Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ

Ռունգե-Կուտտայի մեթոդներ, թվային մեթոդների մեծ դաս` սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների և դրանց համակարգերի համար Կոշիի խնդիրը լուծելու համար։ Այս դասի առաջին մեթոդներն առաջարկվել են մոտ 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոսներ Կարլ Ռունգեի և Մարտին Վիլհելմ Կուտտայի կողմից։

Ռունգե-Կուտտայի մեթոդների դասին են դասվում Էյլերի ակնհայտ մեթոդը և Էյլերի մոդիֆիկացված մեթոդը վերահաշվարկով, որոնք ներկայացնում են համապատասխանաբար ճշգրտության առաջին և երկրորդ կարգի մեթոդները։ Գոյություն ունեն ճշտության երրորդ կարգի ստանդարտ հստակ մեթոդներ, որոնք չեն ստացել լայն տարածում։ Առավել հաճախ օգտագործվում և տարբեր մաթեմատիկական փաթեթներում (Maple, MathCAD, Maxima) իրագործվել է դասական Ռունգե-Կուտտայի դասական մեթոդը, որն ունի ճշգրտության չորրորդ կարգ։ Բարձր ճշգրտությամբ հաշվարկներ կատարելիս ավելի ու ավելի հաճախ են օգտագործվում ճշգրտության հինգերորդ և վեցերորդ կարգերի մեթոդները։ Ավելի բարձր կարգի սխեմաների կառուցումը լի է հաշվարկային մեծ դժվարություններով։

Յոթերորդ կարգի մեթոդները պետք է ունենան առնվազն ինը փուլ, իսկ ութերորդ կարգի մեթոդները՝ առնվազն 11 փուլ։ 9-րդ և ավելի բարձր կարգերի (չունենալով, սակայն, մեծ գործնական նշանակություն) մեթոդների համար հայտնի չէ, թե որքան փուլեր են անհրաժեշտ ճշտության համապատասխան կարգի հասնելու համար։

Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի դասական մեթոդ

Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի մեթոդը մշտական ինտեգրման քայլով հաշվարկման ժամանակ այնքան տարածված է, որ այն հաճախ կոչվում է պարզապես Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ։

Դիտարկենք Կոշիի խնդիրը սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին կարգի համակարգի համար։ ( հետագայում՝ $\mathbf {y} ,\mathbf {f} ,\mathbf {k} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}$, а $x,h\in \mathbb {R} ^{1}$).

${\textbf {y}}'={\textbf {f}}(x,{\textbf {y}}),\quad {\textbf {y}}(x_{0})={\textbf {y}}_{0}.$

Այդ դեպքում հետևյալ կետերում մոտավոր արժեքը հաշվարկվում է իտերացիոն բանաձևով.

${\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+{h \over 6}({\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2}+2{\textbf {k}}_{3}+{\textbf {k}}_{4})$

Նոր արժեքի հաշվարկը տեղի է ունենում չորս փուլով.

${\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}\left(x_{n},{\textbf {y}}_{n}\right),$

${\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{1}\right),$

${\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{2}\right),$

${\textbf {k}}_{4}={\textbf {f}}\left(x_{n}+h,{\textbf {y}}_{n}+h\ {\textbf {k}}_{3}\right).$

որտեղ $h$-ը ցանցի քայլի չափն է $x$-ով։

Այս մեթոդն ունի ճշգրտության չորրորդ կարգ։ Սա նշանակում է, որ սխալը մեկ քայլում ունի $O(h^{5})$ կարգ, և վերջավոր ինտեգրման միջակայքում ընդհանուր սխալն ունի $O(h^{4})$ կարգը։

Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդներ

Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդների ընտանիքը հանդիսանում է ինչպես Էյլերի ակնհայտ մեթոդի, այնպես էլ Ռունգե-Կուտտայի չորրորդ կարգի դասական մեթոդի ընդհանրացումը։ Այն տրվում է հետևյալ բանաձևերով․

${\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}{\textbf {k}}_{i},$

Որտեղ h-ն ցանցի քայլի արժեքն է x-ով և նոր արժեքի հաշվարկը տեղի է ունենում s փուլով։

${\begin{array}{ll}{\textbf {k}}_{1}=&{\textbf {f}}(x_{n},{\textbf {y}}_{n}),\\{\textbf {k}}_{2}=&{\textbf {f}}(x_{n}+c_{2}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{21}h{\textbf {k}}_{1}),\\\cdots &\\{\textbf {k}}_{s}=&{\textbf {f}}(x_{n}+c_{s}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{s1}h{\textbf {k}}_{1}+a_{s2}h{\textbf {k}}_{2}+\cdots +a_{s,s-1}h{\textbf {k}}_{s-1})\end{array}}$

Կոնկրետ մեթոդը որոշվում է $s$ թվով և $b_{i},a_{ij}$ և $c_{i}$ գործակիցներով։ Այս գործակիցները հաճախ դասակարգվում են աղյուսակում (որը կոչվում է Բուտչերի աղյուսակ)։

${\begin{array}{c|ccccc}0&&&&&\\c_{2}&a_{21}&&&&\\c_{3}&a_{31}&a_{32}&&&\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &&\\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss-1}&\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s-1}&b_{s}\end{array}}$

Ռունգ-Կուտտայի մեթոդի գործակիցները պետք է բավարարեն $\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}$ պայմանին $i=2,\ldots ,s$ համար։ Եթե պահանջվում է, որ մեթոդն ունենա $p$ կարգ, ապա պետք է բավարարի հետևյալ պայմանին․

${\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})-{\textbf {y}}(h+x_{0})=O(h^{p+1}),$

որտեղ ${\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})$-ը Ռունգե-Կուտտայի մեթոդով ստացված մոտեցումն է։ Բազմակի տարբերակումից հետո այս պայմանը վերածվում է բազմաբնույթ հավասարումների համակարգի՝ մեթոդի գործակիցների վերաբերյալ։

Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդներ

Մինչ այժմ նշված Ռունգե-Կուտտայի բոլոր մեթոդներն ակնհայտ մեթոդներ են։ Սակայն Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդները, որպես կանոն, պիտանի չեն խիստ հավասարումների լուծման համար` նրանց բացարձակ կայունության փոքր շրջանի պատճառով։ Պարզ է, որ Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդների անկայունությունը նաև լուրջ խնդիրներ է առաջ բերում մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների ածանցյալների լուծման մեջ։

Ռունգե-Կուտտայի մեթոդների անկայունությունը խթանել է ոչ ակնհայտ մեթոդների զարգացումը։ Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդն ունի հետևյալ տեսքը։

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},$

որտեղ

$k_{i}=f{\bigl (}x_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}{\bigr )},\quad i=1,\ldots ,s.$

Հստակ մեթոդը բնութագրական է նրանով, որ $a_{ij}$ գործակիցների մատրիցան նրա համար ունի ցածր եռանկյունաձև տեսք (ներառյալ զրոյական գլխավոր անկյունագիծը), ի տարբերություն ակնհայտ մեթոդի, որտեղ մատրիցան ունի կամայական ձև։ Դա երևում է նաև Բատչերի աղյուսակում․

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}$

Այս տարբերության հետևանքն այն է, որ անհրաժեշտ է ամեն քայլի լուծել հավասարումների համակարգը $k_{i},i=1,2,...,s$ համար, որտեղ $s$-ը փուլերի քանակն է։ Սա մեծացնում է հաշվարկային արժեքը, բայց բավարար չափով $h$ դեպքում կարելի է կիրառել սեղմման արտացոլման սկզբունքը և լուծել այս համակարգը պարզ իտերացիայի մեթոդով։ Մեկ իտերացիայի դեպքում սա մեծացնում է հաշվարկային արժեքն ընդամենը երկու անգամ։

Մյուս կողմից, Ժան Կունցմանը (1961) Ջոն Բատչերը (1964) ցույց են տվել, որ ցանկացած $s$ փուլերի ցանկացած քանակի համար գոյություն ունի Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդ ճշգրտության $p=2s$ կարգով։ Սա նշանակում է, օրինակ, որ վերը նկարագրված ակնհայտ քառափուլ չորրորդ կարգի մեթոդի համար գոյություն ունի ոչ ակնհայտ անալոգ ճշգրտության երկու անգամ ավելի մեծ կարգով։

Ռունգե-Կուտտայի երկրորդ կարգի անուղղակի մեթոդ

Ռունգե-Կուտտայի ամենապարզ ոչ ակնհայտ մեթոդն Էյլերի «վերահաշվարկով» մոդիֆիկացված մեթոդն է։ Այն տրվում է հետևյալ բանաձևով.

