Կոշիի խնդիր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Կոշիի խնդիրդիֆերենցիալ հավասարումների տեսության (սովորական և մասնակի ածանցյալով) հիմնական խնդիրներից մեկն է, որտեղ պահանջվում է գտնել (ինտեգրալ) դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին (սկզբնական տվյալներին)։

Կոշիի խնդիրը սովորաբար առաջանում է գործընթացների վերլուծության ժամանակ, որոնք որոշվում են դիֆերենցիալ օրենքների զարգացմամբ և սկզբնական վիճակով (որոնց մաթեմատիկական արտահայտությունները հանդիսանում են հավասարումները և սկզբնական պայմանները)։ Սրանով մոտիվացվում է տերմինալոգիան և ընտրության նշանակումը՝ սկզբնական տվյալները տրվում են -ի, իսկ լուծումները որոնվում են -ի դեպքերում։

Եզրային խնդիրներից Կոշիի խնդիրը տարբերվում է նրանով, որ միջակայքը, որում պետք է որոշված լինի որոնվող լուծումը, այստեղ նախորոք չի նշվում։ Ամեն դեպքում Կոշիի խնդիրը կարելի է դիտարկել որպես եզրային խնդիրներից մեկը։

Հիմնական հարցերը, որոնք կապված են Կոշիի խնդրի հետ, այսպիսին են՝

  1. գոյություն ունի (գոնե տեղային) Կոշիի խնդրի լուծում,
  2. եթե լուծումը գոյություն ունի, ապա որն է նրա գոյության միջակայքը,
  3. լուծումը արդյոք միակն է,
  4. եթե լուծումը միակն է, ապա այն կոռեկտ է, այսինքն անընդհատ է (ինչ որ առումով) սկզբնական տվյալների նկատմամբ։

Ասում են, որ Կոշիի խնդիրը ունի միակ լուծումը, եթե այն ունի լուծումը և ոչ մի այլ լուծում չի հանդիսանում ինտեգրալ կոր, որը կետի փոքր շրջակայքում ունի ուղղվածության դաշտին համընկնող ուղղվածության դաշտ։ կետը տալիս է սկզբնական պայմանը։

Կոշիի խնդրի տարբեր դրվածքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ածանցյալի նկատմամբ՝
,
  • -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, թույլատրելի ածանցյալների նկատմամբ (-րդ կարգի սովորական համակարգ)`
,
  • -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ավագ ածանցյալների նկատմամբ`
,

Կոշիի խնդրի լուծելիության թեորեմներ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք տիրույթում դիտարկվում է Կոշիի խնդիրը՝

,

որտեղ : Դիցուք -ում առաջին մասը հանդիսանում է անընդհատ ֆունկցիա։ Այս ենթադրություններում տեղի ունի Պեանոյի թեորեմը, որը սահմանում է Կոշիի խնդրի լուծելիությունը։ Դիցուք և այնպիսին են, որ տիրույթին պատկանող փակ ուղղանկյուն է

,

այդ դեպքում հատվածի վրա, որտեղ , , գոյություն ունի Կոշիի լուծումը։ Նշված հատվածը կոչվում է Պեանոյի հատված։ Նշենք, որ Պեանոյի թեորեմի տեղային բնույթը կապված չէ աջ մասի հարթ լինելուց։ Օրինակ, և -ի համար -ի լուծումը գոյություն ունի միայն միջակայքում։ Նշենք նույնպես, որ առանց լրացուցիչ ենթադրությունների աջ մասի հարթ լինելուց, պետք չէ երաշխավորել Կոշիի խնդրի լուծման եզակի լինելը։ Օրինակ, –ի համար հնարավոր է մեկից ավելի լուծումներ։

Որպեսզի ձևակերպենք Կոշիի խնդրի լուծման միակության մասին թեորեմը, պետք է լրացուցիչ սահմանափակումներ դնել նրա աջ մասի վրա։ Կասենք որ, ֆունկցիան բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին -ի վրա կախված -ից, եթե գոյություն ունի այնպիսի հաստատուն, որ

բոլոր -ի համար։

Դիցուք -ի աջ մասը լրացուցիչ բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին -ի վրա կախված -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը չի կարող ունենալ -ում մեկից ավելի լուծում։

Նշենք նույնպես, որ թեև այս թեորեմը ունի գլոբալ բնույթ, այնուամենայնիվ նա չի հաստատում գլոբալ լուծման գոյությունը։

Գլոբալ լուծման գոյության համար անհրաժեշտ է կիրառել ըստ -ի աջ մասի աճի պայմանի։ Դիցուք ֆունկցիան բավարարում է պայմանին, որտեղ հաստատունը կախված չէ ոչ -ից և ոչ էլ -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը ունի լուծում -ում։ Մասնավորապես, այս թեորեմից հետևում է, որ գծային հավասարումների համար (անընդհատ գործակիցներով) Կոշիի խնդիրը ունի գլոբալ լուծում։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения, издательство-Физматлит, 2005
  2. Ф.Хартман - Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство - Мир, 1972
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 589 CC-BY-SA-icon-80x15.png