Իմպուլս (շարժման քանակ)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Իմպուլսը (շարժման քանակ) վեկտորական ֆիզիկական մեծություն է, մարմնի մեխանիկական շարժման չափը: Դասական մեխանիկայում իմպուլսը հավասար է մարմնի m զանգվածի և v արագության արտադրյալին և ունի արագության վեկտորի ուղղությունը.

\vec p=m\vec v:

Հիմնական հասկացությունները միաչափ դեպքում[խմբագրել]

Մեկ մասնիկի դեպքը[խմբագրել]

Ավանդաբար մասնիկի իմպուլսը նշանակվում է p տառով: Այն մարմնի զանգվածի և արագության արտադրյալն է[1]՝

\vec p=m\vec v:

Չափման միավորը զանգվածի և արագության միավորների արտադրյալն է: ՄՄ համակարգում՝ կգ·մ/վ: Լինելով վեկտորական մեծություն՝ իմպուլսն ունի մեծություն և ուղղություն:

Բազմաթիվ մասնիկների դեպքը[խմբագրել]

Համակարգի իմպուլսը այդ համակարգը կազմող բոլոր մասնիկների իմպուլսների գումարն է: Եթե երկու մասնիկներ ունեն m1 և m2 զանգվածն ու v1 և v2 արագությունը, ապա արդյունարար իմպուլսը՝

 \begin{align} p &= p_1 + p_2 &= m_1 v_1 + m_2 v_2\,: \end{align}

Համանման ձևով՝ երկուսից ավելի մասնիկների դեպքում:


Իմպուլսի և ուժի կապը[խմբագրել]

Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի, մասնիկի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է նրա վրա ազդող F ուժին[1]՝

F = \frac{dp }{d t}:

Եթե զանգվածը հաստատուն է, ապա

F = m\frac{dv}{d t} = m a,

այնպես որ ուժը հավասար է զանգվածի և արագացման արտադրյալին[1]:


Իմպուլսի պահպանման օրենքը[խմբագրել]

Նյուտոնի օրենքներից բխում է, որ փակ համակարգի արդյունարար իմպուլսը հաստատուն մեծություն է: Ենթադրենք ունենք միմյանց հետ փոխազդող երկու մասնիկ: Ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի, դրանց վրա ազդող ուժերը հավասար են և հակառակ են ուղղված: Ըստ առաջին օրենքի, F1= dp1/dt և F2=dp2/dt: Այդտեղից

 \frac{d p_1}{d t} = - \frac{d p_2}{d t},

կամ

 \frac{d}{d t} \left(p_1+ p_2\right)= 0:

Եթե մասնիկների արագությունները նշանակենք u1, u2 փոխազդեցությունից առաջ և v1, v2՝ հետո, ապա

m_1 u_{1} + m_2 u_{2} = m_1 v_{1} + m_2 v_{2}:

Իմպուլսի պահպանման օրենքը կախված չէ փոխազդեցության ուժի բնույթից:

Բազմաչափ դեպքը[խմբագրել]

Եռաչափ դեպքում իմպուլը և արագությունը տրվում են վեկտորներով: x, y, z առանցքներով կոօրդինատական համակարգում արագության բաղադրիչները x, y, z ուղղություններով համապատասխանաբար vx, vy և vz են: Նշանակենք արագության վեկտորը

\mathbf{v} = \left(v_x,v_y,v_z \right),

իսկ իմպուլսի վեկտորը՝

\mathbf{p} = \left(p_x,p_y,p_z \right):

Այդ դեպքում իմպուլսի և արագության կապը կարելի է ստանալ՝ վերևի արտահայտության v սկալյար մեծությունը փոխարինելով v վեկտորով՝

\mathbf{p}= m \mathbf{v}

Ցանկացած վեկտորական հավասարում կարելի է ներկայացնել սկալյար հավասարումների համակարգի տեսքով՝

\begin{align} p_x &= m v_x\\ p_y &= m v_y \\ p_z &= m v_z: \end{align}

Այլ սահմանումներ[խմբագրել]

Ռելյատիվիստական մեխանիկա[խմբագրել]

Ռելյատիվիստական մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես

 \mathbf{p} = \gamma m_0\mathbf{v}\,,

որտեղ m0-ն համակարգի ինվարիանտ զանգվածն է, γ-ն՝ Լորենցի ֆակտորը.

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\,,

v-ն մասնիկի արագությունն է, c-ն՝ լույսի արագությունը: Արագությունը իմպուլսով արտահայտվում է

 \mathbf{v} = \frac{c^2 \mathbf{p}}{\sqrt{(pc)^2 + (m_0 c^2)^2}} = \frac{c^2 \mathbf{p}}{E} \,,

բանաձևով, որտեղ \scriptstyle p = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}-ն իմպուլսի մոդուլն է: Դասական մեխանիկայի շրջանակներում ռելյատիվիստական իմպուլսը գրեթե հավասար է նյուտոնյան իմպուլսին. փոքր արագությունների դեպքում γm0vm0v: Մարմնի E լրիվ էներգիան p ռելյատիվիստական իմպուլսի հետ կապված է