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h{\frac {\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})+\mathbf {f} (x_{n+1},\mathbf {y} _{n+1})}{2}}$

Նրա իրականացման համար յուրաքանչյուր փուլում անհրաժեշտ է առնվազն երկու իտերացիա (և ֆունկցիայի երկու հաշվարկ)։

Կանխատեսում.

${\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})$.

Ուղղում.

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h{\frac {\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})+\mathbf {f} (x_{n+1},{\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1})}{2}}$.

Երկրորդ բանաձևը հավասարեցման համակարգի լուծման պարզ իտերացիա է $\mathbf {y} _{n+1}$ համեմատութույամբ, որը գրվել է սեղմված արտացոլման տեսքով։ Ճշգրտությունը բարձրացնելու համար իտերացիա-ուղղումը կարելի է կատարել մի քանի անգամ՝ փոխարինելով ${\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n+1}$։ Էյլերի «վերահաշվարկով» մոդիֆիկացված մեթոդն ունի ճշգրտության երկրորդ կարգ։

Հաստատունություն

Ռունգե-Կուտտայի ոչ ակնհայտ մեթոդների առավելությունն ակնհայտների համեմատությամբ նրանց մեծ հաստատունությունն է, ինչը հատկապես կարևոր է խիստ հավասարումների լուծման ժամանակ։ Որպես օրինակ դիտարկենք y' = λy գծային հավասարումը։ Ռունգե-Կուտտայի սովորական մեթոդը, որն օգտագործվում է այս հավասարման համար, հանգում է $y_{n+1}=r(h\lambda )\,y_{n}$, с r իտերացիային, որը հավասար է

$r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},$

որտեղ $e$-ն նշանակում միավորների վեկտոր-սյունակ։ $r$ ֆունկցիան կոչվում է հաստատունության ֆունկցիա։ Բանաձևը ցույց է տալիս, որ $r$ $s$ աստիճանի երկու պոլինոմների հարաբերակցություն է, եթե մեթոդը ունի $s$ փուլ։ Ակնհայտ մեթոդներն ունեն $A$ ցածր եռանկյունաձև խիստ մատրիցա, որտեղից հետևում է, որ $\det(I-zA)=1,$, և որ հաստատունության ֆունկցիան բազմանդամ է։

Այս օրինակի թվային լուծումը տալիս է զրո հետևյալ պայմանի դեպքում՝ $|r(z)|<1$, $z=h\lambda$։ Այդպիսի r–երի բազմությունը կոչվում է բացարձակ հաստատունության ոլորտ։ Մասնավորապես, մեթոդը կոչվում է A-հաստատուն, եթե բոլոր $r$-երը ${\textrm {Re}}(z)<0$ գտնվում են բացարձակ հաստատունության ոլորտում։ Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդի հաստատունության գործառույթը բազմանդամ է, ուստի Ռունգե-Կուտտայի ակնհայտ մեթոդներն սկզբունքորեն չեն կարող լինել A-հաստատուն։

Եթե մեթոդը ունի $p$ կարգ, ապա հաստատունության ֆունկցիան բավարարում է $r(z)={\textrm {e}}^{z}+O(z^{p+1})$ при $z\to 0$ պայմանը։ Այսպիսով, հետաքրքրություն է ներկայացնում այս աստիճանի բազմանդամների հարաբերությունը, որը լավագույնս է մոտեցնում էքսպոնենցիալ ֆունկցիան։ Այս հարաբերությունները հայտնի են որպես Պադեի ապրոկսիմացիաներ։ $m$ աստիճանի համարիչով և $n$ աստիճանի հայտարարով Պադեի ապրոկսիմացիան A հաստատուն է միայն այն ժամանակ, երբ $m\leq n\leq m+2$։

