Մոտարկում

Մոտարկում (լատին․՝ proxima - մոտակա), ապրոքսիմացիա, գիտական մեթոդ, երբ առարկան փոխարինվում է որոշակի իմաստով բնօրինակին մոտ, բայց ավելի պարզ մեկ այլ առարկայով։

Մոտարկումը թույլ է տալիս ուսումնասիրել օբյեկտի թվային բնութագրերը և որակական հատկությունները՝ խնդիրը հասցնելով ավելի պարզ կամ հարմար առարկաների ուսումնասիրությանը․ մասնավորապես այնպիսի առարկաների, որոնց բնութագրերը հեշտությամբ հաշվարկվում են կամ որոնց հատկություններն արդեն հայտնի են։ Մոտարկումը օգտակար է նաև այն իրավիճակներում, երբ տեղեկության պակասն անհնարին է դարձնում ճշգրիտ մոդելի կիրառումը։ Մոտարկման տեսակը կախված է հասանելի տեղեկությունից, ճշգրտության անհրաժեշտ աստիճանից, մոտարկվող տեղեկատվության նկատմամբ լուծվող խնդրի զգայունությունից, և մոտարկման արդյունքում հնարավոր ժամանակի ու էներգիայի խնայողությունից։

Թվերի տեսությունն ուսումնասիրում է Դիոֆանտի^[1], մասնավորապես` ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի մոտարկումը։ Երկրաչափության մեջ դիտարկվում է բեկյալ կորերի մոտարկումը։ Մաթեմատիկայի որոշ բաժիններ, ըստ էության, ամբողջությամբ նվիրված են ապրոքսիմացիային^[2], օրինակ՝ ֆունկցիայի մոտարկումների տեսությունը կամ վերլուծության թվային մեթոդները։

Փիլիսոփայության մեջ՝ փոխաբերական իմաստով, ապրոոքսիմացիան կիրառվում է որպես մոտավորության մեթոդ՝ մոտավոր, ոչ վերջնական բնույթի ցուցիչ։ Օրինակ՝ Սյորեն Կիերկեգորն ակտիվորեն օգտագործել է «մոտավորություն» եզրույթն իր «Վերջնական ոչ գիտական վերջաբան»-ում։

Ստուգաբանություն և Կիրառություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ապրոքսիմացիա բառի արմատը լատին․՝ approximatus-ն է, որն իր հերթին ունի լատին․՝ proxima — շատ մոտիկ իմաստը և լատին․՝ ad- (նկատենք, որ p-ից առաջ ad-ն ասիմիլյացիայով դառնում է ap) նախածանցը, որը նշանակում է դեպի^[3]։ «Ապրոքսիմացիա» կամ «մոտարկել» բառերը հատուկ են տեխնիկական ու գիտական տեքստերին։ Ամենօրյա խոսակցության մեջ ավելի հաճախ կիրառվում են «մոտավորապես», «համազոր», «գրեթե» և նման այլ բառեր։

Եզրույթը կիրառելի է օբյեկտների տարբեր տարբեր հատկությունների համար (օրինակ՝ արժեք, քանակ, պատկեր, նկարագրություն), որոնք գրեթե բայց ոչ ամբողջությամբ, ճշգրիտ են (օրինակ՝ «ժամը մոտավորապես 10-ն է»)։ Չնայած «մոտարկում» եզրույթն ամենից հաճախ վերաբերում է թվերին, այն պարբերաբար կիրառելի է նաև մաթեմատիկական ֆունկցիաների, ուրվապատկերների ու ֆիզիկական օրենքների նկատմամբ։

Մաթեմատիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մոտարկումների տեսությունը մաթեմատիկայի ճյուղերից է՝ ֆունկցիոնալ անալիզի քանակական մասը։ Դիոֆանտի մոտարկումն ուսումնասիրում է իրական թվերի մոտարկումը ռացիոնալ թվերով։ Ապրոքսիմացիան սովորաբար կիրառվում է, երբ ճշգրիտ թիվն անհայտ է, կամ երբ այն հաշվարկելը դժվար է, սակայն գոյություն ունի ինչ-որ հայտնի գրառում որով կարող ենք ներկայացնել իրական արժեքը՝ առանց էական տարբերությունների։ Ապրոքսիմացիան նաև կիրառվում է իռացիոնալ թվերի գրառման համար․ ինչպես, օրինակ π թիվը կարող ենք գրառել որպես 3.14159, կամ √2-ը՝ որպես 1.414:

Երբեմն իմաստալից թվանշանների արհամարհումն առաջացնում է թվային մոտարկում։ Ցանկացած հաշվարկում հնարավոր է մոտարկման տանող կլորացման սխալ։ Սովորական քանոնները, լոգարիթմային աղյուսակները և հաշվիչները ոչ-տարրական հաշվարկների համար միայն մոտավոր պատասխաններ են տալիս։ Համակարգչային հաշվարկների պատասխանները ներկայացված են սահմանափակ իմաստալից թվանշաններով՝ ինչը հանգեցնում է թվային մոտարկման․ չնայած հնարավոր է համակարգիչը ծրագրավորել ավելի շատ իմաստալից թվանշաններ օգտագործել^[4]։ Ապրոքսիմացիա կարող է տեղի ունենալ, երբ տասնորդական համակարգի թիվն անհնար է ներկայացնել երկրորդական համակարգի թվերի վերջավոր քանակությամբ։

Ապրոքսիմացիայի հետ է առնչվում նաև ֆունկցիայի ասիմպտոտիկ արժեքը․ ֆունկցիայի արժեքը երբ իր մեկ կամ մի քանի պարամետր կամայականորեն մեծ արժեքներ են ընդունում։ Օրինակ․ $(k/2)+(k/4)+(k/8)+...+(k/2^{n})$ գումարը՝ $n$ ֊ի բավարար մեծ արժեքի համար, ասիմպտոտիկորեն հավասար է $k$ -ի։

Ցավոք, ապրոքսիմացիան և ասիմպտոտիկ հավասարությունը տարբեր տեքստերում տարբեր նշանակումներով է հանդիպում։ Որոշ տեղերում ≈ նշանակումն օգտագործվում է մոտավոր հավասարության, իսկ ~-ն՝ ասիմպտոտիկ հավասարության համար։ Այլ տեղերում՝ ճիշտ հակառակը։

Կիրառման օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինտեգրալի մոտավոր հաշվարկի համար օգտագործվում է ուղղանկյունների կամ սեղանների բանաձևը, կամ՝ ավելի բարդ Սիմփսոնի բանաձևը։ Փաստորեն տեղի է ունենում ինտեգրալատակ ֆունկցիայի և աստիճանային ֆունկցիայի կամ ներգծված բեկյալի մոտարկում, որի ինտեգրալը հաշվարկվում է ակնթարթորեն։
Բարդ ֆունկցիաների հաշվարկման համար հաճախ օգտագործվում է ֆունկցիային արժեքների տիրույթի մոտավոր հաշվարկը։

Մնացորդային անդամ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մնացորդային անդամ, տրված ֆունկցիայի տարբերությունը իրեն մոտարկող ֆունկցիայից։ Այսպիսով, մնացորդի գնահատումը դիտարկված մոտարկման ճշգրտության գնահատումն է։ Այս տերմինն օգտագործվում է, օրինակ, Թեյլորի շարքի^[5] բանաձևում։

Գիտություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գիտական փորձերում ինքնըստինքյան մոտարկման կարիք է առաջանում։ Գիտական տեսության կանխատեսումները կարող են իրական չափումներից տարբերվել։ Սա կարող է պատահել, քանի որ իրական իրավիճակի որոշ գործոններ հաշվի չեն առնվել տեսության մեջ։ Օրինակ․ պարզ հաշվարկները կարող են արհամարհել օդի դիմադրությունը։ Այսպես, տեսությունն իրականության մոտարկում է։ Տարբերությունները կարող են նաև չափողական տեխնիկայի ֆիզիկական սահմանափակումների արդյունք լինել։ Այդ դեպքում՝ չափումն է իրական արժեքի մոտարկում։

