Գամմա ֆունկցիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Գամմա-ֆունկցիա-մաթեմատիկական ֆունկցիա է,սովորաբար նշանակվում է : Ներմուծվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից, իսկ իր գամմա-ֆունկցիայի նշանակությամբ պարտական ենք Ադրիեն-Մարի Լեժանդրին[1]։

Գամմա-ֆունկցիայի գրաֆիիկը իրական փոփոխականով

Գամմա-ֆունկցիան չափազանց մեծ կիրառություն ունի գիտության մեջ։ Հիմնական լայն կիրառության ոլորտներն են մաթեմատիկական անալիզ,հավանականությունների տեսություն, կոմբինատորիկա, վիճակագրություն, ատոմային ֆիզիկա, աստղաֆիզիկա, հիդրոդինամիկա, երկրաշարժագիտություն և տնտեսություն։ Մասնավորապես, գամմա-ֆունկցիան կիրառվում է ֆակտորիալ հասկացությունն ընդհանրացնելու իրական թվեր և կոմպլեքս թվեր փաստարկային արժեքների հետ։

Սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինտեգրալի սահմանումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե կոմպլեքս թվի իրական մասը դրական է, ապա գամմա-ֆունկցիան որոշվում է բացարձակ համընկնող ինտեգրալի միջոցով։

Այս սահմանումը Լեժանդրը ստացել է Էյլերի սահմանումի բնօրինակից (1730 թվական)։

փոփոխականի փոխարինման միջոցով, և մինչև օրս հենց Լեժանդրի այս սահմանումն է հայտնի որպես գամմա-ֆունկցիայի դասական սահմանում։ Դասական սահմանման կտորը մաս առ մաս ինտեգրելով ՝ կարելի է հեշտությամբ տեսնել, որ . Գամմա ֆունկցիայի արժեքների մոտավոր հաշվարկի համար ավելի հարմար է երրորդ բանաձևը, որը նույնպես ստացել ենք Էյուլերի սահմանումից ՝ կիրառելով հետևյալ հավասարությունը և փոխելով փոփոխականը :

.

Այս բանաձևի ինտեգրալը համընկնում է -ի դեպքում, չնայած այն սովորաբար օգտագործվում է դրական իրական արժեքների արգումենտի համար (նախընտրելի արժեքները 1-ին մոտ են)։ Իրական արժեքների դեպքում ինտեգրվելի ֆունկցիան ունի եզակի հատուկ կետ` հատում առաջացնող, և եթե վերափոխեք այն այս պահին արժեքով, ապա կդառնա անընդհատ ամբողջ հատվածում:Այսպիսով, ինտեգրալը հանդիսանում է սեփական, ինչը պարզեցնում է թվային ինտեգրումը։ Գոյություն ունի բնօրինակ բանաձևի ուղղակի վերլուծական շարունակություն ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, բացառությամբ ամբողջ թվերի, որը կոչվում է Ռիման-Հանկելի ինտեգրալ։

Այստեղ եզրագիծը կոմպլեքս հարթության ցանկացած եզրագիծ է, շրջանցելով ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ կետը, որը ձգտում է դրական իրական առանցքի երկայնքով դեպի անվերջություն։ Հետևյալ արտահայտությունները ծառայում են որպես գամմա ֆունկցիայի այլընտրանքային սահմանումներ։

Սահմանում ըստ Գաուսի[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այն ճիշտ է բոլոր կոմպլեքս -ի, բացառությամբ 0 և ամբողջ բացասական թվերի համար.

Սահմանում ըստ Էյլերի[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում ըստ Վայերշտրասի[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

որտեղ  — Էյլեր-Մասկերոնի հաստատուն[1].

Նշում։ Երբեմն օգտագործվում է այլընտրանքային Պի-ֆունկցիա, որը հանդիսանում է ֆակտորիալի ընդհանրացում և կապված է գամմա-ֆունկցիայի հարաբերակցության հետ:Հենց այս ֆունկցիայից (ոչ թե գամա-ֆունկցիայի) օգտվեց Գաուսը, Ռիմանը և XIX դարի գերմանացի շատ մաթեմատիկներ։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գամմա-ֆունկցիայի գրաֆիկական մոդուլը կոմպլեքս հարթությունում:
Կոմպլեքս արգումենտի ամպլիտուդի և փուլի ֆակտորիալը:

Եթե  — ամբողջ ոչ բացասական թիվ է,

.