E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\,

առնչությամբ, որտեղ p-ով նշանակված է p-ի մեծությունը (մոդուլը): Իմպուլսի և էներգիայի ռելյատիվիստական կապը տեղի ունի նաև զանգված չունեցող մասնիկների համար, ինչպիսին ֆոտոնն է: Տեղադրելով m0 = 0, կստանանք, որ

E = pc\,:

Ե՛վ զանգված ունեցող, և զանգված չունեցող մասնիկների համար ռելյատիվիստական իմպուլսը կապված է λ դը Բրոյլի ալիքի երկարության հետ

 p = h/\lambda\,

առնչությամբ, որտեղ hՊլանկի հաստատունն է:

Ընդհանրացված իմպուլսը տեսական մեխանիկայում[խմբագրել]

Տեսական մեխանիկայում համակարգի լագրանժյանի ածանցյալը ըստ ընդհանրացված արագության կոչվում է ընդհանրացված իմպուլս

 p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}:

Ազատ մասնիկի համար Լագրանժի ֆունկցիան ունի \mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2} տեսքը, որտեղից ստացվում են վերը բերված հավասարումները:

Փակ համակարգի լագրանժյանի կախված չլինելը համակարգի դիրքից բխում է տարածության համասեռությունից. լավ մեկուսացված համակարգի վարքը կախված չէ տարածության մեջ նրա զբաղեցրած դիրքից: Ըստ Նյոտերի թեորեմի, այդ համասեռությունից բխում է որոշակի ֆիզիկական մեծության պահպանումը: Հենց այդ մեծությունն էլ կոչվում է իմպուլս:

Քառաչափ ձևակերպումը[խմբագրել]

Ռելյատիվիստական քառաչափ իմպուլսը ինվարիանտ է Լորենցի ձևափոխությունների նկատմամբ: Սահմանվում է որպես

\mathbf{P} := (E/c, p_x , p_y ,p_z)\,,

որտեղ E = γm0c2-ն համակարգի ամբողջ ռելյատիվիստական էներգիան է, px, py, pz-ը համապատասխանաբար ռելյատիվիստական իմպուլսի x, y, z բաղադրիչներն են:

Քառաչափ իմպուլսի ||P|| մոդուլը հավասար է m0c, ուստի

||\mathbf{P}||^2 = (E/c)^2 - p^2 = (m_0c)^2\,

ինչը ինվարիանտ է բոլոր հաշվարկման համակարգերում: Փակ համակարգում պահպանվում է ամբողջ քառաչափ իմպուլսը, ինչի հետևանքով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները կարելի է ներառել մեկ հավասարման մեջ: Օրինակ, m1 և m2 հանգստի զանգվածներով և v1 և v2 սկզբնական արագություններով երկու մասնիկների բախման դեպքում v3 և v4 վերջնական արագությունները կարելի է գտնել քառաչափ իմպուլսի պահպանման օրենքից՝

\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2=\mathbf{P}_3+\mathbf{P}_4\,,

որտեղ

\mathbf{P}_i=m_i\gamma_i(c,\mathbf{v}_i):

Առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը մնում է անփոփոխ (m1 = m3 և m2 = m4): Ոչ առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը աճում է՝ պայմանավորված ջերմային էներգիայի աճով: Քառաչափ իմպուլսի պահպանումը կարելի է մեկնաբանել որպես տարածություն-ժամանակի համասեռության արդյունք:

Իմպուլսը քվանտային մեխանիկայում[խմբագրել]

Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես ալիքային ֆունկցիայի օպերատոր: Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքը տալիս է ճշտության սահմանը, որով կարելի է իմանալ համակարգի իմպուլսը և կոօրդինատը: Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը և կոօրդինատը համալուծ մեծություններ են:

Մեկ մասնիկի համար իմպուլսի օպերատորը կոօրդինատական պատկերացումով կարելի է գրել որպես

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla\,,

որտեղ ∇-ն նաբլա-օպերատորն է, ħ-ը՝ Պլանկի բերված հաստատունը, i-ն՝ կեղծ միավորը: Այլ պատկերացումներով իմպուլսի օպերատորը այլ տեսք ունի: Օրինակ, իմպուլսային պատկերացումով այն ներկայացվում է որպես

\mathbf{p}\psi(p) = p\psi(p)\,,

որտեղ p օպերատորը, գործելով ψ(p) ալիքային ֆունկցիայի վրա, բերում է նրան, որ վերջինս բազմապատկվում է p-ով: Համանման ձևով կոօրդինատի օպերատորի ազդեցությունը ψ(x) ալիքային ֆունկցիայի վրա կհանգեցներ վերջինիս բազմապատկմանը x-ով:


Էլեկտրամագնիսական դաշտի իմպուլսը[խմբագրել]

Մասնիկի լրիվ իմպուլսը էլեկտրամագնիսական դաշտում հավասար է

\mathbf {p} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A

որտեղ \mathbf A-ը էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական պոտենցիալն է:

Հղումներ[խմբագրել]

  1. 1,0 1,1 1,2 Ֆեյնման, Ռիչարդ և ուրիշներ (2011)։ The Feynman lectures on physics, New millennium։ ISBN 978-0465024933։