mechanics (Volume One)։ Paris: Wiley։ էջեր 312–314։ ISBN 0-471-16433-X 
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977)։ Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory։ Vol. 3 (3rd ed.)։ Pergamon Press։ ISBN 978-0-08-020940-1  Online copy
• R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
• J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .