Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Ռունգե-Կուտտայի մեթոդներ, թվային մեթոդների մեծ դաս` սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների և դրանց համակարգերի համար Կոշիի խնդիրը լուծելու համար: Այս դասի առաջին մեթոդներն առաջարկվել են մոտ 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոսներ Կարլ Ռունգեի և Մարտին Վիլհելմ Կուտտայի կողմից:

Ռունգե-Կուտտայի մեթոդների դասին են դասվում Էյլերի ակնհայտ մեթոդը և Էյլերի մոդիֆիկացված մեթոդը վերահաշվարկով, որոնք ներկայացնում են համապատասխանաբար ճշգրտության առաջին և երկրորդ կարգի մեթոդները։ Գոյություն ունեն ճշտության երրորդ կարգի ստանդարտ հստակ մեթոդներ, որոնք չեն ստացել լայն տարածում: Առավել հաճախ օգտագործվում և տարբեր մաթեմատիկական փաթեթներում (Maple, MathCAD, Maxima) իրագործվել է դասական Ռունգե-Կուտտայի դասական մեթոդը, որն ունի ճշգրտության չորրորդ կարգ: Բարձր ճշգրտությամբ հաշվարկներ կատարելիս ավելի ու ավելի հաճախ են օգտագործվում ճշգրտության հինգերորդ և վեցերորդ կարգերի մեթոդները[1][2]: Ավելի բարձր կարգի սխեմաների կառուցումը լի է հաշվարկային մեծ դժվարություններով[3]:

Յոթերորդ կարգի մեթոդները պետք է ունենան առնվազն ինը փուլ, իսկ ութերորդ կարգի մեթոդները՝ առնվազն 11 փուլ: 9-րդ և ավելի բարձր կարգերի (չունենալով, սակայն, մեծ գործնական նշանակություն) մեթոդների համար հայտնի չէ, թե որքան փուլեր են անհրաժեշտ ճշտության համապատասխան կարգի հասնելու համար[3]։

Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի դասական մեթոդ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի մեթոդը մշտական ինտեգրման քայլով հաշվարկման ժամանակ այնքան տարածված է, որ այն հաճախ կոչվում է պարզապես Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ:

Դիտարկենք Կոշիի խնդիրը սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին կարգի համակարգի համար: ( հետագայում՝ , а ).

Այդ դեպքում հետևյալ կետերում մոտավոր արժեքը հաշվարկվում է իտերացիոն բանաձևով.

Նոր արժեքի հաշվարկը տեղի է ունենում չորս փուլով.

որտեղ -ը ցանցի քայլի չափն է -ով։

Այս մեթոդն ունի ճշգրտության չորրորդ կարգ: Սա նշանակում է, որ սխալը մեկ քայլում ունի կարգ, և վերջավոր ինտեգրման միջակայքում ընդհանուր սխալն ունի կարգը։

Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդների ընտանիքը հանդիսանում է ինչպես Էյլերի ակնհայտ մեթոդի, այնպես էլ Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի դասական մեթոդի ընդհանրացումը: Այն տրվում է հետևյալ բանաձևերով․

Որտեղ h-ն ցանցի քայլի արժեքն է x-ով և նոր արժեքի հաշվարկը տեղի է ունենում s փուլով։

Կոնկրետ մեթոդը որոշվում է թվով և և գործակիցներով։ Այս գործակիցները հաճախ դասակարգվում են աղյուսակում (որը կոչվում է Բուտչերի աղյուսակ):

Ռունգ-Կուտտայի մեթոդի գործակիցները պետք է բավարարեն պայմանին համար։ Եթե ​​պահանջվում է, որ մեթոդն ունենա կարգ, ապա պետք է բավարարի հետևյալ պայմանին․

որտեղ -ը Ռունգե-Կուտտայի մեթոդով ստացված մոտեցումն է: Բազմակի տարբերակումից հետո այս պայմանը վերածվում է բազմաբնույթ հավասարումների համակարգի՝ մեթոդի գործակիցների վերաբերյալ:

Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մինչ այժմ նշված Ռունգե-Կուտտայի բոլոր մեթոդներն ակնհայտ մեթոդներ են: Սակայն Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդները, որպես կանոն, պիտանի չեն խիստ հավասարումների լուծման համար` նրանց բացարձակ կայունության փոքր շրջանի պատճառով[4]: Պարզ է, որ Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդների անկայունությունը նաև լուրջ խնդիրներ է առաջ բերում մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների ածանցյալների լուծման մեջ:

Ռունգե-Կուտտայի մեթոդների անկայունությունը խթանել է ոչ ակնհայտ մեթոդների զարգացումը։ Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդն ունի հետևյալ տեսքը[5][6]։

որտեղ

Հստակ մեթոդը բնութագրական է նրանով, որ գործակիցների մատրիցան նրա համար ունի ցածր եռանկյունաձև տեսք (ներառյալ զրոյական գլխավոր անկյունագիծը), ի տարբերություն ակնհայտ մեթոդի, որտեղ մատրիցան ունի կամայական ձև: Դա երևում է նաև Բատչերի աղյուսակում․

Այս տարբերության հետևանքն այն է, որ անհրաժեշտ է ամեն քայլի լուծել հավասարումների համակարգը համար, որտեղ -ը փուլերի քանակն է։ Սա մեծացնում է հաշվարկային արժեքը, բայց բավարար չափով դեպքում կարելի է կիրառել սեղմման արտացոլման սկզբունքը և լուծել այս համակարգը պարզ իտերացիայի մեթոդով[7]։ Մեկ իտերացիայի դեպքում սա մեծացնում է հաշվարկային արժեքն ընդամենը երկու անգամ:

Մյուս կողմից, Ժան Կունցմանը (1961) Ջոն Բատչերը (1964) ցույց են տվել, որ ցանկացած փուլերի ցանկացած քանակի համար գոյություն ունի Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդ ճշգրտության կարգով։ Սա նշանակում է, օրինակ, որ վերը նկարագրված ակնհայտ քառափուլ չորրորդ կարգի մեթոդի համար գոյություն ունի ոչ ակնհայտ անալոգ ճշգրտության երկու անգամ ավելի մեծ կարգով:

Ռունգե-Կուտտայի երկրորդ կարգի անուղղակի մեթոդ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռունգե-Կուտտայի ամենապարզ ոչ ակնհայտ մեթոդն Էյլերի «վերահաշվարկով» մոդիֆիկացված մեթոդն է։ Այն տրվում է հետևյալ բանաձևով.

Նրա իրականացման համար յուրաքանչյուր փուլում անհրաժեշտ է առնվազն երկու իտերացիա (և ֆունկցիայի երկու հաշվարկ):

Կանխատեսում.

.

Ուղղում.

.

Երկրորդ բանաձևը հավասարեցման համակարգի լուծման պարզ իտերացիա է համեմատութույամբ, որը գրվել է սեղմված արտացոլման տեսքով։ Ճշգրտությունը բարձրացնելու համար իտերացիա-ուղղումը կարելի է կատարել մի քանի անգամ՝ փոխարինելով ։ Էյլերի «վերահաշվարկով» մոդիֆիկացված մեթոդն ունի ճշգրտության երկրորդ կարգ։

Հաստատունություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդների առավելությունն ակնհայտների համեմատությամբ նրանց մեծ հաստատունությունն է, ինչը հատկապես կարևոր է խիստ հավասարումների լուծման ժամանակ: Որպես օրինակ դիտարկենք y' = λy գծային հավասարումը։ Ռունգե-Կուտտայի սովորական մեթոդը, որն օգտագործվում է այս հավասարման համար, հանգում է , с r իտերացիային, որը հավասար է

որտեղ -ն նշանակում միավորների վեկտոր-սյունակ[8]։ ֆունկցիան կոչվում է հաստատունության ֆունկցիա[9]։ Բանաձևը ցույց է տալիս, որ աստիճանի երկու պոլինոմների հարաբերակցություն է, եթե մեթոդը ունի փուլ։ Ակնհայտ մեթոդներն ունեն ցածր եռանկյունաձև խիստ մատրիցա, որտեղից հետևում է, որ , և որ հաստատունության ֆունկցիան բազմանդամ է[10]։

Այս օրինակի թվային լուծումը տալիս է զրո հետևյալ պայմանի դեպքում՝ , ։ Այդպիսի r–երի բազմությունը կոչվում է բացարձակ հաստատունության ոլորտ։ Մասնավորապես, մեթոդը կոչվում է A-հաստատուն, եթե բոլոր -երը գտնվում են բացարձակ հաստատունության ոլորտում: Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդի հաստատունության գործառույթը բազմանդամ է, ուստի Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդներն սկզբունքորեն չեն կարող լինել A-հաստատուն[10]։

Եթե ​​մեթոդը ունի կարգ, ապա հաստատունության ֆունկցիան բավարարում է при պայմանը։ Այսպիսով, հետաքրքրություն է ներկայացնում այս աստիճանի բազմանդամների հարաբերությունը, որը լավագույնս է մոտեցնում էքսպոնենցիալ ֆունկցիան: Այս հարաբերությունները հայտնի են որպես Պադեի ապրոկսիմացիաներ։ աստիճանի համարիչով և աստիճանի հայտարարով Պադեի ապրոկսիմացիան A հաստատուն է միայն այն ժամանակ, երբ [11]։

