Հաշիվ (մաթեմատիկա)

Հաշիվ կամ հաշվում, թվաբանության մեջ որոշել միասեռ («հաշվելի») առարկաների քանակ, այսինքն ՝ հաստատել փոխմիարժեք համապատասխանություն այս օբյեկտների բազմության և բնական թվերի շարքի սկզբի միջև^[1]։

Պատմություն

Հաշվելու հասկացությունն ակնհայտ չէ և պարտադիր չէ շատ տարրական խնդիրների համար, որոնց լուծման համար այսօր կիրառվում է առարկաների հաշվում։ Օրինակ՝ նախամարդ որսորդը չէր հաշվում իր ուղեկիցներին, բայց համոզվում էր, որ ոչ ոք հետ չի մնացել՝ պարզապես հայացք գցելով խմբի կողմը։ Նույնիսկ բադն ունի նմանատիպ հմտություններ, որը կարողանում է հասկանալ՝ արդյոք բոլոր բադերը հետևում են իրեն։ Նմանապես, Ջեյմս Մորգանը ավստրալացի աբորիգենների շրջանում դիտել է օձաձկները արմատներով փոխանակումը, որոի ժամանակ նրանք առարկաները շարում էին երկու համեմատվող շարքերով^[2]։

Առաջին վերացարկումը տեղի է ունեցել, երբ համեմատության համար սկսել են օգտագործել ձեռքերի և ոտքերի մատները^[1]^[3]։ Միկլուհո-Մակլեյը նկարագրել է խմբային տասնորդական հաշվարկը պապուասների շրջանում (անդամներերից մեկը ծալում է իր մատները ըստ միավորների, մյուսը՝ ասենք, «ձեռքի երկուսը»)^[4]։ Ահա թե ինչպես են առաջացել տասնորդական թվային համակարգի նախադրյալները, որոշ լեզուներ պահպանել են 20 հիմքով հաշվարկման համակարգերի հիշողությունը (որքերի և ձեռքերի և մատներ՝ վրացիները), 11 հիմքով (ձեռքի մատներ գումարած մեկ ձեռք՝ բնիկ նորզելանդացիները) և 5 հիմքով (մեկ ձեռքի մատները՝ շումերները, ացտեկները)^[5]։ Հանդիպել են նաև հաշվարկման երկուական թվային համակարգ, օրինակ, ինչպես Տորես նեղուցի կղզիներից մեկի ցեղերը․

1 = Ուրապուն
2 = Օկոզա
3 = Օկոզա Ուրապուն
4 = Օկոզա Օկոզա^[6]։

Արդյունքների գրանցում

Հաշվարկի արդյունքներն ի սկզբանե գրանցվել են խազերի և հանգույցների տեսքով։ Թվերի գալուստով առաջացել է գրառմանան երեք եղանակ^[7]՝

Ադիտիվ կամ հավելումով ( $MN$ նշանակում է $M$ $+$ $N$ )
Սուբտրակտիվ կամ պակասեցումով (MN նշանակում է $M$ $-$ $N$ , որտեղ $M$ $<$ $N$ )
Մուլտիպլիկատիվ կամ բազմապատկող ( $MN$ նշանակում է $M$ $*$ $N$ )։

Հավելումային և հանող նշումների համադրության ամենահայտնի օրինակը հռոմեական թվերն են, որտեղ $IX$ $=$ $9$ , $XI$ $=$ $11$ : Հաշվարկման դիրքային համակարգի գյուտը (հիմք 60) սկսվում է հին Բաբելոնից^[8]։

Ուսուցում

Հաշվել սովորելը սովորաբար կատարվում է նախադպրոցական տարիքում։ Երեխան երեք տարեկանից հետո կարողանում է տիրապետել երկու մեծություների համեմատությանը։ Դասավանդելիս առանձնացվում են կարգային և քանակական թվանշաններ (այսինքն՝ կարգային և քանակական թվերի օգտագործումը)։

Տ.Ս.Բուդկոն առանձնացնում է թվաբանության ուսուցման ոլորտում մանկավարժության զարգացման հետևյալ փուլերը[^[9]՝

