Մերոմորֆ ֆունկցիաներ

Մերոմորֆ ֆունկցիաներ (հունարեն՝ μέρος-մաս, կոտորակ և μορφή—ձև, տեսք), ֆունկցիաներ, որոնք տրված $G$ տիրույթում (մասնավորաբար վերջավոր կոմպլեքս հարթության մեջ) կարող են ներկայացվել երկու միարժեք անալիտիկ (ամբողջ) ֆունկցիաների հարաբերության տեսքով։ Մերոմորֆ ֆունկցիաները կարող են սահմանվել նաև որպես տիրույթում բևեռներից բացի այլ եզակի կետեր չունեցող անալիտիկ ֆունկցիաներ։ Մերոմորֆ ֆունկցիաներ են Էյլերի ֆունկցիան, ռացիոնալ ֆունկցիաները, եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և այլն։ Հայ մաթեմատիկոսները վերջին տասնամյակների ընթացքում մի շարք կարևոր արդյունքներ են ստացել մերոմորֆ ֆունկցիաների տեսության բնագավառում։

Գամմա ֆունկցիայի մոդուլը՝ $\Gamma (z)$: Ձախից (երբ Re z<0) ֆունկցիան ունի բևեռներ, որոնցում ձգտում է անվերջի։ Սակայն աջից (երբ Re z>0) այն բևեռներ չունի՝ ֆունկցիան ամենուրեք վերջավոր է։

Որոշ սահմանումներ

$a\in A$ կետը կոչվում է $A$ բազմության մեկուսացված կետ, եթե գոյություն ունի այդ կետի այնպիսի շրջակայք, որի հատումը $A$ բազմության հետ բաղկացած է միայն $a$ կետից։

$z$ պարամետրը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխական, եթե այն ներկայացվում է $z=x+iy$ տեսքով, որտեղ $x=\Re z$ և $y=\Im z$ իրական թվեր են, իսկ $i$-ն կեղծ միավորն է՝ $i={\sqrt {-1}}$։

Կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիան կոչվում է հոլոմորֆ (երբեմն նաև ռեգուլյար), եթե այն որոշված է $\mathbb {C}$ կոմպլեքս հարթության որևէ բաց բազմությունում և կոմպլեքս դիֆերենցելի է դրա յուրաքանչյուր կետում։

$c$ կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիայի եզակի կետ, եթե այդ կետում խախտվում է $f(z)$ ֆունկցիայի անալիտիկությունը։

$c$ կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետ, եթե գոյություն ունի այդ եզակի կետի այնպիսի շրջակայք, որում $f(z)$ ֆունկցիան միարժեք է և անալիտիկ։

$z_{0}$ մեկուսացված եզակի կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիայի բևեռ, որը հոլոմորֆ է այդ կետի որոշակի սնամեջ շրջակայքում, եթե գոյություն ունի այդ ֆունկցիայի սահմանն այդ կետում և $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$։

Բևեռի հայտանիշները

• $z_{0}$ կետը բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ $f(z)$ ֆունկցիայի՝ այդ $z_{0}$ կետի սնամեջ շրջակայքում Լորանի շարքի վերլուծության գլխավոր մասը պարունակում է զրոյից տարբեր միայն վերջավոր թվով անդամներ, այսինքն՝

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}$, որտեղ $P(z)$ —ը Լորանի շարքի գլխավոր մասն է։

Եթե $f_{-n}\neq \ 0$, ապա $z_{0}$ կետը կոչվում է $n$-րդ կարգի (պատիկության)բևեռ։ Եթե $n=1$, ապա բևեռը կոչվում է պարզ (միապատիկ)։

• $z_{0}$ կետը $k$-րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty$, իսկ $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$
• $z_{0}$ կետը $k$-րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ ֆունկցիայի $k$-րդ կարգի զրոն է։

Գրականություն

• Մուսոյան Վ. Կոմպլեքս անալիզ - Եր., ԵՊՀ, 1990։
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ. В 3 т., Т. 1 — М., Наука, 1969.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 498)։