Պաուլիի հավասարում

Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգեր-Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգերի հավասարման ձևակերպումը կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար, որը հաշվի է առնում մասնիկի սպինի փոխազդեցությունն արտաքին էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ։ Այն Դիրակի հավասարման ոչ ռելյատիվիստական սահմանն է և կարող է օգտագործվել միայն լույսի արագությունից փոքր արագությամբ շարժվող մասնիկի դեպքում, այնպես որ ռելյատիվիստական էֆեկտները տեղի չունեն։ Ձևակերպել է Վոլֆգանգ Պաուլին 1927 թ.։

Հավասարման տեսքը

m զանգվածով և q լիցքով մասնիկի համար, որը գտնվում է A = (A_x, A_y, A_z) վեկտորական պոտենցիալով և ϕ սկալյար պոտենցիալով նկարագրվող էլեկտրամագնիսական դաշտում , Պաուլիի հավասարումը հետևյալն է՝

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$,

որտեղ σ = (σ_x, σ_y, σ_z) Պաուլիի մատրիցներն են՝ հարմարության համար վեկտորական տեսքով ներկայացված, p = −iħ∇-ն իմպուլսի օպերատորն է, որտեղ ∇ նշանակված է գրադիենտի օպերատորը և

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}$

երկու բաղադրիչային սպինորային ալիքային ֆունկցիան է, Դիրակի նշանակումներով գրված Երկչափ վեկտորով։

Համիլտոնյան օպերատորը՝

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi$

Պաուլիի մատրիցների պատճառով 2 × 2 մատրիցային օպերատոր է։ Տեղադրելով Շրյոդինգերի հավասարման մեջ՝ կստանանք Պաուլիի հավասարումը։ Համիլտոնյանը նման է էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ փոխազդող դասական hամիլտոնյանին։ Կինետիկ էներգիայի բաղադրիչը ազատ մասնիկի համար էլեկտրամագնիսական դաշտի բացակայությամբ պարզապես p²/2m է, որտեղ p-ն կինետիկ իմպուլսն է, մինչդեռ էլեկտրամագնիսական դաշտի առկայությամբ ունենք p = P − qA կեղծ զույգը, որտեղ P-ն կանոնիկ իմպուլսն է։

Պաուլիի վեկտորական նույնականացման միջոցով կարելի է Պաուլիի մատրիցները հանել կինետիկ էներգիայի անդամից

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)$

Ստանալու համար

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi$

որտեղ B = ∇ × A-ն մագնիսական դաշտն է։

Կապը Շրյոդինգերի հավասարման և Դիրակի հավասարման հետ

Պաուլիի հավասարումը ոչ ռելյատիվիստական է, սակայն այն չի կանխատեսում սպինը։ Որպես այդպիսին, կարելի է մտածել, որ նա միջին տեղ է գրավում Շրյոդինհերի հայտնի հավասարման (կոմպլեքս սկալյար ալիքային ֆունկցիայով), որը ոչ ռելյատիվիստական է և չի կանխատեսում սպինը և Դիրակի հավասարման (կոմպլեքս չորս բաղադրիչով սպինորով) միջև, որն ամբողջովին ռելյատիվիստական է և կանխատեսում է սպինը։

Նշենք, որ Պաուլիի մատրիցների հետևանքով եթե A մագնիսական վեկտորական պոտենցիալը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումն ընդունում է Շրյոդինգերի հավասարման տեսքը մասնիկի համար ϕ ամբողջովին էլեկտրական պոտենցիալով, բացառությամբ, որ այն ազդում է երկու բաղադրիչանի սպինորի վրա։ Այսպիսով, մենք կարող ենք տեսնել, որ մասնիկի սպինն ազդում է իր շարժման վրա միայն մագնիսական դաշտի ազդեցության դեպքում։

Հատուկ դեպքեր

Երկու սպինորային բաղադրիչները բավարարում են Շրյոդինգերի հավասարմանը։ Արտաքին B դաշտի ազդեցությամբ Պաուլիի հավասարումը գրվում է

$\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}\mathbf {|} \psi \rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \mathbf {|} \psi \rangle } _{\mathrm {Stern\,Gerlach\,term} }$

որտեղ

${\hat {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

2 × 2 նույնականացման մատրիցն է, որը գործում է որպես նույնականացման օպերատոր։

Շտեռն-Գեռլախի տերմիններով կարելի է ստանալ սպինի կողմնորոշումը մեկ վալենտական էլեկտրոնով ատոմի համար։ Նման կերպ, մագնիսական դաշտում սպեկտչալ գծերի միաձուլման համար պատասխանատու անդամը կարելի է տեսնել Զեեմանի անոմալ էֆեկտում։