Հավանականության բաշխում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Հավանականության բաշխում, օրենք է, որը նկարագրում է պատահական մեծության նշանակալիության հատվածը և դրանց առաջացման հավանականությունները։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում 1. Ենթադրենք տրված է հավանականային հարթություն, և դրա վրա որոշված է պատահակական մեծություն։ Հիմնականում -ը համարվում է չափելի հարթության չափելի ֆունկցիա , որտեղ չափելի հարթության մեջ, նշանակում է Բորելյան բազմությունը -ով։ Այդ դեպքում պատահական մեծությունը առաջացնում է հավանականային մեծություն -ի վրա հետևյալ եղանակով՝

մեծությունը կոչվում է պատահական մեծության բաշխում։ Այլ կերպ ասած, , այդպիսով սահմանում է այն բանի հավանականությունը, որ պատահական մեծությունը ընկնում է բազմության մեջ։

Բաշխում առաջադրելու եղանակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում 2. Ֆունկցիա կոչվում է պատահական մեծության (կոմուլյատիվ) ֆունկցիայի բաշխում։ Հավանականության հատկություններից բխում է

Թեորեմ 1. բաշխման ֆունկցիան ցանկացած պատահական մեծության բավարարում է հետևյալ երեք հատկություններով։

  1. —սկզբնական ֆունկցիա,
  2. ;
  3. անընդհատ է աջից։

Այն փաստից, որ Բորելյան բազմությունը իրական թվերի մեջ առաջանում է տիպի ինտերվալների ընտանիքից, հետևում է

Թեորեմ 2. Ցանկացած ֆունկցիա, որը բավարարում է վերը նշված երեք հատկություններին, համարվում է ինչ-որ -ի (բաշխում) բաշխման ֆունկցիա։

Հավանականությունների բաշխումների համար, որոնք ունեն որոշակի հատկություններ, կան ավելի առաջադրելու համար հարմարավետ եղանակներ։

Դիսկրետ բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում 3. Պատահական մեծությունը համարվում է պարզ կամ դիսկրետ, եթե այն ընդունում է ոչ ավելի, քան հաշվելի թվերի նշանակությունը։ Այսինքն՝ , որտեղ ՝ մասնատում։

Այդ դեպքում պարզ պատահական մեծության բաշխումը տրվում է : Նշանակելով ՝ կարելի է նշանակել : Ակնհայտ է, որ : Օգտագործելով թվային ադիտիվություն, հեշտությամբ ցույց կտանք, որ այդ ֆունկցիան միանշանակ սահմանում է -ը։

Սահմանում 4. Ֆունկցիա , որտեղ հաճախ անվանում են դիսկրետ բաշխում։

Օրինակ 1. Ենթադրենք ֆունկցիան նշանակված է այնպես, որ և : Այդ ֆունկցիան ունի , որի համար (Բերնուլլի բաշխում)։

Թեորեմ 3. Դիսկրետ բաշխումն ունի հետևյալ հատկությունները.

1.

2.

Վանդակավոր բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում 5. Վանդակավոր են կոչվում ֆունկցիայի դիսկրետ բաշխմամբ բաշխումները, և ֆունկցիայի բաշխման խզման կետից ստեղծում են , որտեղ -ն իրական թիվ է, -ը ամբողջ թիվ է։ [1]

Օրինակ 2. Պուասոնի բաշխում համարվում է վանդակավոր։

Օրինակ 3. Բինոմական բաշխումը համարվում է վանդակավոր։

Թեորեմ 4. Որպեսզի ֆունկցիայի բաշխումը լինի վանդակավոր քայլով, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի դրա բնութագրիչ ֆունկցիան բավարարի պայմանին։[1]

Ապացույց։

Անհրաժեշտ պայման։ Նշանակենք բազմություն, որը պարունակում է ֆունկցիայի բոլոր խզման կետերը և : Այդ դեպքում : Հետևում է և :

Բավարար պայման։ Եթե , ապա ինչ-որ իրական թվի համար։ Այդ դեպքում ։ Այս հավասարությունից հետևում է : Ֆունկցիայի տակ գտնվող ֆունկցիայի ոչ բացասականության դեպքում, բազմության չափը հավասար է զրոյի։ Այդպիսով ֆունկցիայի բաշխումը կարող է ունենալ սեփական բարձրության կետերով կետեր միայն բազմությունից։[1] Այս թեորեմի հետևանքն է վանդակավոր բաշխման հետևյալ հատկությունները։ Եթե ֆունկցիայի քայլով վանդակավոր բաշխումը համարվում է և ֆունկցիաների բաշխման շղթա , ապա -ը և -ը նույնպես համարվում են վանդակավոր քայլով։ [1]։

Ապացույց։ Նշանակենք բնութագրիչ ֆունկցիաներով ֆունկցիաների բաշխումները։ Այդ դեպքում : Քանի որ ցանկացած բնութագրիչ ֆունկցիայի մոդուլը իրական թվերի առանցքի վրա չի գերազանցում -ը, ապա և ապացույցը ավարտված է։[1]

Անընդհատ բաշխումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անընդհատ բաշխումը ատոմներ չունեցող բաշխում է։

Բացարձակապես անընդհատ բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բացարձակապես անընդհատ անվանում են այն բաշխումները, որոնք ունեն հավանականության խտություն։ Այդպիսի բաշխումների կոմուլյատիվ ֆունկցիաները բացարձակ անընդհատ են Լեբեգի իմաստով։

Սահմանում 6. պատահական մեծության բաշխումը կոչվում է բացարձակապես անընդհատ, եթե կա ոչ բացասական այնպիսի ֆունկցիա, որ : ֆունկցիան այդ դեպքում կոչվում է պատահական մեծության բաշխման խտություն։

Օրինակ 4. Ենթադրենք , երբ , և ՝ հակառակ դեպքում։ Այդ ժամանակ , եթե :

Ակնհայտ է, որ ցանկացած խտության բաշխման համար ճիշտ է։ Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը։

Թեորեմ 5. Եթե ֆունկցիան այնպիսին է, որ

  1. ;
  2. ,

ապա գոյություն ունի բաշխում այնպիսին, որ -ը համարվում է դրա խտությունը։

Նյուտոնի-Լեյբնիցի բանաձևի ուղղակի կիրառումը հանգեցնում է պարզ հարաբերության կոմուլյատիվ ֆունկցիայի և բացարձակ անընդհատ բաշխման խտության միջև։

Թեորեմ 6. Եթե -ը բաշխման անընդհատ խտությունն է, իսկ -ը նրա կոմուլյատիվ ֆունկցիան, ապա

  1. ։

Էմպիրիկ տվյալներով բաշխման կառուցման ժամանակ պետք է խուսափել հաշվարկի կլորացման սխալանքից։

Սինգուլյար բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սինգուլյար են կոչվում այն բաշխումները, որոնք կենտրոնացած են զրոյական չափողականության բազմության վրա (սովորաբար Լեբեգի չափ

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.