Գիտության պատմությունը ցույց է տալիս, որ ավելի վաղ ժամանակաշրջանի թեորեմներն ու օրենքներն ավելի խորը ուսումնասիրության արդյուքնում ստացվող, ավելի «իրական» օրենքների մոտարկումներ էին։ Ըստ համապատասխանության սկզբունքի՝ նոր գիտական տեսությունը պետք է վերարտադրի հին, ընդունված տեսությունների արդյուքներն այն տիրույթներում, որոնցում վերջիններս աշխատել են^[6]։ Այդպիսով հին տեսությունը դառնում է նորի մոտարկումը։

Ֆիզիկայի որոշ խնդիրներ ուղղակի անալիզով լուծվելու համար չափազանց բարդ են, կամ՝ դրանց առաջադիմությունը կարող է սահմանափակված լինել տվյալ պահին գոյություն ունեցող անալիտիկ գործիքներով։ Այդպիսով, նույնիսկ երբ խնդրի ճշգրիտ ներկայացվածությունը հայտնի է, մոտարկումը կարող է բավարար ճշգրիտ լուծում առաջարկել՝ միաժամանակ խնդրի բարդությունը զգալիորեն նվազեցնելով։ Օրինակ․ ֆիզիկոսները հաճախ Երկրագնդի ձևը որպես գունդ են մոտարկում, չնայած՝ ավելի ճշգրիտ մոդելները հասանելի են, քանի որ շատ ֆիզիկական մեծություններ (օրինակ՝ ձգողականությունը) շատ ավելի պարզ են գործում գնդի շուրջ, քան՝ այլ մարմինների։

Մոտարկումներ են օգտագործում նաև աստղի շուրջ պտտվող մի քանի մոլորակների շարժն ուսումնասիրելու համար։ Սա չափազանց բարդ խնդիր է՝ քանի որ մոլորակների ձգողական դաշտերն ազդում են միմյանց վրա^[7]։ Մոտավոր լուծում կարելի է ստանալ կրկնությամբ։ Առաջին փուլում մոլորակների ձգողական փոխհարաբերություններն արհամարհվում են, իսկ աստղը դիտարկվում է որպես ֆիքսցած դիրք ունեցող մարմին։ Եթե ավելի ճշգրիտ լուծում է անհրաժեշտ, շարունակում ենք կառուցել առաջին փուլի արդյունքի վրա՝ անցնելով կրկնության հաջորդ փուլ։ Երկրորդ փուլում հաշվի ենք առնում մոլորակների առաջին մակարդակի ձգողականությունը միմյանց վրա։ Յուրաքանչյուր փուլում իրական գործող մեծություններն աստիճանաբար հաշվի առնելու գործընթացը կարելի է կրկնել այնքան ժամանակ, մինչև բավարար ճշգրտության լուծում չի ստացվել։

Ավելի ճշգրիտ լուծում ստանալու համար սխալներրը կարելի է ուղղել խոտորումների տեսության կիրառմամբ։ Մոլորակների ու աստղի շարժման մոդելավորումը նույնպես կարող է օգտակար լինել։

Գիտության փիլիսոփայության առավել տարածված տարբերակներն ընդունում են, որ էմպիրիկ՝ փորձառական, չափումները միշտ մոտարկումներ են, ու երբեք չեն կարող չափվող մեծության կատարյալ ներկայացվածություն առաջարկել։

Կիրառման օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մոտարկումները կիրառվում են փորձարարական կամ բնական տվյալների մշակման համար։ Այստեղ պետք է դիտարկել երկու դեպք․

1. մոտարկվող ֆունկցիան սահմանափակվում է նշված կետերի տիրույթով և ծառայում է միայն որպես ինտերպոլացվող կախվածություն,

