Մաքսվելի հավասարումներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ջեյմս Կլերկ Մաքսվել

Մաքսվելի հավասարումներ, դիֆերենցիալ կամ ինտեգրալ հավասարումների համակարգ, որը բնութագրում է էլեկտրամագնիսական դաշտը վակուումում և նրա կապը էլեկտրամագնիսական լարման և էլեկտրամագնիսական հոսանքի հետ:19-րդ դարի կեսերին կուտակված փորձերի հիման վրա Մաքսվել Ջեյմս Կլերկի կողմից ձևակերպված հավասարումները որոշիչ դեր խաղացին ինպես էլեկտրամագնիսականության հետ անմիջականորեն կապ ունեցող ֆիզիկայի բնագավառներում, այնպես էլ բազմաթիվ հիմնարար տեսություններում, որոնք չեն առնչվում էլեկտրամագնիսականությանը։

Պատմություն[խմբագրել]

Էլեկտրական հոսանքը առաջացնում է մագնիսական ինդուկցիա. Ամպերի օրենքը
Մագնիսական դաշտի փոփոխական հոսքը առաջացնում է էլեկտրական դաշտ։

Մաքսվելի ձևակերպած հավասարումների հիմք են հանդիսացել 19-րդ դարի սկզբում կատարված մի շարք կարևոր փորձարարական բացահայումներ: 1820 թվականին Հանս Քրիստիան Էրստեդը հայտնաբերեց, որ հաղորդալարի միջով անցնող գալվանական հոսանքը շեղում է կողմնացույցի սլաքը: Այդ հայտնագործությունը գրավեց ժամանակաշրջանի գիտնականների ուշադրությունը: Հենց 1820 թվականին Բիոն և Սավարը հոսանքի հետևանքով առաջացած մագնիսական ինդուկցիան անվանեցին «Բիո-Սավարի օրենք», իսկ Ամպերը հայտնաբերեց, որ այն գոյանում է երկու հաղորդալարերի միջև եղած տարածության մեջ, եթե հաղորդալարերով հոսանք է անցնում: Ամպերը ներմուծեց «էլեկտրադինամիկական» տերմինը և առաջ քաշեց հիպոթեզ, որ մագնիսական դաշտը մրրկային է:

Էրստեդի հայտնագործությունը, թե հոսանքը ազդում է մագնիսի վրա, Մայքլ Ֆարադեյին հանգեցրեցին այն մտքին, որ հակառակ երևույթը ևս պետք է գոյություն ունենա՝ մագնիսը պետք է ազդեցություն թողնի հոսանքի վրա:Երկար փորձերից հետո Ֆարադեյին հաջողվեց ապացուցել, որ եթե հաղորդչի մոտ մագնիսը շարժվի, ապա կառաջանա էլեկտրական հոսանք: Այս երևույթը անվանվեց էլեկտրական ինդուկցիա: Ֆարադեյի հայտնագործությունները մեծ հետք թողեցին Մաքսվելի աշխատանքների վրա:

Դիֆերենցիալ տեսքը[խմբագրել]

Միջավայրում էլեկտրամագնիսական երևույթները նկարագրող ֆիզիկական մեծությունները ենթարկվում են Մաքսվելի հավասարումներով տրված օրենքներին:

Անվանում Դիֆերենցիալ տեսք Ֆիզիկական իմաստ
Գաուսի օրենք
\nabla\cdot\mathbf{D}= \rho
էլեկտրական դաշտն առաջանում է փոփոխական մագնիսական դաշտից կամ էլեկտրական լիցքերից։ Վերջինս մրրկային չէ, ուժագծերը փակ չեն, սկսվում են դրական ու վերջանում բացասական լիցքերի վրա:
Մագնիսական դաշտի ուժագծերի անխզելիության օրենք
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
Մագնիսական դաշտն ակունքներ չունի, ուժագծերը փակ են:
Մագնիսական դաշտից էլեկտրական դաշտի առաջացման (ինդուկցիայի) օրենք
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
Մրրկային էլեկտրական դաշտն առաջանում է ժամանակի ընթացքում փոփոխվող մագնիսական դաշտից։
Հոսանքից և էլեկտրական դաշտից մագնիսական դաշտի առաջացման (ինդուկցիայի) օրենք
\nabla\times\mathbf{H}= \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{j}
Մագնիսական դաշտը մրրկային է:
Լիցքի պահպանման օրենքը հետևում է Մաքսվելի հավասարումներից
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div} \mathbf{j}=0
Վերջին հավասարման երկու կողմերի վրա ազդելով \mathrm{div} օպերատորով և առաջին հավասարումից տեղադրելով \mathrm{div}\mathbf{D}–ի արժեքը։ Վերջին հավասարումը Մաքսվելը դուրս է բերել, ելնելով լիցքի պահպանման օրենքից։

Նշանակումներ՝

Ինտեգրալային տեսքը[խմբագրել]

Գաուսի և Ստոքսի բանաձևերից կարելի է տալ Մաքսվելի հավասարումների ինտեգրալային տեսքը`

Անվանում Ինտեգրալային տեսքը
Գաուսի օրենք
\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}= Q
Գաուսի օրենքը մագնիսական դաշտի համար
\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0
Էլեկտրամագնիսական ինդուկցիայի օրենք
\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\int_s\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{s}
Մագնիսական դաշտի շրջապտույտի թեորեմ
\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}= I+\int_s\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{s}
Փակ մակերևույթով էլեկտրական դաշտի հոսք
  • Q=\int_v \rho\, dv\  — v\ ծավալում էլեկտրական լիցք
  • I=\int_s \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s}\  — s\ մակերեսով անցնող էլեկտրական հոսանք

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]