$s$ փուլ ունեցող Հաուս-Լեժանդրի մեթոդն ունի $2s$ կարգ, այդ պատճառով նրա հաստատունության ֆունկցիան Պադեի մոտեցումն է $m=n=s$։ Հետևում է, որ մեթոդը A-հաստատուն է։ Սա ցույց է տալիս, որ Ռունգե-Կուտտայի A-հաստատուն մեթոդները կարող են լինել կամայականորեն բարձր կարգի։ Ի տարբերություն դրա, Ադամսի մեթոդների A-հաստատունության կարգը չի կարող գերազանցել երկուսը։

Ծրագրավորման ալգորիթմական լեզուներով լուծման օրինակ

$y''+4y=\cos 3x,\quad y(0)=0.8,\ y'(0)=2,\ x\in [0,1],\ h=0.1$

կատարելով y '= z փոխարինումը և 4y-ը տեղափոխելով աջ կողմ, ստանում ենք հետևյալ համակարգը.

${\begin{cases}y'=z=g(x,y,z)\\z'=\cos(3x)-4y=f(x,y,z)\end{cases}}$

Կոդը Java-ում Ռունգե-Կուտտայի մեթոդով դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը լուծելու համար 

public class MainClass {

	public static void main(String[] args) {
		int k = 2;
		double Xo, Yo, Y1, Zo, Z1;
		double k1, k2, k4, k3, h;
		double q1, q2, q4, q3;
                /*
                 *Նախնական պայմաններ
                 */
		Xo = 0;
		Yo = 0.8;
                Zo = 2;

		h = 0.1; // քայլ

		System.out.println("\tX\t\tY\t\tZ");
		for(; r(Xo,2)<1.0; Xo += h){
			
			k1 = h * f(Xo, Yo, Zo);
			q1 = h * g(Xo, Yo, Zo);
			
			k2 = h * f(Xo + h/2.0, Yo + q1/2.0, Zo + k1/2.0);
			q2 = h * g(Xo + h/2.0, Yo + q1/2.0, Zo + k1/2.0);
			
			k3 = h * f(Xo + h/2.0, Yo + q2/2.0, Zo + k2/2.0);
			q3 = h * g(Xo + h/2.0, Yo + q2/2.0, Zo + k2/2.0);
			
			k4 = h * f(Xo + h, Yo + q3, Zo + k3);
			q4 = h * g(Xo + h, Yo + q3, Zo + k3);
			
			Z1 = Zo + (k1 + 2.0*k2 + 2.0*k3 + k4)/6.0;
			Y1 = Yo + (q1 + 2.0*q2 + 2.0*q3 + q4)/6.0;
			System.out.println("\t" + r(Xo + h, k) + "\t\t" + r(Y1,k) + "\t\t" + r(Z1,k));
			Yo = Y1;
			Zo = Z1;
		}
		
	}
        /**
         * ֆունկցիա կլորացնելու և «պոչը» հեռացնելու համար
         */
	public static double r(double value, int k){
		return (double)Math.round((Math.pow(10, k)*value))/Math.pow(10, k);
	}
        /**
         * ֆունկցիաներ, որոնք ստացվում են համակարգից
         */
	public static double f(double x, double y, double z){
		return (Math.cos(3*x) - 4*y);
	}
	public static double g(double x, double y, double z){
		return (z);
	}

}

Կոդ C# լեզվով 

using System;
using System.Collections.Generic;