փուլ ունեցող Հաուս-Լեժանդրի մեթոդն ունի կարգ, այդ պատճառով նրա հաստատունության ֆունկցիան Պադեի մոտեցումն է ։ Հետևում է, որ մեթոդը A-հաստատուն է[12]: Սա ցույց է տալիս, որ Ռունգե-Կուտտայի A-հաստատուն մեթոդները կարող են լինել կամայականորեն բարձր կարգի: Ի տարբերություն դրա, Ադամսի մեթոդների A-հաստատունության կարգը չի կարող գերազանցել երկուսը:

Ծրագրավորման ալգորիթմական լեզուներով լուծման օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

կատարելով y '= z փոխարինումը և 4y-ը տեղափոխելով աջ կողմ, ստանում ենք հետևյալ համակարգը.

C # ծրագրում օգտագործվում է RungeKutta աբստրակտ դասը, որի մեջ պետք է վերափոխվի F վերացական մեթոդը, որը սահմանում է հավասարումների աջ կողմերը:

MATLAB միջավայրում լուծման օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի լուծումը Ռունգե-Կուտտայի մեթոդով հանդիսանում է լուծումների ամենատարածված թվային մեթոդներից մեկը տեխնիկայում: MATLAB-ի միջավայրում իրականացվել է նրա տեսակներից մեկը՝ Դորման-Փրինսի մեթոդը։ Հավասարումների համակարգի լուծման համար անհրաժեշտ է նախ գրել ածանցյալները հաշվող ֆունկցիաները, այսինքն` y = g(x, y, z) և z = cos(3x) − 4y = f(x, y, z) ֆունկցիաները, ինչի մասին նշված է վերևում: Կատալոգներից մեկում, որը հասանելի է MATLAB համակարգից, պետք է ստեղծել տեքստային ֆայլ runge.m անունով (օրինակ) և հետևյալ բովանդակությամբ (MATLAB 5.3 տարբերակի համար):

Ֆայլի անվանումը և ֆունկցիայի անվանումը պետք է լինեն նույնը, բայց այն կարող է լինել նախկինում չօգտագործված:

Այնուհետև պետք է ստեղծել հիմնական ֆայլ, օրինակ՝ main.m անունով, որը կկատարի հիմնական հաշվարկները: Այս հիմնական ֆայլը պարունակում է հետևյալ տեքստը՝

Քանի որ MATLAB-ը կենտրոնացած է մատրիցների հետ աշխատելու համար, Ռունգե-Կուտտայի մեթոդի լուծումը շատ հեշտ է կատարվում մի շարք x-ի համար, ինչպես, օրինակ, ծրագրի բերված օրինակում: Այստեղ լուծումն է՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը 0-ից մինչև x_fin ժամանակների սահմանում.

Լուծումը MATLAB միջավայրում

ODE45 ֆունկցիայի արդյունքում ստացված x և y փոփոխականները արժեքային վեկտորներ են: Ակնհայտ է, որ վերը տրված կոնկրետ օրինակի լուծումը երկրորդ x տարրն է, քանի որ առաջին արժեքը 0 է, ինտեգրման քայլը՝ h = 0.1, իսկ որոնվող արժեքը՝ x = 0.1: MATLAB հրամանի պատուհանում հետևյալ տեքստի մուտքագրումը կտա ցանկալի լուծում.

Պատասխան՝ y1 = 0,98768

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М.  Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 630 с. — ISBN 5-93208-043-4 — С. 363—375.
  2. Ильина В. А., Силаев П. К.  Численные методы для физиков-теоретиков. Ч. 2. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 118 с. — ISBN 5-93972-320-9 — С. 16—30.
  3. 3,0 3,1 Butcher J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. — New York: John Wiley & Sons, 2008. — ISBN 978-0-470-72335-7
  4. Süli & Mayers, 2003, էջ 349—351
  5. Iserles, 1996, էջ 41
  6. Süli & Mayers, 2003, էջ 351—352
  7. Неявные методы Рунге — Кутты Archived 2019-03-06 at the Wayback Machine..
  8. Hairer & Wanner, 1996, էջ 40—41
  9. Hairer & Wanner, 1996, էջ 40
  10. 10,0 10,1 Iserles, 1996, էջ 60
  11. Iserles, 1996, էջ 62—63
  12. Iserles, 1996, էջ 63

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Hairer E., Wanner G.  Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. 2nd ed. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-3-540-60452-5
  • Iserles A.  A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, 1996. — ISBN 978-0-521-55655-2
  • Süli E., Mayers D.  An Introduction to Numerical Analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-00794-1