2. մոտարկվող ֆունկցիան հանդես է գալիս որպես ֆիզիկական օրենք և դրա օգնությամբ թույլատրվում է մոտավոր որոշել փոփոխականները։

Բերենք օրինակ՝ դիցուք բնական դիտարկումների հիման վրա ստացվել են թվերի հետևյալ զույգերը (տես` [1])․

$x$	$y$
$2$	$0.3842$
$3$	$1.1062$
$4$	$2.6291$
$5$	$7.8320$
$6$	$17.379$
$7$	$36.607$
$8$	$66.696$
$9$	$104.43$

Եթե ֆունկցիան օգտագործվելու է միայն ինտերպոլացիայի համար, ապա բավական է մոտարկել կետերը, ասենք, հինգերորդ աստիճանի բազմանդամով․ $y=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+fx+k$ , որտեղ․

$a=-0.0190543$

$b=0.4874708$

$c=-4.3207141$

$d=18.3040989$

$f=-36.58884$

$k=27.7555259$

Իրավիճակը շատ ավելի բարդ է այն դեպքում, երբ վերոհիշյալ բնական տվյալները ծառայում են որպես $y=F(x)$ փոփոխությունների օրենքը արտածելու հենակետեր՝ որոշակի սահմանային պայմաններով։ Օրինակ՝ $F(0)=0$ և $F(\infty )\to \infty$ ։ Այստեղ արդյունքի որակը կախված է հետազոտողի արհեստավարժությունից։ Տվյալ դեպքում առավել ընդունելի է թվում $y=ax^{b}\mathrm {arctg} {\big (}e^{cx^{d}+f}{\big )}$ օրենքը, որտեղ

$a=1.87926$

$b=1.76696$

$c=0.532588$

$d=1.01509$

$f=-4.16485$

Հավասարումների պարամետրերի օպտիմալ ընտրության համար սովորաբար օգտագործվում է նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

Նշաններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Յունիկոդ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մոտարկված հավասարությունը սովորաբար ներկայացվում է ալիքավոր կամ կետիկավոր հավասարության նշաններով^[8]։

U+2248 ≈ գրեթե հավասար է
U+2249 ≉ գրեթե հավասար չէ
U+2252 ≒ գրեթե հավասար է (մեծությանը) կամ (դրա) պատկերին․ Ճապոնիայում, Թայվանում ու Կորեայում սա օգտագրործվում է որպես «≃»։
U+2253 ≓ (մեծության) պատկերն է կամ գրեթե հավասար է (դրան)․ U+2252 ≒ հակադիր օպերացիան։
U+2245 ≅ գրեթե հավասար է․ ≈ և = նշանների համադրումն է՝ իզոմորֆություն կամ ներկայացնելու համար։

U+224A ≊ գրեթե հավասար կամ հավասար․ ևս մեկ ≈ և = նշանների համադրում՝ համարժեքություն կամ մոտավոր համարժեքություն ներկյաացնելու համար։
U+223C ∼ ալիքանշան․ այս նշանը նաև կիարռվում է համամասնություն ներկայացնելու համար։
U+223D ∽ հակառակ ալիքանշան․ այս նշանը նույնպես երբեմն նաև կիարռվում է համամասնություն ներկայացնելու համար։
U+2250 ≐ մոտենում է սահմանին․ այս նշանը կարելի է կիրառել երբ փոփոխականը՝ ասենք, $y$ -ը, մոտենում է սահմանին, տարածված $\lim _{x\to \infty }y(x)$ ≐ $0$ նման^[9]։
U+225F ≟ ենթադրաբար հավասար․ կիրառվում է, երբ երկու մեծությունների հավասարությունը հայտնի չէ, բայց ենթադրվում է․ օրինակ՝ մաթեմատիկական ապացույց գրելիս։

ԼաՏԵԽ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ԼաՏԵԽում օգտագործվող նշանները․

