Դիֆերենցիալ հավասարումներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Դիֆերենցիալ հավասարումներ կոչվում են այնպիսի հավասարումները, որոնցում որոնելի են հանդիսանում մեկ կամ մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաները, ընդ որում, հավասարման մեջ մասնակցում են ոչ միայն անհայտ ֆունկցիաները, այլև այդ ֆունկցիաների ածանցյալները։

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգ է կոչվում տվյալ հավասարման մեջ մասնակցող ածանցյալների ամենաբարձր կարգը։

\ y(x) ֆունկցիան կոչվում է \ n -րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծում \ (a,b) միջակայքում, երե այն ունի մինչև \ n -րդ կարգի ածանցյալներ` y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x) և բավարարում է տվյալ դիֆերենցիալ հավասարմանը: Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման պրոցեսը անվանում են ինտեգրում։

Եթե որոնելի ֆունկցիաները մեկ փոփոխականի են, ապա հավասարումը կոչվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, հակառակ դեպքում` մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարում։

Դիֆերենցիալ հավասարումներ տերմինը առաջարկել է Գ. Լեյբնիցը։

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ[խմբագրել]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված ՝ Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները, հավասարումներ են, որտեղ անհայտները մեկ փոփոխականի ֆունկցիաներ են, ընդ որում հավասարման մեջ մասնակցում են ոչ միայն անհայտ ֆունկցիաները այլև այդ ֆունկցիաների ածանցյալները:

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարման տեսքը ընդհանուր դեպքում հետևյալն է`

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\! կամ F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0,

որտեղ ~y=y(x) անհայտ ֆունկցիան է, ~x անկախ փոփոխականը, ~n կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման կարգ։

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին հետազոտությունները կատարվել են XVII-րդ դարի վերջում Ի. Նյուտոնի և Գ. Լեյբնիցի կողմից։

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները լայն կիրառական նշանակություն ունեն մեխանիկայում, աստղագիտությունում, ֆիզիկայում, քիմիայի և կենսաբանության շատ խնդիրներում։ Սա բացատրվում է նրանով, որ շատ հաճախ բնական երևույթները ենթարկվում են օրենքների, որոնք գրվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների տեսքով։ Օրինակ, Նյուտոնյան մեխանիկայի օրենքները թույլ են տալիս նյութական կետերի համակարգի շարժման նկարագրման մեխանիկական խնդիրը բերել սովորական դիֆերենցիալ հավասարման լուծումները գտնելու մաթեմատիկական խնդրին։

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ[խմբագրել]

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները, հավասարումներ են, որտեղ անհայտները մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաներ են, հավասարման մեջ մասնակցում են անհայտ ֆունկցիաները և այդ ֆունկցիաների մասնակի ածանցյալները։

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարման տեսքը ընդհանուր դեպքում հետևյալն է`

F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, y, \frac{\partial y}{\partial x_1}, \frac{\partial y}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial y}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 y}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 y}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 y}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n y}{\partial x_m^n}\right)= 0,

որտեղ y\! = y(x_1, x_2,\dots, x_m) անհայտ ֆունկցիան է, x_1, x_2,\dots, x_m անկախ փոփոխականները։

Առաջին մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումը հանդիպում է Լ. Էյլերի մակերևույթների տեսությանը նվիրված աշխատանքներում։

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են օգտագործվել բազմազան երևույթների նկարագրման համար, այնպիսին, ինպիսին են` ձայնը, ջերմությունը, էլեկտրաստատիկան, էլեկտրադինամիկան և այլն։ Այս, առաջին հայացքից, տարբեր ֆիզիկական երևույթները կարող են ֆորմալիզացվել և նկարագրվել միևնույն ձևով` մասնական ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների տեսանկյունից։

Գծային և ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ[խմբագրել]

Եվ սովորական և մասնական ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լինում են գծային և ոչ գծային։

Դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է գծային, եթե անհայտ ֆունկցիան և նրա ածանցյալները (մասնակի ածանցյալները) մտնում են հավասարման մեջ գծայնորեն։

Օրինակներ[խմբագրել]

 y'=a(x)y+b(x)y^{\alpha}
 y'=a(x)y+b(x)y^{2}+c(x)
 -y''+q(x)y=\lambda^{2} y
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \,
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0

Գրականություն[խմբագրել]

  1. Математическая энциклопедия, M.: Советская энциклопедия, 1977
  2. Филиппов А. Ф., Введение в теорию дифференциальных уравнений. – М.: Комкнига, 2007.
  3. Hartman P., Ordinary differential equations. – Philadelphia: SIAM, 2002.
  4. Հ. Գ. Ղազարյան, Ա. Հ. Հովհաննիսյան, Տ. Ն. Հարությունյան, Գ. Ա. Կարապետյան, Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, Երևան, Զանգակ-97, 2002