Գամմա ֆունկցիայի հիմնական հատկությունը դա նրա ռեկուրենտ հավասարումն է

որը ըստ ֆիքսված սկզբնական պայմանի համաձայն միակ ձևով որոշում է լոգարիթմական ուռուցիկ լուծումը, այսինքն հենց ինքը` գամմա-ֆունկցիան (միակության թեորեմ)[2]. Գամմա-ֆունկցիայի համար արդարացի է Էյլերի բանաձևի լրացումը

.

Արդարացի է նաև և Գաուսի բազմապատկման բանաձևը

Այս բանաձևի մասնակի դեպքը, երբ n=2 գրվել է Լեժանդրի կողմից

Գամմա-ֆունկցիան չունի զրոներ ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա։ հանդիսանում է մերոմորֆ կոմպլեքս հարթությունում և հասարակ առավելություն ունեցող [1] կետերում։ Գամմա-ֆունկցիան ունի առաջին կարգի բևեռ -ում ցանկացած բնական -ի և զրոի համար, մնացքը այդ կետում տրվում է այսպես

.

Օգտակար հատկություն, որը կարելի է ստանալ վերջնական սահմանումից.

.

Գամմա-ֆունկցիան դիֆերենցելի է անվերջ անգամ, և , որտեղ , հաճախ անվանում են «փսի-ֆունկցիա» կամ դիգամա-ֆունկցիա։ Գամմա-ֆունկցիան և բետա-ֆունկցիա կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ.

.

Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մի շարք պատճառներով, գամմա ֆունկցիայի հետ մեկտեղ հաճախ դիտարկվում է և գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը` սկզբնական դիգամա-ֆունկցիայի։ Դրա համար արդարացի են հետևյալ ինտեգրալ արտահայտությունները`

և

Ժակ Բինեի տվյալները 1839-ը թվականին(այս բանաձևերը հաճախ կոչվում են նաև առաջին և երկրորդ Բինեի բանաձևեր համապատասխանաբար գամմա ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)[3]։ Մի քանի լավագույն ինտեգրալի բանաձևեր լոգարիթմի համար կան նաև Մալմստենի աշխատանքներում, Լերխի և մի այլոնց։ Այսպես Մալմստենը ստացավ բանաձև, որը նման էր Ժակ Բինեի առաջին բանաձևին[3]

Իսկ Լերխը ցույց տվեց, որ հետևյալ տեսքի բոլոր ինտեգրալները

նույնպես բերվում են դեպի գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմները։ Մասնավորապես բանաձևը, որը նման է Բինեի երկրորդ բանաձևին «կապված» հայտարարով, ունի հետևյալ տեսքը`

(նայել վարժ. 40-ը[4]-ում)

Բացի այդ, Մալմստենը նույնպես ստացավ ինտեգրալ բանաձևերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար, պարունակող լոգարիթմով հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ ինտեգրալի նշանի տակ։ Մասնավորապես`

(նայել վարժ.2, 29-հ, 30 [4]-ում)

Յարոսլավ Բլագուշինը ցույց տվեց, որ ռացիոնալ արգումենտով , որտեղ և ամբողջ դրական թվեր են, այնպիսին, որ -ն չի գերազանցում -ը, ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը

(նայել հավելված C[5], а также упр. 60 и 58[4]-ում)

Ավելին, և առավել ընդհանուր դեպքում ինտեգրալները, որոնք պարունակում են հիպերբոլական ֆունկցիաներ լոգարիթմով (կամ արգտանգենսով) ինտեգրալի նշանի տակ, հաճախ բերվում է գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմին և իր ածանցյալին, այդ թվում նաև կոմպլեքս արգումենտով, նայել օրինակ վարժ. 4-b, 7-а и 13-b в[4]-ում։ Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը ամուր կապված է նաև անալիտիկ շարունակությանը ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի։

Այս կարևոր փոխհարաբերություններ, ներմուծված Լերխի կողմից, թույլ է տալիս ստանալ մեծ քանակությամբ ինտեգրալի ներկայացում գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի հայտնի բանաձևերի միջոցով։ Ֆուրիեի շարքը գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմների համար ունի հետևյալ տեսքը`

Այս բանաձևը հաճախ վերագրվում է Էռնստ Կումմերին, որը դուրս է բերել 1847 թվականին (հեղինակավոր գրականությունում [3][6][7] այս շարքը կոչվում է Կումմերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Բայց վերջերս բացահայտվել է, որ այս բանաձևը ստացվել է դեռևս 1842 թվականին Մալմստենի կողմից (նայել Յարոսլավ Բլագուշին[4][8]). Ֆուրիեի շարքի դասավորումից բացի, գոյություն ունի նաև ուրիշ շարքերի դասավորություն։ Առավել հայտնիներից մեկը Ստիռլինգի շարքն է`

Իր ստանդարտ գրության մեջ

որտեղ -ը նշանակում է Բեռնուլիի թվեր։ Ըստ գամմա-ֆունկցիայի Վայերշտրասի մեկնաբանության հետևում է ևս մեկ կարևոր շարքի ներկայացում[9]`

.