$\approx$ (\approx), սովորաբար երկու մեծությունների մոտավոր հավասարությունը ներկայացնելու համար։ Օրինակ․ $\pi \approx 3.14$ ։
$\not \approx$ (\not\approx), սովորաբար երկու մեծությունների մոտավոր հավասարությունը հերքելու համար։ Օրինակ․ 1 $\not \approx$ 2։
$\simeq$ (\simeq), սովորաբար երկու ֆունկցիաների ասիմպտոտիկ համարժեքությունը ներկայացնելու համար։ Օրինակ․ $f(n)\simeq 3n^{2}$ ։ Նկատեք, որ չնայած տարածված կիրառմանը, $\pi \simeq 3.14$ գրառումն այս սահմանման ներքո սխալ է։
$\sim$ (\sim), սովորաբար երկու ֆունկցիաների համամասնությունը ներկայացնելու համար։ Օրինակ․ նախորդ օրինակի $f(n)\simeq 3n^{2}$ ֆունկցիայի համար ճշմարիտ է նաև $f(n)\sim n^{2}$ պնդումը։
$\cong$ (\cong), սովորաբար երկու մեծությունների կոնգրուենցիան ներկայացնելու համար։ Օրինակ․ $\Delta ABC\cong \Delta A'B'C'$ ։
$\eqsim$ (\eqsim), սովորաբար երկու մեծությունների՝ ներառյալ մինչև հաստատուն անդամների, հավասարությունը ներկայացնելու համար։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լորան Պ․ Ժ․ (1975). Ապրոքսիմացիա և Օպտիմիզացիա. Мир. էջ 496.
Վինոգրադով Վ․ Ն․, Գայ Յ․ Վ․, Ռաբոտնով Ն․ Ս․ (1987). Տվյալների մոտարկում՝ միջուկային և նեյտրոնային ֆիզիկայում. Էներգոատոմ. էջ 128.{{cite book}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link)

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ «Ներածություն Դիոֆանտի մեթոդներին» (PDF).
↑ «Ապրոքսիմացիա». Արխիվացված է օրիգինալից 2021 թ․ հունիսի 18-ին. Վերցված է 2021 թ․ հուլիսի 14-ին.
↑ Օքսֆորդի Հակիրճ Բառարան, Ութերրորդ հրատարակություն 1990, 0-19-861243-5
↑ «Թվային Հաշվարկների Ուղեցույց». Արխիվացված է օրիգինալից 2016, Ապրիլի 06-ին. Վերցված է 2013, Հունիսի 16-ին.
↑ «Թեյլորի շարք».
↑ Բրիտանիկա Հանրագիտարան
↑ Երեք մարմնի խնդիրը
↑ «Մաթեմատիկական Նշաններ – Յունիկոդ» (PDF). Վերցված է 2013, Ապրիլի 20-ին.
↑ D & D Standard Oil & Gas Abbreviator. PennWell. 2006. էջ 366. Վերցված է 2020, Մայիսի 21-ին. «≐ մոտենում է սահմանին»

Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Մոտարկում կատեգորիայում։

[1] «Ներածություն Դիոֆանտի մեթոդներին» (PDF).

[2] «Ապրոքսիմացիա». Արխիվացված է օրիգինալից 2021 թ․ հունիսի 18-ին. Վերցված է 2021 թ․ հուլիսի 14-ին.

[3] Օքսֆորդի Հակիրճ Բառարան, Ութերրորդ հրատարակություն 1990, 0-19-861243-5

[4] «Թվային Հաշվարկների Ուղեցույց». Արխիվացված է օրիգինալից 2016, Ապրիլի 06-ին. Վերցված է 2013, Հունիսի 16-ին.

[5] «Թեյլորի շարք».

[6] Բրիտանիկա Հանրագիտարան

[7] Երեք մարմնի խնդիրը

[8] «Մաթեմատիկական Նշաններ – Յունիկոդ» (PDF). Վերցված է 2013, Ապրիլի 20-ին.

[9] D & D Standard Oil & Gas Abbreviator. PennWell. 2006. էջ 366. Վերցված է 2020, Մայիսի 21-ին. «≐ մոտենում է սահմանին»

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]