XVI—XIX դար՝ մաթեմատիկական ուսուցման գաղափարի առաջացումը 4-7 տարեկանում
- XVII դար՝ Յան Ամոս Կոմենսկի՝ առաջարկել է ուսուցման հաշվարկ 20-ի սահմաններում 4-6 տարեկանում
- XVIII դար՝ Յոհան Հայնրիխ Պեստալոցցի՝ սովորել կոնկրետ առարկաների հաշվարկ (թիվ - ձև - բառ)
- XIX դար՝
  - Կոնստանտին Ուշինսկի՝ հաշվման ուսուցում խմբերով, տասնյակներով
  - Ա. Վ. Գուբե -ն առաջարկեց ուսուցման «մենագրական» մեթոդ՝ երեխաները պետք է դիտարկեն թվերը 100-ի սահմաններում, ներկայացված կետերի կամ գծերի տեսքով, համեմատեն թվերը միմյանց հետ՝ որոշելով, թե որ թիվն է ավելի մեծ և որքանով։ Գրուբեն ենթադրում էր, որ նման դիտարկումների արդյունքում երեխաները կյուրացնեն թվաբանական գործողությունները։ Վ.Ա.Լայը առաջարկեց կետերի փոխարեն օգտագործել հատուկ պատկերներ, Վ.Ա.Եվտուշևսկին առաջարկեց թվերը սահմանափակել մինչև 20։
  - Պ.Ս. Գուրևը, Ադոլֆ Դիստերվեգը հնարել են «հաշվարկային մեթոդը» (նաև «գործողությունների ուսուցման մեթոդ»), որում երեխաները նախ հաշվում են կոնկրետ հավաքածուներ, այնուհետև թվաբանական գործողությունները տասնյակներով (նախ՝ մինչև 10, հետո մինչև 20 և այլն)։
- XX դար՝ Ս. Ա. Քեմնիցը «Մաթեմատիկան մանկապարտեզում» գրքում (1912) շարադրել է ծրագրի բոլոր բաժինները, որոնք օգտագործվում են մինչ օրս։

Ծանոթագրություններ

↑ ^1,0 ^1,1 Березкина, 1970, էջ 9
↑ «Early Human Counting Tools». Math Timeline. Վերցված է 2024 թ․ մարտի 16-ին.
↑ Macey, Samuel L. (2010 թ․ նոյեմբերի 1). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure (անգլերեն). University of Georgia Press. ISBN 978-0-8203-3796-8.
↑ Березкина, 1970, էջ 10
↑ Березкина, 1970, էջ 11
↑ Березкина, 1970, էջ 12
↑ Березкина, 1970, էջ 12—13
↑ Березкина 2, 1970, էջ 37
↑ Будько, 2016, էջ 27—28

Գրականություն

Э. И. Березкина, Б. А. Розенфельд Доисторические времена // История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / А. П. Юшкевич. — Москва: Наука, 1970. — Т. I. — С. 9-15. — 360 с.
Э. И. Березкина, А. П. Юшкевич Вавилон // История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / А. П. Юшкевич. — Москва: Наука, 1970. — Т. I. — С. 34-57. — 360 с.
Будько Т. С. Теория и методика формирования элементарных математических представлений у дошкольников / Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина. — Брест: Издательство БрГУ, 2016. — 193 с.(չաշխատող հղում)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Հաշիվ (մաթեմատիկա)» հոդվածին։

[Березкина—1970——9-1] 1,0 ^1,1 Березкина, 1970, էջ 9

[2] «Early Human Counting Tools». Math Timeline. Վերցված է 2024 թ․ մարտի 16-ին.

[3] Macey, Samuel L. (2010 թ․ նոյեմբերի 1). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure (անգլերեն). University of Georgia Press. ISBN 978-0-8203-3796-8.

[Березкина—1970——10-4] Березкина, 1970, էջ 10

[Березкина—1970——11-5] Березкина, 1970, էջ 11

[Березкина—1970——12-6] Березкина, 1970, էջ 12

[Березкина—1970——12—13-7] Березкина, 1970, էջ 12—13

[Березкина_2—1970——37-8] Березкина 2, 1970, էջ 37

[Будько—2016——27—28-9] Будько, 2016, էջ 27—28

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]