1982 թվականին ավարտել է Գաբրիել Սունդուկյանի անվան ակադեմիական թատրոնի կից դրամատիկական ստուդիան և աշխատանքի է ընդունվում նույն թատրոնում որպես դերասանուհի։ 1986 թվականին ավարտել է ԵՊՀ արվեստագիտական ֆակուլտետը։ Առաջին քայլերը բեմում արել է տասնյոթ տարեկանում, խաղալով Վ. Սարոյանի «Ձեր կյանքի ժամանակը» Էլզիի դերը, հետագայում խաղում է Յ. Ռայնիսի «Փչիր քամիում» Բայբա, Գ. Հարությունյանի «Հարսնացուն հյուսիսից» Վալյա, Բոմարշեի «Ֆիգարոյի ամուսնությունում» Ֆանշեթ, Լ. Ռազումովսկայի «Սիրելի Ելենա Սերգեեվնա» Լյալյա։ Նկարահանվել է բազմաթիվ հեռուստաներկայացումներում և մի շարք գեղարվեստական կինոնկարներում, այդ թվում Զորայր Խալափյան համանուն վեպի հիման վրա «Որտե՞ղ էիր, մարդ աստծո» բազմասերիանոց ֆիլմում, «Սպիտակ ոսկոր», «Գողը», «Դեմքով դեպի պատը», «Ուրվագիծ» և այլ ֆիլմերում։ Աննա Էլբակյանն աշխատել է որպես դերասանուհի «Մետրո» թատրոնում, Համազգային թատրոնում, ինչպես նաև Էդգար Էլբակյանի անվան դրամայի և կոմեդիայի թատրոնում։ 2000 թ.-ից Երևանի խամաճիկների պետական թատրոնի գլխավոր ռեժիսորն է։ Մասնակցել է բազմաթիվ միջազգայի փառատոների, ինչպես նաև հանդես է եկել սփյուռքում։ Աննա Էլբակյանը բազմերանգ է իմպրովիզացիոն տարերքի դերասանուհի է և ունի մեծ դիապազոն, ինչը վկայում են նրա խաղացած դերերը՝ Ու. Շեքսպիրի«Արքա Լիր»Կորդելիա, Վ. Սարոյանի, Թ. Ուիլյամսի, Է. Հեմինգուեյի ստեղծագործությունների հիման վրա «Ուիլի, Թիթի, Ջիգ ու երեք նել մի աղջիկ» Ուիլի, Թիթի, Ջիգ, Մոլիերի «Տարտյուֆ»կոմսուհի, Կ. Մանեի «Օսկար» Հելեն, Յու. Օ՝ Նիլի «Սերը ծփիների տակ» Աբբի, Վ. Սարոյանի «Քարանձավի բնակիչները» Թագուհի, Թ. Ուիլյամսի «Անսպասելիորեն անցյալ ամառը» Կետրին, Ֆ. Վերֆելի«Մուսա լեռան 40 օրը»Ժուլիետ։
ԽՍՀՄ և 
Հայաստան