namespace PRJ_RungeKutta
{
    /// <summary>
    ///Ռունգե-Կուտտայի մեթոդի իրականացում սովորական դիֆերենցիալ հավասարման համար
    /// </summary>
    public abstract class RungeKutta
    {
        /// <summary>
        ///Ընթացիկ ժամանակ
        /// </summary>
        public double t;  
        /// <summary>
        /// Պահանջվող որոշում Y [0] - ինքնուրույն որոշում, Y [i] — i-ի ածանցյալ լուծումներ
        /// </summary>
        public double[] Y; 
        /// <summary>
        ///Ներքին փոփոխականներ
        /// </summary>
        double[] YY, Y1, Y2, Y3, Y4;
        protected double[] FY;
        /// <summary>
        /// Конструктор
        /// </summary>
        /// <param name="N">համակարգի չափականություն</param>
        public RungeKutta(uint N)  
        {
            Init(N);
        }
        /// <summary>
        /// Конструктор
        /// </summary>
        public RungeKutta(){}
        /// <summary>
        /// Հիշողության առանձնացում աշխատանքային մասիվների համար
        /// </summary>
        /// <param name="N">Մասիվների չափականություն</param>
        protected void Init(uint N)
        {             
            Y = new double[N];
            YY = new double[N];
            Y1 = new double[N];
            Y2 = new double[N];
            Y3 = new double[N];
            Y4 = new double[N];
            FY = new double[N];
        }
        /// <summary>
        /// Սկզբնական պայմանների սահմանում
        /// </summary>
        /// <param name="t0">Սկզբնական ժամանակ</param>
        /// <param name="Y0">Սկզբնական պայման</param>
        public void SetInit(double t0, double[] Y0) 
        {                                     
            t = t0;
            if (Y == null) 
                Init((uint)Y0.Length);
            for (int i = 0; i < Y.Length; i++)
                Y[i] = Y0[i];
        }
        /// <summary>
        /// Համակարգի աջ մասերի հաշվարկ
        /// </summary>
        /// <param name="t">ընթացիկ ժամանակ</param>
        /// <param name="Y">լուծման վեկտոր</param>
        /// <returns>աջ մաս</returns>
        abstract public double[] F(double t, double[] Y); 
        /// <summary>
        /// Ռունգե-Կուտտա մեթոդի հաջորդ քայլը
        /// </summary>
        /// <param name="dt">ընթացիկ ժամանակի քայլ (կարող է փոփոխական լինել)</param>
        public void NextStep(double dt)
        {
            int i;

            if (dt < 0) return;

            // հաշվարկել Y1
            Y1 = F(t, Y);

            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                YY[i] = Y[i] + Y1[i] * (dt / 2.0);
            
            // հաշվարկել Y2
            Y2 = F(t + dt / 2.0, YY);

            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                YY[i] = Y[i] + Y2[i] * (dt / 2.0);
            
            // հաշվարկել Y3
            Y3 = F(t + dt / 2.0, YY);

            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                YY[i] = Y[i] + Y3[i] * dt;
            
            // հաշվարկել Y4
            Y4 = F(t + dt, YY);

            // հաշվարկել լուծումը նոր քայլով

            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                Y[i] = Y[i] + dt / 6.0 * (Y1[i] + 2.0 * Y2[i] + 2.0 * Y3[i] + Y4[i]);

            //հաշվարկել ընթացիկ ժամանակը
            t = t + dt; 
        }
    }
    class TMyRK : RungeKutta
    {
        public TMyRK(uint N) : base(N) { }

        /// <summary>
        /// օրինակ մաթեմատիկական փարոս 
        /// y''(t)+y(t)=0
        /// </summary>
        /// <param name="t">Ժամանակ</param>
        /// <param name="Y">Լուծում</param>
        /// <returns>Առաջին մաս</returns>
        public override double[] F(double t, double[] Y)
        {
            FY[0] =  Y[1]; 
            FY[1] = -Y[0]; 
            return FY;
        }
        /// <summary>
        ///Օգտագործման օրինակ

        /// </summary>
        static public void Test()
        {
            //Քայլ առ ժամանակ
            double dt = 0.001;
            // Մեթոդի օբյեկտ
            TMyRK task = new TMyRK(2);
            // Սահմանել նախնական պայմանները y (0)=0, y'(0)=1 խնդիր
            double[] Y0 = { 0, 1 }; 
            // Սահմանենք խնդրի սկզբնական պայմանները
            task.SetInit(0, Y0);
            // լուծել մինչև 15 վայրկյան
            while (task.t <= 15) 
            {
                Console.WriteLine("Time = {0:F5}; Func = {1:F8};  d Func / d x = {2:F8}", task.t, task.Y[0], task.Y[1]); // դուրս բերել
t, y, y'
                //հաշվարկել հաջորդ քայլը, քայլ ինտեգրման
                task.NextStep(dt);
            }
            Console.ReadLine();
        }
    }