Մասնավոր նշանակություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գամմա-ֆունկցիայի ամբողջ ու կիսաամբողջ արգումենտները արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով:Մասնավորապես

Գամմա-ֆունկցիայի արժեքները 1/4 և 1/3 կետերում հանդիսանում է մանրամասն ուսումնասիրության առարկա Էյլերի, Գաուսի և Լեժանդրի համար, սակայն նրանք չկարողացան հաշվարկել այս արժեքները փակ տեսքով[1]։ Գոյություն ունի հետևյալ արտահայտությունները ոչ փակ տեսքի Γ(1/4)-ի համար

որտեղ AGM-թվաբանական-երկրաչափական միջին, G — Կատալանի հաստատուն և A — Գլեյշեր-Կինկելինի հաստատուն։

Ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դասական ինտեգրալի սահմանման մեջ գամմա-ֆունկցիայի ինտեգրալի սահմնաչափերը ֆիքսված են։ Դիտարկվում են նաև ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիա[en], որոշված անալոգ ինտեգրալով` փոփոխականի վերին կամ ստորին ինտեգրման սահմանաչափով։ Տարբերվում է վերևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը հաճախ անվանում են երկու արգումենտների գամմա-ֆունկցիա`

և ներքևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը նշանակվում է փոքրատառ «գամմա» տառով`

.

Երբեմն ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան նշանակում են ինչպես[10]`

.

Դիտել նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն և հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Վ. Յա.Արսենին Մաթեմատիկական ֆիզիկա:հիմնական հավասարումներ և հատուկ ֆունկցիաներ,X գլուխ, էջ. 225—233. Գիտություն, Մոսկվա, 1966.
  • Մ.Ա. Եվգրաֆով և այլոք Անալիտիկ ֆունկցիաների թեորեաների խնդիրների ժողովածու, էջ. 307—316. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
  • Գ.Մ.Ֆիխտենգոլց. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի դասընթաց (7-րդ հրատարակչություն), XIV գլուխ, էջ. 750—794. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
  • Ա. Ի. Մարկուշեվիչ Անալիտիկ ֆունկցիայի թեորեմա (2-րդ հրատարակչություն), 2 հատոր, էջ. 303—324.Գիտություն, Մոսկվա, 1968.
  • Ն. Ն. Լեբեդև Հատուկ ֆունկցիաներ և նրանց կիրառումները (2-րդ հրատարակչություն), I գլուխ, էջ. 11—27. ФМ, Մոսկվա, 1963.
  • Ա. Ֆ. Նիկիֆորով և Վ. Բ. ՈւվարովՄաթեմատիկական ֆիզիկայի հատուկ ֆունկցիաները, էջ. 263—268. Գիտություն, Մոսկվա, 1978.
  • R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
  • M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
  • E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
  • N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.


Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Davis, P. J. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function(անգլ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1959. — Т. 66. — № 10. — С. 849—869. — doi:10.2307/2309786
  2. Kingman, J. F. C. A Convexity Property of Positive Matrices(անգլ.) : journal. — 1961. — Т. 12. — № 1. — С. 283—284. — doi:10.1093/qmath/12.1.283 — Bibcode1961QJMat..12..283K
  3. 3,0 3,1 3,2 Harry Bateman and Arthur Erdélyi Higher Transcendental Functions [in 3 volumes]. Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF
  5. Iaroslav V. Blagouchine A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537—592, 2015.
  6. E.T. Whittaker and G. N. Watson A course of modern analysis. An introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (third edition). Cambridge at the University Press, 1920.
  7. H.M. Srivastava and J. Choi Series Associated with the Zeta and Related Functions. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands, 2001
  8. Blagouchine, Iaroslav V. Erratum and Addendum to "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results"(անգլ.) // Կաղապար:Нп3 : journal. — 2016. — Т. 42. — № 3. — С. 777—781. — doi:10.1007/s11139-015-9763-z
  9. Դ.Ս.ԿուզնեցովՀատուկ ֆունկցիաներ (2-րդ հրատ.): Բարձրագույն դպրոց, Մոսկվա, 1965.
  10. "Incomplete gamma function"