    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            TMyRK.Test();
        }
    }
}

C # ծրագրում օգտագործվում է RungeKutta աբստրակտ դասը, որի մեջ պետք է վերափոխվի F վերացական մեթոդը, որը սահմանում է հավասարումների աջ կողմերը։

MATLAB միջավայրում լուծման օրինակ

Դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի լուծումը Ռունգե-Կուտտայի մեթոդով հանդիսանում է լուծումների ամենատարածված թվային մեթոդներից մեկը տեխնիկայում։ MATLAB-ի միջավայրում իրականացվել է նրա տեսակներից մեկը՝ Դորման-Փրինսի մեթոդը։ Հավասարումների համակարգի լուծման համար անհրաժեշտ է նախ գրել ածանցյալները հաշվող ֆունկցիաները, այսինքն` y = g(x, y, z) և z = cos(3x) − 4y = f(x, y, z) ֆունկցիաները, ինչի մասին նշված է վերևում։ Կատալոգներից մեկում, որը հասանելի է MATLAB համակարգից, պետք է ստեղծել տեքստային ֆայլ runge.m անունով (օրինակ) և հետևյալ բովանդակությամբ (MATLAB 5.3 տարբերակի համար)։

MATLAB, runge.m  

function Dy = runge(x, y)
Dy = y(:);
Dy(1) = y(2);
Dy(2) = cos(3*x) - 4*y(1);

Ֆայլի անվանումը և ֆունկցիայի անվանումը պետք է լինեն նույնը, բայց այն կարող է լինել նախկինում չօգտագործված։

Այնուհետև պետք է ստեղծել հիմնական ֆայլ, օրինակ՝ main.m անունով, որը կկատարի հիմնական հաշվարկները։ Այս հիմնական ֆայլը պարունակում է հետևյալ տեքստը՝

MATLAB, main.m  

clear; clc; % Մաքրել հիշողությունը և էկրանը
h = 0.1; % Ինտեգրման քայլ
x_fin = 8; % Ինտեգրման վերջնական ժամանակը
y0 = 0.8; % Ֆունկցիայի սկզբնական արժեքը
Dy0 = 2; % Ածանցյալ ֆունկցիայի նախնական արժեքը
[x, y] = ode45('runge', [0:h:x_fin], [y0 Dy0]); % Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ
plot(x, y, 'LineWidth', 2); grid; %Գրաֆիկայի և ցանցի կառուցում
legend('y(x)', 'y''(x)', 0); % Լեգենդ գրաֆիկում

Քանի որ MATLAB-ը կենտրոնացած է մատրիցների հետ աշխատելու համար, Ռունգե-Կուտտայի մեթոդի լուծումը շատ հեշտ է կատարվում մի շարք x-ի համար, ինչպես, օրինակ, ծրագրի բերված օրինակում։ Այստեղ լուծումն է՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը 0-ից մինչև x_fin ժամանակների սահմանում.

Լուծումը MATLAB միջավայրում

ODE45 ֆունկցիայի արդյունքում ստացված x և y փոփոխականները արժեքային վեկտորներ են։ Ակնհայտ է, որ վերը տրված կոնկրետ օրինակի լուծումը երկրորդ x տարրն է, քանի որ առաջին արժեքը 0 է, ինտեգրման քայլը՝ h = 0.1, իսկ որոնվող արժեքը՝ x = 0.1: MATLAB հրամանի պատուհանում հետևյալ տեքստի մուտքագրումը կտա ցանկալի լուծում.

MATLAB, լուծում  

y1 = y(find(x == 0.1))

Պատասխան՝ y1 = 0,98768

Գրականություն

• Hairer E., Wanner G.  Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. 2nd ed. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-3-540-60452-5
• Iserles A.  A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, 1996. — ISBN 978-0-521-55655-2
• Süli E., Mayers D.  An Introduction to Numerical Analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-00794-1

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ռունգե-Կուտտայի մեթոդ» հոդվածին։